Задача Коши

Задача Коши в математике просит решения дифференциального уравнения в частных , что удовлетворяет определенные условия , которые приведены на гиперповерхности в домене. ^[1] Задача Коши может быть задачей с начальным значением или краевой задачей (для этого случая см. Также краевое условие Коши ). Он назван в честь Огюстена Луи Коши .

Официальное заявление [ править ]

Для уравнения в частных производных, определенного на R ^{n + 1,} и гладкого многообразия S ⊂ R ^{n + 1} размерности n ( S называется поверхностью Коши ) задача Коши состоит в нахождении неизвестных функций дифференциального уравнения относительно независимые переменные , удовлетворяющие ^[2]${\ Displaystyle и_ {1}, \ точки, и_ {N}}$${\ displaystyle t, x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x_{1},\dots ,x_{n},u_{1},\dots ,u_{N},\dots ,{\frac {\partial ^{k}u_{j}}{\partial t^{k_{0}}\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\dots \right)\\&{\text{for }}i,j=1,2,\dots ,N;\,k_{0}+k_{1}+\dots +k_{n}=k\leq n_{j};\,k_{0}<n_{j}\end{aligned}}}$

при условии, за некоторую стоимость ,${\displaystyle t=t_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}=\phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dots ,n_{i}-1}$

где заданы функции, определенные на поверхности (все вместе известные как данные Коши задачи). Производная нулевого порядка означает, что задана сама функция.${\displaystyle \phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle S}$

Теорема Коши – Ковалевского [ править ]

Коши-Ковалевская теорема утверждает , что если все функции являются аналитическими в некоторых окрестностях точки , и , если все функции являются аналитическими в некоторых окрестностях точки , то задача Коши имеет единственное аналитическое решение в некоторых окрестностях точки${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,\phi _{j,k_{0},k_{1},\dots ,k_{n}}^{0},\dots )}$${\displaystyle \phi _{j}^{(k)}}$${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$ .

См. Также [ править ]

• Граничное условие Коши

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Задача Коши в MathWorld .