Закон исключенного среднего

В логике , то закон исключенного третьего (или принцип исключенного среднего ) гласит , что для любого предложения , либо , что утверждение верно или его отрицание истинно. ^{[ спорят - обсудить ]} Это один из так называемых трех законов мысли , наряду с законом непротиворечивости и законом тождества . Однако ни одна система логики не построена только на этих законах, и ни один из этих законов не предусматривает правил вывода , таких как modus ponens или законы Де Моргана.

Закон также известен как закон (или принцип ) исключенного третьего , на латинском Principium tertii exclusi . Другое латинское обозначение этого закона - tertium non datur : «третья [возможность] не дана». Это тавтология .

Этот принцип не следует путать с семантическим принципом бивалентности , согласно которому каждое предложение истинно или ложно. Принцип двухвалентности всегда подразумевает закон исключенного третьего, в то время как обратное не всегда верно. Часто цитируемый контрпример использует утверждения, которые недоказуемы сейчас, но могут быть доказаны в будущем, чтобы показать, что закон исключенного третьего может применяться, когда принцип двухвалентности не работает. ^[1]

История [ править ]

Аристотель [ править ]

Самая ранняя известная формулировка в обсуждении Аристотеля в принципе непротиворечия , первым предложил в О толковании , ^[2] , где он говорит , что из двух противоречащих друг другу суждений (т.е. там , где одно предложение является отрицанием другого) один должен быть правдой, а другой ложный. ^[3] Он также заявляет это как принцип в книге 3 « Метафизика» , говоря, что необходимо в каждом случае утверждать или отрицать, ^[4] и что невозможно, чтобы между двумя частями противоречия было что-либо. ^[5]

Аристотель писал, что двусмысленность может возникнуть из-за использования неоднозначных имен, но не может существовать в самих фактах:

Таким образом, невозможно, чтобы «быть мужчиной» означало именно «не быть мужчиной», если «человек» не только означает что-то в одном предмете, но также имеет одно значение. ... И не может быть и не быть одним и тем же, кроме как в силу двусмысленности, как если бы тот, кого мы называем «человеком», а другие называли бы «не-человеком»; но вопрос не в том, может ли одно и то же одновременно быть человеком по имени, а не в том, может ли это быть на самом деле. ( Метафизика 4.4, У. Д. Росс (пер.), GBWW 8, 525–526).

Утверждение Аристотеля о том, что «не может быть и не быть одним и тем же», которое было бы записано в логике высказываний как ¬ ( P ∧ ¬ P ), современные логики могли бы назвать законом исключенного третьего ( P ∨ ¬ P ), поскольку распределение отрицания утверждения Аристотеля делает их эквивалентными, несмотря на то, что первое утверждает, что ни одно утверждение не является одновременно истинным и ложным, тогда как второе требует, чтобы любое утверждение было либо истинным, либо ложным.

Но Аристотель также пишет: «Поскольку невозможно, чтобы противоречия одновременно относились к одному и тому же, очевидно, что противоречия также не могут принадлежать одновременно к одному и тому же» (Книга IV, Глава 6, стр. 531). Затем он предполагает, что «не может быть промежуточного звена между противоречиями, но в отношении одного субъекта мы должны либо подтвердить, либо опровергнуть любой предикат» (Книга IV, Глава 7, стр. 531). В контексте Аристотель традиционной логики , это удивительно точное утверждение закона исключенного третьего, P ∨ ¬ P .

Также в « Об интерпретации» Аристотель, по-видимому, отрицает закон исключенного третьего в случае будущих контингентов в своем обсуждении морского сражения.

Лейбниц [ править ]

Его обычная форма: «Каждое суждение истинно или ложно» [сноска 9] ... »(из Колмогорова в van Heijenoort, стр. 421), сноска 9:« Это очень простая формулировка Лейбница (см. Nouveaux Essais , IV. , 2) "(там же стр. 421)

Бертран Рассел и Principia Mathematica [ править ]

Этот принцип был сформулирован как теорема о логике высказываний по Рассел и Уайтхед в Principia Mathematica , как:

${\ Displaystyle \ mathbf {* 2 \ cdot 11}. \ \ \ vdash. \ p \ \ vee \ Thicksim p}$. ^[6]

Так что же такое «правда» и «ложь»? В начале PM быстро объявляет некоторые определения:

Истинные ценности . « Истинное значение» предложения является истиной, если оно истинно, и ложью, если оно ложно * [* Эта фраза принадлежит Фреге] ... истинностное значение «p ∨ q» является истиной, если истина- значение p или q является истиной, и ложью в противном случае ... значение "~ p" противоположно значению p ... "(стр. 7-8)

Это не сильно поможет. Но позже, в более глубоком обсуждении («Определение и систематическая двусмысленность Истины и Лжи» Глава II, Часть III, стр. 41 и далее), PM определяет истину и ложь в терминах отношения между «a» и «b». и «воспринимающий». Например, «Этот 'a' равен 'b'» (например, «Этот 'объект a' - 'красный'») на самом деле означает «'объект a' является чувственным данным», а «« красный »является чувственным данным». , и они «стоят по отношению» друг к другу и по отношению к «Я». Таким образом, на самом деле мы имеем в виду: «Я чувствую, что« Этот объект а красный »», и это неопровержимая «истина» третьей стороны.

PM далее определяет различие между «чувственными данными» и «ощущением»:

То есть, когда мы судим (говорим) «это красное», возникает связь трех терминов: разума, «этого» и «красного». С другой стороны, когда мы воспринимаем «красноту этого», существует связь двух терминов, а именно ума и сложного объекта «краснота этого» (стр. 43–44).

Рассел повторил свое различие между «чувственными данными» и «ощущением» в своей книге «Проблемы философии» (1912), опубликованной одновременно с PM (1910–1913):

Давайте назовем «чувственными данными» вещи, которые непосредственно познаются в ощущении: такие вещи, как цвета, звуки, запахи, твердость, шероховатость и так далее. Мы дадим название «ощущению» переживанию непосредственного осознания этих вещей ... Цвет сам по себе является чувственным данным, а не ощущением. (стр.12)

Рассел далее описал свои аргументы в пользу своих определений «истины» и «лжи» в той же книге (глава XII, « Истина и ложь» ).

Последствия закона исключенного третьего в Principia Mathematica [ править ]

Из закона исключенного среднего, формулы ✸2.1 в Principia Mathematica , Уайтхед и Рассел выводят одни из самых мощных инструментов в арсенале логиков. (В Principia Mathematica формулы и предложения обозначаются звездочкой и двумя числами, например «✸2.1».)

✸2.1 ~ p ∨ p «Это закон исключенного среднего» ( PM , стр. 101).

Доказательство п. 2.1 примерно таково: «примитивная идея» 1.08 определяет p → q = ~ p ∨ q . Подставляя р для д в этом правиле дает р → р = ~ р ∨ р . Поскольку p → p истинно (это теорема 2.08, которая доказывается отдельно), то ~ p ∨ p должно быть истинным.

✸2.11 p ∨ ~ p (Перестановка утверждений разрешена аксиомой 1.4)
✸2.12 p → ~ (~ p ) (Принцип двойного отрицания, часть 1: если «эта роза красная» верно, то неверно, что » "эта роза не-красная" истинно ".)
2.13 p ∨ ~ {~ (~ p )} (Лемма вместе с 2.12 используется для вывода 2.14)
✸2.14 ~ (~ p ) → p (Принцип двойного отрицания, часть 2)
✸2,15 (~ p → q ) → (~ q → p) (Один из четырех «Принципов транспонирования». Аналогичен 1.03, 1.16 и 1.17. Здесь требовалась очень длинная демонстрация.)
✸2.16 ( p → q ) → (~ q → ~ p ) (Если это правда, что " Если эта роза красная, значит, эта свинья летает », тогда верно, что« Если эта свинья не летает, то эта роза не красная ».)
✸2.17 (~ p → ~ q ) → ( q → p ) (Еще одна из «Принципы транспонирования».)
✸2.18 (~ p → p ) → p (Называется «Дополнение reductio ad absurdum .Он утверждает, что предложение, которое следует изгипотеза собственной ложности верна »( PM , стр. 103–104).)

Большинство этих теорем - в частности, пп. 2.1, п. 2.11 и п. 2.14 - отвергаются интуиционизмом. Эти инструменты преобразованы в другую форму, которую Колмогоров называет «четырьмя аксиомами импликации Гильберта» и «двумя аксиомами отрицания Гильберта» (Колмогоров в van Heijenoort, стр. 335).

Утверждения 2.12 и ✸2.14, «двойное отрицание»: интуиционистские работы Л. Дж. Брауэра относятся к тому, что он называет « принципом взаимности множественных видов , то есть принципом, согласно которому для каждой системы правильность свойства следует из невозможность невозможности этого свойства »(Брауэр, там же, стр. 335).

Этот принцип обычно называют «принципом двойного отрицания» ( PM , стр. 101–102). Из закона исключенного третьего (2.1 и ✸2.11) PM немедленно выводит принцип ✸2.12. Мы заменяем ~ p на p в 2.11, чтобы получить ~ p ∨ ~ (~ p ), и по определению импликации (т.е. 1.01 p → q = ~ p ∨ q) тогда ~ p ∨ ~ (~ p) = p → ~ (~ p). QED (вывод 2.14 немного сложнее.)

Райхенбах [ править ]

Это правильно, по крайней мере для бивалентной логики - то есть это можно увидеть с помощью карты Карно, - что этот закон удаляет «середину» включающего - или используется в его законе (3). И в этом суть демонстрации Райхенбахом того, что, по мнению некоторых, исключительное -or должно занять место включающего -or .

По поводу этого вопроса (правда, в очень технических терминах) Райхенбах замечает:

Tertium non datur

29. ( x ) [ f ( x ) ∨ ~ f ( x )]

не является исчерпывающим в своих основных терминах и, следовательно, является раздутой формулой. Этот факт, возможно, может объяснить, почему некоторые люди считают неразумным писать (29) с включающим-'или' и хотят, чтобы это было написано со знаком исключающего -'или '.

30. ( x ) [ f ( x ) ⊕ ~ f ( x )], где символ «⊕» означает исключающее ИЛИ ^[7]

в какой форме он будет полностью исчерпывающим и, следовательно, номологическим в более узком смысле. (Райхенбах, стр. 376)

В строке (30) «(x)» означает «для всех» или «для каждого», форма, используемая Расселом и Райхенбахом; сегодня символизм обычно x . Таким образом, пример выражения будет выглядеть так:${\ displaystyle \ forall}$

• ( свинья ): ( Мухи ( свинья ) ⊕ ~ Мухи ( свинья ))
• (Для всех случаев «свинья» видимая и невидимая): («Свинья летает» или «Свинья не летает», но не оба одновременно)

Логики против интуиционистов [ править ]

С конца 1800-х по 1930-е гг. Между Гильбертом и его последователями бушевали ожесточенные и упорные дебаты против Германа Вейля и Л. Дж . Брауэра . Философия Брауэра, называемая интуиционизмом , всерьез началась с Леопольда Кронекера в конце 1800-х годов.

Гильберту очень не нравились идеи Кронекера:

Кронекер настаивал на том, что без строительства не может быть существования. Для него, как и для Пола Гордана [еще одного пожилого математика], доказательство Гильбертом конечности базиса инвариантной системы не было математикой. Гильберт, с другой стороны, на протяжении всей своей жизни настаивал на том, что, если можно доказать, что атрибуты, присвоенные концепции, никогда не приведут к противоречию, тем самым будет установлено математическое существование концепции (Рид, стр. 34).

Он [Кронекер] утверждал, что ничто не может считаться математически существующим, если оно не может быть построено с помощью конечного числа положительных целых чисел (Рейд, стр. 26).

Дебаты оказали глубокое влияние на Гильберта. Рид указывает, что вторая проблема Гильберта (одна из проблем Гильберта со Второй Международной конференции в Париже в 1900 году) возникла из этих дебатов (курсив в оригинале):

В своей второй задаче [Гильберт] попросил математического доказательства непротиворечивости аксиом арифметики действительных чисел.

Чтобы показать важность этой проблемы, он добавил следующее наблюдение:

«Если какому-либо понятию приписываются противоречивые атрибуты, я говорю, что математически этого понятия не существует » (Рид, стр. 71)

Таким образом, Гильберт говорил: «Если доказано, что p и ~ p истинны, то p не существует», и тем самым ссылался на закон исключенного среднего, преобразованный в форму закона противоречия.

И, наконец, конструктивисты ... ограничили математику изучением конкретных операций над конечными или потенциально (но не на самом деле) бесконечными структурами; завершенные бесконечные совокупности ... были отвергнуты, как и косвенные доказательства, основанные на Законе исключенного среднего. Наиболее радикальными среди конструктивистов были интуиционисты во главе с бывшим топологом Л. Д. Брауэром (Доусон, стр. 49).

Злобные дебаты продолжались с начала 1900-х до 1920-х годов; в 1927 году Брауэр жаловался на «полемику против него [интуиционизма] в насмешливых тонах» (Brouwer in van Heijenoort, стр. 492). Но дебаты были плодотворными: они привели к Principia Mathematica (1910–1913), и эта работа дала точное определение закону исключенного среднего, и все это предоставило интеллектуальную среду и инструменты, необходимые математикам начала 20 века. :

Из недоброжелательности, отчасти порожденной ею, возникло несколько важных логических разработок ... Аксиоматизация теории множеств Цермело (1908a) ... за которой двумя годами позже последовал первый том Principia Mathematica ... в котором Рассел и Уайтхед показали, как с помощью теории типов большая часть арифметики может быть развита логическими средствами (Доусон, стр. 49).

Брауэр свел дискуссию к использованию доказательств, основанных на «отрицательном» или «несуществующем» против «конструктивного» доказательства:

Согласно Брауэру, утверждение о том, что существует объект, обладающий данным свойством, означает, и это подтверждается только тогда, когда известен метод, который в принципе, по крайней мере, позволит найти или сконструировать такой объект ...

Гильберт, естественно, не согласился.

«Чистые доказательства существования были важнейшими вехами в историческом развитии нашей науки», - утверждал он. (Рид стр.155)

Брауэр ... отказался принять логический принцип исключенного третьего ... Его аргумент был следующим:

«Предположим, что A - это утверждение:« Существует член множества S, обладающий свойством P » . Если множество конечно, можно - в принципе - исследовать каждый член S и определить, существует ли член S со свойством P или что каждый член S не обладает свойством P. Поэтому для конечных множеств Брауэр принял принцип исключенного среднего как действительный. Он отказался принять его для бесконечных множеств, потому что, если множество S бесконечно, мы не можем - даже в принципе - исследуйте каждый член множества. Если в ходе нашего исследования мы обнаружим член множества со свойством P, обосновывается первая альтернатива; но если мы никогда не найдем такого члена, вторая альтернатива все равно не обоснована.

Поскольку математические теоремы часто доказываются путем установления того, что отрицание приведет нас к противоречию, эта третья возможность, которую предложил Брауэр, поставит под сомнение многие из математических утверждений, принятых в настоящее время.

«Взять принцип исключенного среднего от математика, - сказал Гильберт, - это то же самое, что ... запретить боксеру использовать свои кулаки».

«Возможная потеря, похоже, не беспокоила Вейля ... Программа Брауэра была предстоящим делом, он настаивал на своих друзьях в Цюрихе». (Рейд, стр. 149)}}

В своей лекции в Йельском университете в 1941 году и в последующей статье Гедель предложил решение: «отрицание универсального предложения следует понимать как утверждение существования ... контрпримера» (Доусон, стр. 157)).

Подход Гёделя к закону исключенного третьего заключался в утверждении, что возражения против «использования« импредикативных определений »« имеют больший вес », чем« закон исключенного среднего и связанные с ним теоремы исчисления высказываний »(Доусон, стр. 156). Он предложил свою «систему Σ ... и в заключение он упомянул несколько приложений своей интерпретации. Среди них было доказательство согласованности с интуиционистской логикой принципа ~ (∀A: (A A ~ A)) (несмотря на непоследовательность предположения ∃ A: ~ (A ∨ ~ A) "(Доусон, стр. 157)

Споры, казалось, ослабли: математики, логики и инженеры продолжают использовать закон исключенного третьего (и двойного отрицания) в своей повседневной работе.

Интуиционистские определения закона (принципа) исключенного третьего [ править ]

Нижеследующее подчеркивает глубокую математическую и философскую проблему, стоящую за тем, что значит «знать», а также помогает прояснить, что подразумевает «закон» (то есть, что на самом деле означает закон). У них возникают трудности с законом: они не хотят принимать в качестве истинных следствий то, что невозможно проверить (непроверяемое, непознаваемое), невозможного или ложного. (Все цитаты взяты из van Heijenoort, курсив добавлен).

Брауэр предлагает свое определение «принципа исключенного среднего»; мы видим здесь также проблему "проверяемости":

На основе только что упомянутой проверяемости для свойств, задуманных в рамках конкретной конечной основной системы, выполняется «принцип исключенного среднего», то есть принцип, согласно которому для каждой системы каждое свойство либо правильно [ричтиг], либо невозможно , и, в частности, принцип взаимности дополнительных видов, то есть принцип, согласно которому для каждой системы правильность свойства следует из невозможности невозможности этого свойства. (335)

Определение Колмогорова цитирует две аксиомы отрицания Гильберта.

5. А → (~ А → В )
6. ( A → B ) → {(~ A → B ) → B }

Первая аксиома отрицания Гильберта, «все следует из ложного», появилась только с появлением символической логики, как и первая аксиома импликации ... в то время как ... рассматриваемая аксиома [аксиома 5] что-то утверждает о последствиях чего-то невозможного: мы должны принять B, если истинное суждение A считается ложным ...

Вторая аксиома отрицания Гильберта выражает принцип исключенного третьего. Принцип выражен здесь в том виде, в котором он используется для выводов: если B следует из A, а также из ~ A , то B истинно. Его обычная форма «каждое суждение либо истинно, либо ложно» эквивалентна приведенному выше ».

Из первой интерпретации отрицания, то есть запрета рассматривать суждение как истинное, невозможно получить уверенность в истинности принципа исключенного третьего ... Брауэр показал, что в случае таких трансфинитных суждений принцип исключенная середина не может считаться очевидной

сноска 9: «Это очень простая формулировка Лейбница (см. Nouveaux Essais , IV, 2). Формулировка« A - это либо B, либо нет - B »не имеет ничего общего с логикой суждений.

сноска 10: «Символически вторая форма выражается так

А ∨ ~ А

где ∨ означает «или». Эквивалентность двух форм легко доказывается (с. 421).

Примеры [ править ]

Например, если P - предложение:

Сократ смертен.

тогда закон исключенного третьего гласит, что логическая дизъюнкция :

Либо Сократ смертен, либо Сократ не смертен.

истинно только в силу своей формы. То есть «средняя» позиция, согласно которой Сократ ни смертный, ни несмертный, исключается логикой, и поэтому должна быть либо первая возможность ( Сократ смертен ), либо ее отрицание ( это не тот случай, когда Сократ смертен ). будь настоящим.

Ниже приводится пример аргумента, который зависит от закона исключенного третьего. ^[8] Мы стремимся доказать, что

существует два иррациональных числа, и такое, что является рациональным.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a ^ {b}}$

Как известно, это иррационально (см. Доказательство ). Считайте количество${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}}}$.

Ясно (исключая середину) это число либо рационально, либо иррационально. Если это рационально, доказательство завершено, и

${\ displaystyle a = {\ sqrt {2}}}$и .${\ displaystyle b = {\ sqrt {2}}}$

Но если иррационально, то пусть${\ displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}}}$

${\ displaystyle a = {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}}}$и .${\ displaystyle b = {\ sqrt {2}}}$

потом

${\ displaystyle a ^ {b} = \ left ({\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}} \ right) ^ {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {2}} ^ {\ left ({\ sqrt {2}} \ cdot {\ sqrt {2}} \ right)} = {\ sqrt {2}} ^ {2} = 2}$,

и 2, конечно, рационально. Это завершает доказательство.

В приведенном выше аргументе утверждение «это число либо рационально, либо иррационально» вызывает закон исключенного третьего. Например, интуиционист не согласился бы с этим аргументом без дальнейшей поддержки этого утверждения. Это могло бы прийти в форме доказательства того, что рассматриваемое число на самом деле иррационально (или рационально, в зависимости от обстоятельств); или конечный алгоритм, который может определить, является ли число рациональным.

Неконструктивные доказательства над бесконечностью [ править ]

Приведенное выше доказательство является примером неконструктивного доказательства, запрещенного интуиционистами:

Доказательство неконструктивно, потому что оно не дает конкретных чисел и удовлетворяет теореме, а только две отдельные возможности, одна из которых должна работать. (На самом деле это иррационально, но простого доказательства этого факта нет.) (Davis 2000: 220)${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a = {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}}}$

(Конструктивные доказательства конкретного примера, приведенного выше, нетрудно произвести; например, и то, и другое легко показать как иррациональность ; доказательство, допустимое интуиционистами).${\ displaystyle a = {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle b = \ log _ {2} 9}$${\ displaystyle a ^ {b} = 3}$

Под неконструктивным Дэвис подразумевает, что «доказательство того, что на самом деле существуют математические объекты, удовлетворяющие определенным условиям, не должно предоставлять метод для явного отображения рассматриваемых объектов». (стр. 85). Такие доказательства предполагают существование целостной тотальности - понятие, которое интуиционисты не допускают, когда расширяют его до бесконечности, - для них бесконечное никогда не может быть завершено:

В классической математике встречаются неконструктивные или косвенные доказательства существования, которые интуиционисты не принимают. Например, чтобы доказать, что существует такое n, что P ( n ), классический математик может вывести противоречие из предположения для всех n , а не P ( n ). Как в классической, так и в интуиционистской логике, путем сокращения до абсурда это дает не для всех n, а не для P ( n ). Классическая логика позволяет преобразовать этот результат в то, что существует n такое, что P ( n), но не в общем интуиционистском ... классическом значении, что где-то в завершенной бесконечной совокупности натуральных чисел встречается такое n , что P ( n ), ему недоступно, поскольку он не понимает естественного числа как законченная совокупность. ^[9] (Kleene 1952: 49–50)

Дэвид Гильберт и Луитцен Э. Дж. Брауэр оба приводят примеры закона исключенного среднего, расширенного до бесконечности. Пример Гильберта: «утверждение, что либо существует только конечное число простых чисел, либо их бесконечно много» (цитируется по Davis 2000: 97); и Брауэра: «Каждый математический вид либо конечен, либо бесконечен». (Brouwer 1923 в van Heijenoort 1967: 336).

В общем, интуиционисты допускают использование закона исключенного третьего, когда он ограничивается рассуждением о конечных коллекциях (множествах), но не когда он используется в рассуждениях о бесконечных множествах (например, о натуральных числах). Таким образом, интуиционисты категорически отвергают общее утверждение: «Для всех предложений P, касающихся бесконечных множеств D : P или ~ P » (Kleene 1952: 48).

Подробнее о конфликте между интуиционистами (например, Брауэр) и формалистами (Гильберт) см. « Основы математики» и « Интуиционизм» .

Предполагаемые контрпримеры к закону исключенного третьего включают парадокс лжеца или парадокс Куайна . Некоторые разрешающие эти парадоксы, в частности , Graham Priest «s dialetheism , как воплощенные в LP, есть закон исключенных третий теоремы, но решимость из Лжеца как и истинные и ложные. Таким образом, закон исключенного среднего истинен, но поскольку сама истина и, следовательно, дизъюнкция не исключают друг друга, он почти ничего не говорит о том, является ли один из дизъюнктов парадоксальным или одновременно истинным и ложным.

Критика [ править ]

Многие современные логические системы заменяют закон исключенного третьего концепцией отрицания как отказа . Вместо того, чтобы быть истинным или ложным, предложение либо истинно, либо не может быть доказано. ^[10] Эти две дихотомии отличаются только неполными логическими системами . Принцип отрицания как отказа используется в качестве основы аутоэпистемической логики и широко используется в логическом программировании . В этих системах программист может утверждать закон исключенного среднего как истинный факт, но он не встроен в эти системы априори .

Математики, такие как Л. Э. Дж. Брауэр и Аренд Хейтинг , также оспаривали полезность закона исключенного третьего в контексте современной математики. ^[11]

В математической логике [ править ]

В современной математической логике исключенное третье, как было показано, приводит к возможному внутреннему противоречию . В логике возможно делать хорошо построенные предложения, которые не могут быть ни истинными, ни ложными; Типичным примером этого является « парадокс лжеца » ^[12], утверждение «это утверждение ложно», которое само по себе не может быть ни истинным, ни ложным. Здесь по-прежнему действует закон исключенного третьего, поскольку отрицание этого утверждения «Это утверждение не является ложным» может быть признано истинным. В теории множеств такой парадокс самореферентности можно построить, исследуя множество «множество всех множеств, которые не содержат самих себя». Этот набор однозначно определен, но приводит к расселу.парадокс :^{[13] [14]} содержит ли набор в качестве одного из своих элементов самого себя? Однако в современной теории множеств Цермело – Френкеля такое противоречие больше не допускается.

Аналогичные законы [ править ]

Некоторые системы логики имеют разные, но аналогичные законы. Для некоторых конечных n -значных логик существует аналогичный закон, называемый законом исключенного n + 1-го . Если отрицание циклическое и «∨» является «оператором максимума», то закон может быть выражен на объектном языке как (P ∨ ~ P ∨ ~~ P ∨ ... ∨ ~ ... ~ P), где " ~ ... ~ "представляет n −1 знак отрицания и" ∨ ... ∨ " n −1 знак дизъюнкции. Легко проверить, что предложение должно иметь хотя бы одно из n значений истинности (а не значение, не входящее в число n ).

Другие системы полностью отвергают закон. ^{[ указать ]}

См. Также [ править ]

• Противоречие Брауэра – Гильберта : отчет о разделении формалистов и интуиционистов вокруг Закона исключенного третьего
• Consequentia mirabilis  - Схема рассуждений в логике высказываний
• Теорема Дьяконеску
• Закон исключенного четвертого
• Закон исключенного третьего неверен в многозначных логиках, таких как троичная логика и нечеткая логика  - Система рассуждений о неопределенности
• Законы мысли
• Ограниченный принцип всеведения
• Логические графы : графический синтаксис для логики высказываний
• Закон Пирса : еще один способ превратить интуицию в классику
• Логический детерминизм : приложение исключено от среднего до модального  - Тип предложений формальной логики
• Неутверждающее отрицание в школе буддизма прасангика , другой системе, в которой закон исключенного среднего не соответствует действительности.
• Математический конструктивизм
• Конструктивная теория множеств

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фома Аквинский, " Summa Theologica ", Отцы английской Доминиканской провинции (пер.), Дэниел Дж. Салливан (ред.), Тт. 19–20 в Роберте Мейнарде Хатчинсе (ред.), Великие книги западного мира , Encyclopædia Britannica, Inc., Чикаго, Иллинойс, 1952 г. Цитируется как GB 19–20.
• Аристотель , " Метафизика ", У. Д. Росс (пер.), Т. 8 в Роберте Мейнарде Хатчинсе (ред.), Великие книги западного мира , Encyclopædia Britannica, Inc., Чикаго, Иллинойс, 1952 г. Цитируется как GB 8. 1-е опубликовано, У. Д. Росс (пер.), Труды Аристотеля , Оксфорд University Press, Оксфорд, Великобритания.
• Мартин Дэвис, 2000, Двигатели логики: математики и происхождение компьютера », WW Norton & Company, NY, ISBN 0-393-32229-7 pbk. 
• Доусон, Дж. , Логические дилеммы, Жизнь и творчество Курта Гёделя , А.К. Петерс, Уэлсли, Массачусетс, 1997.
• ван Хейеноорт, Дж. , От Фреге до Гёделя, Справочник по математической логике, 1879–1931 , Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1967. Перепечатано с исправлениями, 1977.
• Луитцен Эгбертус Ян Брауэр , 1923, О значении принципа исключенного третьего в математике, особенно в теории функций [перепечатано с комментарием, стр. 334, ван Хейеноорт]
• Андрей Николаевич Колмогоров , 1925, О принципе исключенного среднего , [перепечатано с комментарием, с. 414, van Heijenoort]
• Луитцен Эгбертус Ян Брауэр , 1927, Об областях определения функций , [перепечатано с комментарием, стр. 446, van Heijenoort] Хотя это и не имеет прямого отношения к делу, в своей работе (1923) Брауэр использует определенные слова, определенные в этой статье.
• Луитцен Эгбертус Ян Брауэр , 1927 (2), Интуиционистские размышления о формализме , [перепечатано с комментарием, стр. 490, van Heijenoort]
• Стивен К. Клин 1952 г., оригинал печати, 1971 г., 6-е издание с исправлениями, 10-е издание, 1991 г., Введение в метаматематику , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN 0-7204-2103-9 . 
• Нил У. и Нил М. , Развитие логики , Издательство Оксфордского университета, Оксфорд, Великобритания, 1962. Перепечатано с исправлениями, 1975.
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , Principia Mathematica to * 56 , Cambridge, University Press, 1962 (второе издание 1927 года, перепечатано). Чрезвычайно сложно из-за загадочного символизма, но необходимо для серьезных логиков.
• Бертран Рассел , Исследование смысла и истины . Лекции Уильяма Джеймса за 1940 год, прочитанные в Гарвардском университете.
• Бертран Рассел , Проблемы философии, с новым введением Джона Перри , Oxford University Press, Нью-Йорк, издание 1997 года (впервые опубликовано в 1912 году). Легко читать: Рассел был прекрасным писателем.
• Бертран Рассел , Искусство философствования и другие эссе , Littlefield, Adams & Co., Тотова, штат Нью-Джерси, издание 1974 года (впервые опубликовано в 1968 году). Включает прекрасное эссе на тему «Искусство рисования умозаключений».
• Ганс Райхенбах , Элементы символической логики , Дувр, Нью-Йорк, 1947, 1975.
• Том Митчелл , Машинное обучение , WCB McGraw-Hill, 1997.
• Констанс Рид , Гильберт , Коперник: Springer-Verlag New York, Inc. 1996, впервые опубликовано в 1969 году. Содержит обширную биографическую информацию, в значительной степени почерпнутую из интервью.
• Барт Коско , Нечеткое мышление: новая наука о нечеткой логике , Гиперион, Нью-Йорк, 1993. Нечеткое мышление в лучшем виде. Но хорошее введение в концепции.
• Дэвид Хьюм , Исследование о человеческом понимании , перепечатано в Британской энциклопедии великих книг западного мира, том 35, 1952 г., стр. 449 сл. Эта работа была опубликована Юмом в 1758 году как его переписанный им "юный" Трактат о человеческой природе: Бытие попыткой внедрить экспериментальный метод рассуждения в нравственные темы. I, Of The Understanding, впервые опубликовано в 1739 году, перепечатано как: Дэвид Хьюм, Трактат о человеческой природе , Penguin Classics, 1985. См. Также: Дэвид Эпплбаум , Видение Юма , Вега, Лондон, 2001: перепечатка отрывка из An Запрос начинается на стр. 94 и далее

Внешние ссылки [ править ]

• Запись «Противоречие» в Стэнфордской энциклопедии философии