Граничное условие Неймана

В математике , то Нейман (или второго типа ) граничное условие является типом граничного условия , названный в честь Карла Неймана . ^[1] Когда накладываются на обычном или в дифференциальном уравнении в частных , условие задает значения , в котором производный растворе наносят в пределах границы этого домена .

Можно описать проблему, используя другие граничные условия: граничное условие Дирихле задает значения самого решения (в отличие от его производной) на границе, тогда как граничное условие Коши , смешанное граничное условие и граничное условие Робина все разные. типы комбинаций граничных условий Неймана и Дирихле.

Примеры [ править ]

ODE [ править ]

Например, для обыкновенного дифференциального уравнения

${\ displaystyle y '' + y = 0,}$

граничные условия Неймана на отрезке [ a , b ] принимают вид

${\ displaystyle y '(a) = \ alpha, \ quad y' (b) = \ beta,}$

где α и β - заданные числа.

PDE [ править ]

Например, для уравнения в частных производных

${\ Displaystyle \ набла ^ {2} у + у = 0,}$

где ∇ ² обозначает оператор Лапласа , граничные условия Неймана в области Ω ⊂ ℝ ⁿ принимают вид

${\ displaystyle {\ frac {\ partial y} {\ partial \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {x}) \ quad \ forall \ mathbf {x} \ in \ partial \ Omega,}$

где n обозначает (обычно внешнюю) нормаль к границе ∂ Ω , а f - заданная скалярная функция .

Нормальная производная , который показывает на левой стороне, определяются как

${\ displaystyle {\ frac {\ partial y} {\ partial \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = \ nabla y (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {x}),}$

где ∇ y ( x ) представляет вектор градиента y ( x ) , n̂ представляет собой единичную нормаль, а ⋅ представляет оператор внутреннего произведения .

Становится ясно, что граница должна быть достаточно гладкой, чтобы могла существовать производная по нормали, поскольку, например, в угловых точках границы вектор нормали не определен должным образом.

Приложения [ править ]

Следующие приложения включают использование граничных условий Неймана:

• В термодинамике заданный тепловой поток от поверхности служил бы граничным условием. Например, идеальный изолятор не будет иметь магнитного потока, в то время как электрический компонент может рассеиваться при известной мощности.
• В магнитостатике , то магнитное поле , интенсивность может быть предусмотрено в качестве граничного условия для того , чтобы найти плотность магнитного потока распределение в массиве магнита в пространстве, например , в виде постоянного магнита двигателя. Поскольку задачи магнитостатики включают решение уравнения Лапласа или уравнения Пуассона для магнитного скалярного потенциала , граничное условие является условием Неймана.

См. Также [ править ]

• Различные типы граничных условий в гидродинамике

Ссылки [ править ]