В математике , то граничное условие Робин ( / R ɒ б ɪ п / ; должным образом на французском языке: [ʁɔbɛ] ), или третьего типа граничное условие , представляет собой тип граничного условия , названный в честь Виктора Гюстава Robin (1855-1897). [1] При наложении на обыкновенное уравнение или уравнение в частных производных , это спецификация линейной комбинации значений функции и значений ее производной на границедомена. Другие эквивалентные имена в использовании являются условием Фурье-типа и условие излучения . [2]
Определение
Robin граничные условия взвешенной комбинации граничных условий Дирихле и граничных условий Неймана . Это контрастирует со смешанными граничными условиями , которые представляют собой граничные условия разных типов, заданные на разных подмножествах границы. Граничные условия Робина также называются граничными условиями импеданса из-за их применения в электромагнитных задачах или конвективными граничными условиями из-за их применения в задачах теплопередачи (Hahn, 2012).
Если Ω является областью, в которой данное уравнение должно быть решено, а ∂Ω обозначает его границу , граничное условие Робина будет следующим: [3]
для некоторых ненулевых констант a и b и заданной функции g, определенной на ∂Ω. Здесь u - неизвестное решение, определенное на Ω, а∂ u/∂ nобозначает нормальную производную на границе. В более общем смысле, a и b могут быть (заданными) функциями, а не константами.
В одном измерении, если, например, Ω = [0,1], граничное условие Робина становится условиями:
Обратите внимание на изменение знака перед членом, включающим производную: это потому, что нормаль к [0,1] в 0 указывает в отрицательном направлении, а в 1 - в положительном направлении.
Заявление
Граничные условия Робина обычно используются при решении задач Штурма – Лиувилля, которые возникают во многих контекстах в науке и технике.
Кроме того, граничное условие Робина является общей формой изолирующего граничного условия для уравнений конвекции – диффузии . Здесь сумма конвективного и диффузионного потоков на границе равна нулю:
где D - диффузионная постоянная, u - конвективная скорость на границе, c - концентрация. Второй член является результатом закона диффузии Фика .
Рекомендации
- Перейти ↑ Gustafson, K., (1998). Декомпозиция области, операторная тригонометрия, условие Робина, современная математика , 218 . 432–437.
- ^ Логан, Дж. Дэвид, (2001). Моделирование транспорта в гидрогеохимических системах. Springer.
- ^ JE Акин (2005). Конечно-элементный анализ с оценщиками ошибок: Введение в МКЭ и адаптивный анализ ошибок для студентов инженерных специальностей . Баттерворт-Хайнеманн. п. 69. ISBN. 9780080472751.
Библиография
- Густафсон, К. и Т. Абэ (1998a). Третье граничное условие - Робина? , The Mathematical Intelligencer , 20 , # 1, 63–71.
- Густафсон, К. и Т. Абэ (1998b). (Виктор) Гюстав Робин: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer , 20 , # 2, 47–53.
- Eriksson, K .; Estep, D .; Джонсон, К. (2004). Прикладная математика, тело и душа . Берлин; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-00889-6.
- Аткинсон, Кендалл Э .; Хан, Вэйминь (2001). Теоретический численный анализ: основа функционального анализа . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-95142-3.
- Eriksson, K .; Estep, D .; Hansbo, P .; Джонсон, К. (1996). Вычислительные дифференциальные уравнения . Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-56738-6.
- Мэй, Чжэнь (2000). Численный бифуркационный анализ для уравнений реакции-диффузии . Берлин; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-67296-6.
- Хан, Дэвид В .; Озиск, М.Н. (2012). Теплопроводность, 3-е издание . Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-470-90293-6.