Спираль

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Спираль»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2007 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Разрез раковины наутилуса, показывающий камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали

В математике , А спираль представляет собой кривую , которая исходит из точки, двигаясь дальше , как она вращается вокруг точки. ^{[1] [2] [3] [4]}

Спирали [ редактировать ]

Спираль Архимеда (черный), спираль (зеленый) и коническая спираль (красный)

Два основных определения слова «спираль» в Словаре американского наследия : ^[5]

1. кривая на плоскости, которая огибает фиксированную центральную точку на постоянно увеличивающемся или уменьшающемся расстоянии от точки.
2. трехмерная кривая, которая поворачивается вокруг оси на постоянном или непрерывно изменяющемся расстоянии при движении параллельно оси; спираль .

Первое определение описывает плоскую кривую, которая продолжается в обоих перпендикулярных направлениях в своей плоскости; канавка на одной стороне пластинки очень похожа на плоскую спираль (и именно благодаря конечной ширине и глубине канавки, но не более широкому расстоянию между дорожками, чем внутри дорожек, она не может служить прекрасным примером); Обратите внимание, что следующие друг за другом петли различаются диаметром. В другом примере, «центр линии» на руках у спиральных галактик следовых логарифмических спиралей .

Второе определение включает в себя два вида трехмерных родственников спиралей:

1. коническая или спиральная пружина (включая пружину, используемую для удержания и контакта с отрицательными выводами батареек AA или AAA в батарейном отсеке ), и вихрь, который создается, когда вода стекает в раковину, часто описывается как спираль, или в виде конической спирали.
2. совершенно явно, определение 2 также включает цилиндрическую спиральную пружину и нить ДНК , обе из которых имеют довольно спиралевидную форму, так что «спираль» является более полезным описанием, чем «спираль» для каждого из них; в общем, «спираль» применяется редко, если последовательные «петли» кривой имеют одинаковый диаметр. ^[5]

На боковой картинке черная кривая внизу - это спираль Архимеда , а зеленая кривая - спираль. Кривая, показанная красным, представляет собой коническую спираль.

Двумерный [ править ]

Двумерный , или плоскость, спираль может быть описана с использованием наиболее легко в полярные координаты , где радиус является монотонной непрерывной функцией угла :${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

• ${\displaystyle r=r(\varphi )\;.}$

Круг можно рассматривать как вырожденный случай ( функция не является строго монотонной, а скорее постоянной ).

В - -координатах кривая имеет параметрическое представление:${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \;.}$

Примеры [ править ]

Некоторые из наиболее важных видов двумерных спиралей включают:

• Резьб :${\displaystyle r=a\varphi }$
• Гиперболическая спираль :${\displaystyle r=a/\varphi }$
• Спираль Ферма :${\displaystyle r=a\varphi ^{1/2}}$
• Литуус :${\displaystyle r=a\varphi ^{-1/2}}$
• Логарифмическая спираль :${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$
• Корень спираль или клотоида
• Спираль Фибоначчи и золотой спираль
• Спираль Theodorus : аппроксимация архимедовой спирали , состоящий из смежных прямоугольных треугольников
• Эвольвентная окружность, используется дважды на каждый зубе почти во всех современных снастях

• Архимедова спираль

• гиперболическая спираль

• Спираль Ферма

• литуус

• логарифмическая спираль

• Спираль Cornu

• спираль Феодора

• Спираль Фибоначчи (золотая спираль)

• Эвольвента круга (черная) не идентична спирали Архимеда (красная).

Например, архимедова спираль образуется при свертывании ковра. ^[6]

Гиперболическая спираль появляется как изображение спирали с помощью специальной центральной проекции (см схемы). Гиперболическую спираль иногда называют обратной спиралью, потому что это изображение спирали Архимеда с инверсией круга (см. Ниже). ^[7]

Название « логарифмическая спираль» связано с уравнением . Приближения к этому встречаются в природе.${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}$

Спирали, не попадающие в эту схему первых 5 примеров:

Корень спираль имеет две асимптотических точки. Спираль Феодора представляет собой многоугольник. Фибоначчи спираль состоит из последовательности дуг окружности. Эвольвентный круг выглядит как Архимед, но это не так : см эвольвентных # Примеров .

Геометрические свойства [ править ]

Следующие соображения относятся к спиралям, которые могут быть описаны полярным уравнением , особенно для случаев (архимедова, гиперболическая, ферма, спираль литууса) и логарифмической спирали .${\displaystyle r=r(\varphi )}$${\displaystyle r(\varphi )=a\varphi ^{n}}$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

Определение сектора (голубой) и полярного угла наклона ${\displaystyle \alpha }$

Полярный угол наклона

Угол между касательной и спиральной соответствующим полярным кругом (см диаграммы) называется углом наклона полярного и в полярном склоне .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \tan \alpha }$

Из векторного исчисления в полярных координатах получается формула

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .}$

Следовательно, наклон спирали равен${\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .}$

В случае спирали Архимеда ( ) полярный наклон равен${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}$

Логарифмическая спираль представляет собой особый случай, из - за постоянной  !${\displaystyle \ \tan \alpha =k\ }$

кривизна

Кривизна кривой с полярным уравнением равна${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}$

Для спирали с одним получается${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

• ${\displaystyle \kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .}$

В случае (спирали Архимеда) . Только у спирали есть точка перегиба .${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}}$
${\displaystyle -1<n<0}$

Кривизна логарифмической спирали равна${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$${\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}$

Площадь сектора

Площадь сектора кривой (см. Диаграмму) с полярным уравнением равна${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .}$

Для спирали с уравнением получаем${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{if}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{if}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .}$

Формула логарифмической спирали :${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$${\displaystyle \ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .}$

Длина дуги

Длина дуги кривой с полярным уравнением равна${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Длина спирали${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .}$

Не все эти интегралы можно решить с помощью подходящей таблицы. В случае спирали Ферма интеграл может быть выражен только эллиптическими интегралами .

Длина дуги логарифмической спирали равна${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$${\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

Инверсия круга

Инверсии на единичной окружности имеют в полярных координатах простого описания .${\displaystyle \ (r,\varphi )\mapsto ({\tfrac {1}{r}},\varphi )\ }$

• Изображение спирали при инверсии на единичном круге - это спираль с полярным уравнением . Например: спираль, обратная спирали Архимеда, - это гиперболическая спираль.${\displaystyle \ r=a\varphi ^{n}\ }$${\displaystyle \ r={\tfrac {1}{a}}\varphi ^{-n}\ }$

Логарифмическая спираль отображается на логарифмическую спираль${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$${\displaystyle \;r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\;.}$

Ограниченные спирали [ править ]

Ограниченные спирали: (слева), (справа)
${\displaystyle r=a\arctan(k\varphi )}$
${\displaystyle r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)}$

Функция спирали, как правило , строго monotnic, непрерывна и ип ограничена . Для стандартных спиралей это либо степенная функция, либо экспоненциальная функция. Если выбрать для более ограниченной функции спиральной ограничена, тоже. Подходящей ограниченной функцией является функция arctan :${\displaystyle r(\varphi )}$${\displaystyle r(\varphi )}$${\displaystyle r(\varphi )}$

Пример 1

Установка и выбор дает спираль, которая начинается в начале координат (как спираль Архимеда) и приближается к окружности с радиусом (диаграмма слева).${\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}$${\displaystyle \;k=0.1,a=4,\;\varphi \geq 0\;}$${\displaystyle \;r=a\pi /2\;}$

Пример 2

Для и получается спираль, которая приближается к началу координат (как гиперболическая спираль) и приближается к окружности с радиусом (диаграмма справа).${\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}$${\displaystyle \;k=0.2,a=2,\;-\infty <\varphi <\infty \;}$${\displaystyle \;r=a\pi \;}$

Трехмерный [ править ]

Конические спирали [ править ]

Если в - -плоскости спирали с параметрическим представлением ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

задано, то можно добавить третью координату , так что теперь пространственная кривая лежит на конусе с уравнением :${\displaystyle z(\varphi )}$${\displaystyle \;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

Спирали, основанные на этой процедуре, называются коническими спиралями .

Пример

Начиная с архимедовой спирали, получается коническая спираль (см. Диаграмму)${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

Сферическая спираль с ${\displaystyle c=8}$

Сферические спирали [ править ]

Если представить сферу радиуса следующим образом:${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}}$

и задает линейную зависимость для угловых координат, получается сферическая кривая, называемая сферической спиралью ^[8] с параметрическим представлением (с удвоенным числом витков)${\displaystyle \;\varphi =c\theta ,\;c>2\;,}$${\displaystyle c}$

• ${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos {\color {red}c\theta }\\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin {\color {red}c\theta }\\z&=&r\cdot \cos \theta \qquad \qquad 0\leq \theta \leq \pi \ .\end{array}}}$

Паппу были известны и сферические спирали.

Замечание: а локсодромия это не сферическая спираль в этом смысле.

• Сферическая спираль

• Локсодромия

Линия румба (также известная как локсодромия или «сферическая спираль») - это кривая на сфере, которую проводит корабль с постоянным пеленгом (например, путешествуя от одного полюса к другому, сохраняя фиксированный угол по отношению к меридианам ). Локсодрома имеет бесконечное количество оборотов , причем расстояние между ними уменьшается по мере приближения кривой к любому из полюсов, в отличие от спирали Архимеда, которая поддерживает одинаковый межстрочный интервал независимо от радиуса.

В природе [ править ]

Изучение спиралей в природе имеет долгую историю. Кристофер Рен заметил, что многие оболочки образуют логарифмическую спираль ; Ян Сваммердам наблюдал общие математические характеристики широкого диапазона раковин от Helix до Spirula ; и Генри Ноттидж Мозли описал математику раковин единичных моллюсков. В книге Д'Арси Вентворта Томпсона « О росте и форме» эти спирали подробно рассматриваются. Он описывает, как оболочки образуются путем вращения замкнутой кривой вокруг фиксированной оси: формакривой остается фиксированной, но ее размер растет в геометрической прогрессии . В некоторых раковинах, таких как Nautilus и аммониты , образующая кривая вращается в плоскости, перпендикулярной оси, и раковина будет образовывать плоскую дискообразную форму. В других случаях следует перекос путь , образующий Helico -spiral узор. Томпсон также изучал спирали в рогах , зубах , когтях и растениях . ^{[9] [ необходима страница ]}

Модель рисунка цветочков на кочане подсолнечника ^[10] была предложена Х. Фогелем. Это имеет вид

${\displaystyle \theta =n\times 137.5^{\circ },\ r=c{\sqrt {n}}}$

где n - порядковый номер цветочка, а c - постоянный коэффициент масштабирования и представляет собой форму спирали Ферма . Угол 137,5 ° - это золотой угол, который связан с золотым сечением и дает плотную упаковку цветков. ^[11]

Спирали у растений и животных часто называют мутовками . Это также название, данное спиралевидным отпечаткам пальцев .

• Художественная визуализация спиральной галактики.

• Кочан подсолнечника с цветочками, образующими спираль из 34 и 55 вокруг внешней стороны.

В лаборатории [ править ]

Когда сульфат калия нагревают в воде и подвергают завихрению в химическом стакане, кристаллы образуют спиральную структуру с множеством рукавов, когда дают осесть. ^[12]

• Сульфат калия в растворе образует спиральную структуру.

Как символ [ править ]

Спиралевидная форма была найдена в Мезине , Украина , как часть декоративного объекта, датируемого 10 000 годом до нашей эры. ^{[ необходима цитата ]}

Мотив спирали и тройной спирали является символом неолита в Европе ( мегалитические храмы Мальты ). Кельтский символ тройной спирали является фактически докельтским символом. ^[13] Он высечен в скале каменной ромбовидной формы возле главного входа в доисторический памятник Ньюгрейндж в графстве Мит , Ирландия . Ньюгрейндж был построен около 3200 г. до н.э., раньше кельтов, а тройные спирали были вырезаны по крайней мере за 2500 лет до того, как кельты достигли Ирландии, но уже давно вошли в кельтскую культуру. ^[14] трискелионсимвол, состоящий из трех сблокированных спиралей или три согнутых ног человека, появляется во многих ранних культурах, в том числе микенских сосудов, на монетах в Ликии , на статеры из Памфилии (в Аспендосе , 370-333 до н.э.) и Писидии , а также на геральдическом герб на воинских щитах, изображенных на греческой керамике. ^[15]

Спирали можно найти в доколумбовом искусстве Латинской и Центральной Америки. Более 1400 петроглифов (наскальных рисунков ) в Лас-Пласуэлас , Мексика , Гуанахуато , датируемых 750–1200 годами нашей эры, в основном изображают спирали, точечные фигуры и масштабные модели. ^[16] В Колумбии фигуры обезьян, лягушек и ящериц, изображенные на петроглифах или в виде золотых подношений, часто включают спирали, например, на ладонях. ^[17] В Нижней Центральной Америке спирали вместе с кругами, волнистыми линиями, крестами и точками являются универсальными символами петроглифов. ^[18] Спирали также можно найти среди линий Наска.в прибрежной пустыне Перу, датируемой с 200 г. до н.э. по 500 г. н.э. Геоглифы исчисляются тысячами и изображают животных, растений и геометрических мотивов, в том числе спиралей. ^[19]

Спиральные формы, в том числе свастика , трискеле и т. Д., Часто интерпретировались как солярные символы . ^{[ необходима цитата ]} Черепицы, относящиеся ко времени династии Тан, с этим символом были найдены к западу от древнего города Чанъань (современный Сиань). ^{[ необходима цитата ] [ требуется год ]}

Спирали также являются символом гипноза , происходящим из клише людей и героев мультфильмов, которых загипнотизировали, глядя во вращающуюся спираль (одним из примеров является Каа в Диснеевской книге джунглей ). Они также используются как символ головокружения , когда глаза мультипликационного персонажа, особенно в аниме и манге , превращаются в спирали, чтобы показать, что они головокружены или ошеломлены. Спираль также встречается в структурах размером с двойную спираль ДНК и размером с галактику . Из-за этого частого естественного явления спираль является официальным символомМировое пантеистическое движение . ^[20] Спираль также является символом диалектического процесса и диалектического монизма .

В искусстве [ править ]

Спираль вдохновляла художников на протяжении веков. Среди самых известных произведений искусства, вдохновленных спиралями, - земляные работы Роберта Смитсона « Спиральная пристань » у Большого Соленого озера в Юте. ^[21] Спиральная тема также присутствует в «Поле спирального резонанса» Дэвида Вуда в Музее воздушных шаров в Альбукерке, а также в получившем признание критиков концептуальном альбоме Nine Inch Nails 1994 года The Downward Spiral . Спираль также является важной темой в аниме Гуррен Лаганн , где она представляет философию и образ жизни. Это также центральное место в творчестве Марио Мерца и Энди Голдсуорси. Спираль - центральная тема манги ужасов.Узумаки работы Дзюнджи Ито , где небольшой прибрежный городок подвергся проклятию, включающему спирали. 2012 Часть разума Уэйн Бил также изображает большую спираль в этой книге снов и образов. ^{[22] [ требуется полная ссылка ] [23] [ требуется проверка ]}

См. Также [ править ]

• Кельтский лабиринт (прямолинейная спираль)
• Концентрические круги
• ДНК
• Число Фибоначчи
• Гипогей Хал-Сафлиени
• Мегалитические храмы Мальты
• Узоры в природе
• Поверхность ракушки
• Spirangle
• Спиральная овощерезка
• Винтовая лестница
• Трискелион

Ссылки [ править ]

Связанные публикации [ править ]

• Кук, Т., 1903. Спирали в природе и искусстве . Природа 68 (1761), 296.
• Кук, Т., 1979. Кривые жизни . Дувр, Нью-Йорк.
• Хабиб, З., Сакаи, М., 2005. Кривые спирального перехода и их приложения . Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 - 206.
• Димулё, Сарпоно; Хабиб, Зульфикар; Сакаи, Манабу (2009). «Справедливый кубический переход между двумя окружностями, при этом одна окружность находится внутри или касается другой». Численные алгоритмы . 51 (4): 461–476. DOI : 10.1007 / s11075-008-9252-1 . S2CID  22532724 .
• Харари, Г., Таль, А., 2011. Естественная трехмерная спираль . Форум компьютерной графики 30 (2), 237 - 246 [1] .
• Сюй, Л., Молд, Д., 2009. Магнитные кривые: эстетические кривые, контролируемые кривизной, с использованием магнитных полей . В: Деуссен, О., Холл, П. (ред.), Вычислительная эстетика в графике, визуализации и визуализации. Еврографическая ассоциация [2] .
• Ван, Юйлинь; Чжао, Бинъянь; Чжан, Лузоу; Сюй, Цзячуань; Ван, Канчан; Ван, Шучунь (2004). «Создание прямых кривых с использованием монотонных элементов кривизны». Компьютерный геометрический дизайн . 21 (5): 515–527. DOI : 10.1016 / j.cagd.2004.04.001 .
• Курносенко, А. (2010). «Применение инверсии для построения плоских рациональных спиралей, удовлетворяющих двухточечным данным Эрмита G2». Компьютерный геометрический дизайн . 27 (3): 262–280. arXiv : 0902.4834 . DOI : 10.1016 / j.cagd.2009.12.004 .
• А. Курносенко. Двухточечная интерполяция Эрмита G2 со спиралями путем обращения гиперболы . Компьютерное геометрическое проектирование, 27 (6), 474–481, 2010.
• Миура, К.Т., 2006. Общее уравнение эстетических кривых и его самоаффинность . Компьютерное проектирование и приложения 3 (1–4), 457–464 [3] .
• Миура, К., Соне, Дж., Ямасита, А., Канеко, Т., 2005. Вывод общей формулы эстетических кривых . В: 8-я Международная конференция по людям и компьютерам (HC2005). Айзу-Вакамуцу, Япония, стр. 166–171 [4] .
• Кроткий, DS; Уолтон, ди-джей (1989). «Использование спиралей Корню для рисования плоских кривых контролируемой кривизны» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 25 : 69–78. DOI : 10.1016 / 0377-0427 (89) 90076-9 .
• Томас, Сунил (2017). «Сульфат калия при растворении в растворе образует спиральную структуру». Русский Журнал физической химии B . 11 : 195–198. DOI : 10.1134 / S1990793117010328 . S2CID  99162341 .
• Фарин, Джеральд (2006). «Кривые Безье класса А». Компьютерный геометрический дизайн . 23 (7): 573–581. DOI : 10.1016 / j.cagd.2006.03.004 .
• Фаруки, Р.Т., 1997. Пифагорово-годографические пятые переходные кривые монотонной кривизны . Компьютерное проектирование 29 (9), 601–606.
• Йошида, Н., Сайто, Т., 2006. Интерактивные эстетические сегменты кривой . Визуальный компьютер 22 (9), 896–905 [5] .
• Йошида, Н., Сайто, Т., 2007. Квазиэстетические кривые в рациональных кубических формах Безье . Компьютерное проектирование и приложения 4 (9–10), 477–486 [6] .
• Зиатдинов, Р., Йошида, Н., Ким, Т., 2012. Аналитические параметрические уравнения логарифмических кривых в терминах неполных гамма-функций . Компьютерное геометрическое проектирование 29 (2), 129–140 [7] .
• Зиатдинов, Р., Йошида, Н., Ким, Т., 2012. Подгонка кривой мультиспирального перехода G2, соединяющей две прямые , Компьютерное проектирование 44 (6), 591–596 [8] .
• Зятдинов, Р., 2012. Семейство суперспиралей с полностью монотонной кривизной, заданное в терминах гипергеометрической функции Гаусса . Компьютерное геометрическое проектирование 29 (7): 510–518, 2012 [9] .
• Зиатдинов, Р., Миура К.Т., 2012. О разнообразии плоских спиралей и их применении в автоматизированном проектировании . European Researcher 27 (8-2), 1227–1232 [10] .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме спирали .

• Jamnitzer -Galerie: 3D-Спираль
• SpiralZoom.com , образовательный сайт о науке формирования узоров, спиралях в природе и спиралях в мифическом воображении.
• Спирали Юргена Кёллера
• Спирали - сборник "Энциклопедия жизни" с примерами спиралей в природе.
• Спираль Архимеда трансформируется в спираль Галилея. Михаил Гайченков, OEIS
• Образовательная веб-страница, соединяющая спирали с природой, искусством и узорами.
• Texto en Espiral