Угловое ускорение

Часть серии по
Классическая механика
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

В физике , угловое ускорение относится к скорости времени изменения угловой скорости . Поскольку существует два типа угловой скорости, а именно угловая скорость вращения и орбитальная угловая скорость, естественно также существуют два типа углового ускорения, называемые угловым ускорением вращения и орбитальным угловым ускорением соответственно. Угловое ускорение вращения относится к угловому ускорению твердого тела относительно его центра вращения, а орбитальное угловое ускорение относится к угловому ускорению точечной частицы относительно фиксированного начала координат.

Угловое ускорение измеряется в единицах угла на единицу квадрата времени (что в единицах СИ - радианы на секунду в квадрате) и обычно обозначается символом альфа ( α ). В двух измерениях угловое ускорение - это псевдоскаляр , знак которого считается положительным, если угловая скорость увеличивается против часовой стрелки или уменьшается по часовой стрелке, и считается отрицательным, если угловая скорость увеличивается по часовой стрелке или уменьшается против часовой стрелки. В трех измерениях угловое ускорение - это псевдовектор . ^[1]

Для твердых тел угловое ускорение должно быть вызвано чистым внешним крутящим моментом . Однако это не так для нежестких тел: например, фигуристка может ускорить свое вращение (тем самым получая угловое ускорение), просто сжимая руки и ноги внутрь, что не требует внешнего крутящего момента.

Орбитальное угловое ускорение точечной частицы [ править ]

Частица в двух измерениях [ править ]

В двух измерениях орбитальное угловое ускорение - это скорость, с которой изменяется двумерная орбитальная угловая скорость частицы относительно начала координат. Мгновенная угловая скорость ω в любой момент времени определяется выражением

ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}}} ,

где - расстояние от начала координат, а - поперечно-радиальная составляющая мгновенной скорости (т. е. составляющая, перпендикулярная вектору положения), которая по соглашению является положительной для движения против часовой стрелки и отрицательной для движения по часовой стрелке.${\displaystyle r}$${\displaystyle v_{\perp }}$

Следовательно, мгновенное угловое ускорение α частицы определяется выражением

α = d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}({\frac {v_{\perp }}{r}})} . ^[2]

Расширяя правую часть с помощью правила произведения из дифференциального исчисления, это становится

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}}$.

В частном случае, когда частица совершает круговое движение вокруг начала координат, становится просто тангенциальным ускорением и исчезает (поскольку расстояние от начала координат остается постоянным), поэтому приведенное выше уравнение упрощается до${\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}$${\displaystyle a_{\perp }}$${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}}$.

В двух измерениях угловое ускорение - это число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указывающее в направлении. Знак обычно считается положительным, если угловая скорость увеличивается в направлении против часовой стрелки или уменьшается в направлении по часовой стрелке, и знак считается отрицательным, если угловая скорость увеличивается в направлении по часовой стрелке или уменьшается в направлении против часовой стрелки. Угловое ускорение в таком случае можно назвать псевдоскалярным , числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности , такой как инвертирование одной оси или переключение двух осей.

Частица в трех измерениях [ править ]

В трех измерениях орбитальное угловое ускорение - это скорость, с которой трехмерный вектор орбитальной угловой скорости изменяется со временем. Вектор мгновенной угловой скорости в любой момент времени определяется выражением${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}$,

где - вектор положения частицы, - вектор ее скорости. ^[2]${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

Следовательно, орбитальное угловое ускорение - это вектор, определяемый формулой${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}})}$.

Расширяя эту производную с помощью правила произведения для перекрестных произведений и обычного правила частного, получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}}$

Так как это справедливо , второй член можно переписать как . В случае, когда расстояние частицы от начала координат не изменяется со временем (что включает в себя круговое движение как подслучай), второй член исчезает, а приведенная выше формула упрощается до${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }$${\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}$.

Из приведенного выше уравнения можно восстановить поперечное радиальное ускорение в этом частном случае как:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }$.

В отличие от двухмерного углового ускорения в трех измерениях не обязательно связывать с изменением угловой скорости : если вектор положения частицы "скручивается" в пространстве так, что ее мгновенная плоскость углового смещения (то есть мгновенная плоскость, в которой вектор положения угол заметания) непрерывно изменяется со временем, то даже если угловая скорость (то есть скорость, с которой вектор положения перемещает угол) постоянна, угловое ускорение все равно будет отличным от нуля, потому что направление вектора угловой скорости непрерывно изменяется с время. Этого не может произойти в двух измерениях, потому что вектор положения ограничен фиксированной плоскостью, так что любое изменение угловой скорости должно происходить через изменение ее величины..

Вектор углового ускорения правильнее называть псевдовектором : он имеет три компонента, которые трансформируются при поворотах так же, как декартовы координаты точки, но которые при отражениях не трансформируются, как декартовы координаты.

Отношение к крутящему моменту [ править ]

Чистый крутящий момент на точечной частице определяется как псевдовектор

τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} } ,

где - суммарная сила, действующая на частицу. ^[3]${\displaystyle \mathbf {F} }$

Крутящий момент - это вращательный аналог силы: он вызывает изменение вращательного состояния системы, точно так же, как сила вызывает изменение поступательного состояния системы. Поскольку результирующая сила, действующая на частицу, может быть связана с ускорением частицы посредством уравнения , можно надеяться построить аналогичное соотношение, связывающее чистый крутящий момент на частице с угловым ускорением частицы. Это можно сделать следующим образом: F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }

Во-первых, подставляя в приведенное выше уравнение для крутящего момента, получаем${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}})}$.

Но из предыдущего раздела было выведено, что

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$,

где - орбитальное угловое ускорение частицы, - орбитальная угловая скорость частицы. Следовательно,${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=mr^{2}({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }})\\\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.\end{aligned}}}$

В частном случае, когда расстояние до частицы от начала координат не изменяется со временем, второй член в приведенном выше уравнении исчезает, а приведенное выше уравнение упрощается до${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}}$,

что можно интерпретировать как «вращательный аналог» , где величина (известная как момент инерции частицы) играет роль массы . Однако, в отличие от этого, это уравнение не применимо к произвольной траектории. В заключение, общее отношение между крутящим моментом и угловым ускорением обязательно более сложное, чем отношение силы и линейного ускорения. ^[4]${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$${\displaystyle mr^{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

См. Также [ править ]

• Крутящий момент
• Угловой момент
• Угловая скорость
• Угловая скорость

Ссылки [ править ]