В математике , А Коши ( французский: [koʃi] ) граничное условие увеличивает обыкновенное дифференциальное уравнение или дифференциальное уравнение в частных с условиями , что решение должно удовлетворять на границе; в идеале, чтобы гарантировать существование уникального решения. Коши граничное условие определяет как значение функции и нормальной производной на границе этого домена . Это соответствует наложению граничных условий Дирихле и Неймана . Он назван в честь плодовитого французского математического аналитика XIX века.Огюстен Луи Коши .
Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка
Граничные условия Коши просты и распространены в обыкновенных дифференциальных уравнениях второго порядка ,
где, чтобы гарантировать, что уникальное решение существует, можно указать значение функции и значение производной в данный момент , т.е.
а также
где - граничная или начальная точка. Поскольку параметркак правило , время, условия Кошей можно также назвать начальные условия значений или данные начального значения или просто Коши данные . Примером такой ситуации являются законы движения Ньютона, где ускорение зависит от позиции , скорость , и время ; здесь данные Коши соответствуют знанию начального положения и скорости.
Уравнения с частными производными
Для уравнений с частными производными граничные условия Коши задают как функцию, так и нормальную производную на границе. Для простоты и конкретности рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка на плоскости
где это неизвестное решение, обозначает производную от относительно и т. д. Функции укажите проблему.
Теперь мы ищем который удовлетворяет уравнению в частных производных в области , который является подмножеством плоскости, и такие, что граничные условия Коши
выполняются для всех граничных точек . Здесь- производная по направлению нормали к границе. Функции а также - данные Коши.
Обратите внимание на разницу между граничным условием Коши и граничным условием Робина . В первом мы указываем и функцию, и нормальную производную. В последнем мы указываем средневзвешенное значение из двух.
Мы хотели бы, чтобы граничные условия обеспечивали существование ровно одного (единственного) решения, но для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка не так просто гарантировать существование и единственность, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные Коши наиболее актуальны для гиперболических задач (например, волнового уравнения ) на открытых областях (например, на полуплоскости). [1]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Райли, KF; Хобсон, депутат; Бенс, SJ Математические методы для физики и техники . С. 705 . ISBN 978-0-521-67971-8.