В математике , теорема существования является теорема , которая утверждает существование определенного объекта. [1] [2] Это может быть утверждение, которое начинается с фразы « существует (а) », или универсальное утверждение, последний квантор которого является экзистенциальным (например, «для всех x , y , ... существует (s) ... "). В формальных терминах символической логики теорема существования - это теорема с предваренной нормальной формой, включающей квантор существования, хотя на практике такие теоремы обычно формулируются стандартным математическим языком. Например, утверждение о том, что функция синуса непрерывна всюду, или любую теорему, записанную в нотации большого O , можно рассматривать как теоремы, которые являются экзистенциальными по своей природе, поскольку количественная оценка может быть найдена в определениях используемых понятий.
Споры, восходящие к началу двадцатого века, касаются вопроса чисто теоретических теорем существования, то есть теорем, которые зависят от неконструктивного основополагающего материала, такого как аксиома бесконечности , аксиома выбора или закон исключенного третьего . В таких теоремах нет указаний на то, как сконструировать (или продемонстрировать) объект, существование которого утверждается. С конструктивистской точки зрения такие подходы нежизнеспособны, поскольку они приводят к тому, что математика теряет свою конкретную применимость [3], в то время как противоположная точка зрения состоит в том, что абстрактные методы имеют далеко идущие последствия [ требуется дальнейшее объяснение ] в отличие от численного анализа .
Результаты "чистого" существования
В математике теорема существования является чисто теоретической, если приведенное для нее доказательство не указывает на конструкцию объекта, существование которого утверждается. Такое доказательство неконструктивно [4], так как весь подход может не подойти для построения. [5] С точки зрения алгоритмов , чисто теоретические теоремы существования обходят все алгоритмы нахождения того, что, как утверждается, существует. Им следует противопоставить так называемые «конструктивные» теоремы существования [6], которые многие конструктивистские математики, работающие в области расширенной логики (например, интуиционистской логики ), считают внутренне более сильной, чем их неконструктивные аналоги.
Несмотря на это, чисто теоретические результаты существования, тем не менее, повсеместны в современной математике. Например, оригинальное доказательство существования равновесия по Нэшу, сделанное Джоном Нэшем в 1951 году, было такой теоремой существования. Позже в 1962 г. был найден и конструктивный подход [7].
Конструктивистские идеи
С другой стороны, произошло значительное прояснение того, что такое конструктивная математика, без появления «основной теории». Например, согласно определениям Эрретта Бишопа , непрерывность функции, такой как sin ( x ), должна быть доказана как конструктивная оценка модуля непрерывности , что означает, что экзистенциальное содержание утверждения непрерывности является обещанием, которое может всегда храниться. Соответственно, Бишоп отвергает стандартную идею точечной непрерывности и предлагает определять непрерывность в терминах «локальной однородной непрерывности». [8] Другое объяснение теоремы существования можно получить из теории типов , в которой доказательство экзистенциального утверждения может исходить только от термина (который можно рассматривать как вычислительное содержание).
Смотрите также
Заметки
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - теорема" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 29 ноября 2019 .
- ^ «Определение теоремы существования | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 29 ноября 2019 .
- ^ См. Раздел о неконструктивных доказательствах статьи « Конструктивное доказательство ».
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема существования» . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 ноября 2019 .
- ^ Деннис Э. Хесселинг (6 декабря 2012 г.). Гномы в тумане: прием интуиционизма Брауэра в 1920-е годы . Birkhäuser. п. 376. ISBN. 978-3-0348-7989-7.
- ^ Исаак Рубинштейн; Лев Рубинштейн (28 апреля 1998 г.). Уравнения с частными производными в классической математической физике . Издательство Кембриджского университета. п. 246. ISBN. 978-0-521-55846-4.
- ^ Шефер, Уве (3 декабря 2014 г.). От леммы Спернера к дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах: введение в теоремы о неподвижной точке и их приложения . КИТ Научное издательство. п. 31. ISBN 978-3-7315-0260-9.
- ^ «Конструктивная математика Бишопа в nLab» . ncatlab.org . Проверено 29 ноября 2019 .