В законах мышления являются основополагающими аксиоматическими правилами , на которых рациональный дискурс сам часто рассматриваются на основе. Формулирование и разъяснение таких правил имеет давнюю традицию в истории философии и логики . Как правило , они принимаются как законы , которые руководят и лежат в основе у всех думает, мысли , выражения, дискуссии и т.д. Тем не менее, такие классические идеи часто ставится под сомнение или отклоненных в более недавние события, такие как интуиционистской логики , dialetheism и нечеткой логики .
По данным 1999 года Кембриджского словаря философии , [1] законов мышления являются законами , по которым или в соответствии с которой действительными мыслями продолжаются, или, обосновывающие действительный вывод, или к которому корректному вычету приводимый. Законы мысли - это правила, которые применяются без исключения к любому предмету мысли и т.д .; иногда говорят, что они являются объектом логики [ требуется дальнейшее объяснение ] . Термин, который редко используется разными авторами в одном и том же смысле, долгое время ассоциировался с тремя одинаково неоднозначными выражениями: законом тождества (ID), законом противоречия (или непротиворечия; NC) и законом исключенных. средний (EM). Иногда эти три выражений взяты в качестве предложений по формальной онтологии , имеющих самое широкое предмет, положений , которые применяются к объектам , как , например: (ID), все (то есть, идентичны) себя; (NC) никакая вещь, имеющая данное качество, также не имеет отрицательного значения этого качества (например, никакое четное число не является четным); (ЭМ) каждая вещь либо имеет данное качество, либо имеет отрицательное значение этого качества (например, каждое число либо четное, либо нечетное). Столь же обычным явлением в более старых работах является использование этих выражений для принципов металогики о предложениях: (ID) каждое предложение подразумевает себя; (NC) ни одно предложение не является одновременно истинным и ложным; (EM) каждое предложение истинно или ложно.
Начиная с середины до конца 1800-х годов, эти выражения использовались для обозначения утверждений булевой алгебры о классах: (ID) каждый класс включает себя; (NC) каждый класс таков, что его пересечение («продукт») с его собственным дополнением является нулевым классом; (EM) каждый класс таков, что его объединение («сумма») с его собственным дополнением является универсальным классом. В последнее время последние два из трех выражений использовались в связи с классической логикой высказываний и с так называемой прототетической или количественной логикой высказываний ; в обоих случаях закон непротиворечивости включает отрицание соединения («и») чего-то с его собственным отрицанием, ¬ (A∧¬A), а закон исключенного среднего включает дизъюнкцию («или») что-то со своим отрицанием, A∨¬A. В случае логики высказываний «что-то» - это схематическая буква, служащая заполнителем, тогда как в случае прототетической логики «что-то» является подлинной переменной. Выражения «закон непротиворечия» и «закон исключенного среднего» также используются для семантических принципов теории моделей, касающихся предложений и интерпретаций: (NC) при отсутствии интерпретации - данное предложение одновременно истинное и ложное, (EM) при любом интерпретация, данное предложение является либо истинным, либо ложным.
Вышеупомянутые выражения использовались и по-разному. Многие другие положения также упоминались как законы мышления, в том числе dictum de omni et nullo, приписываемый Аристотелю , заместительность тождественных (или равных), приписываемая Евклиду , так называемая идентичность неразличимых, приписываемая Готфриду Вильгельму Лейбницу , и другие «логические истины».
Выражение «законы мышления» получило дополнительную известность благодаря его использованию Булем (1815–1864 гг.) Для обозначения теорем своей «алгебры логики»; фактически, он назвал свою вторую книгу по логике «Исследование законов мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» (1854 г.). Современные логики, почти единодушно не согласные с Булевым, считают это выражение неправильным; Ни одно из вышеперечисленных положений, отнесенных к «законам мысли», явно не касается мышления как такового, ментального феномена, изучаемого психологией , и не подразумевает явной ссылки на мыслителя или знающего, как это было бы в прагматике или эпистемологии . Широко признано различие между психологией (как исследованием психических явлений) и логикой (как исследованием достоверных выводов).
Три традиционных закона
История
Гамильтон предлагает историю три традиционных законов, начинается с Платоном , протекает через Аристотель, и концы с схоластами этих средних веков ; кроме того, он предлагает четвертый закон (см. запись ниже, под Гамильтоном ):
- « Принципы Противоречия и Исключенного Середины можно проследить до Платона : Принципы Противоречия и Исключенного Середины можно проследить до Платона, которым они провозглашались и часто применялись; хотя вскоре после этого либо из них получили отличительное название. Сначала возьмем принцип Противоречия. Этот закон часто использует Платон, но наиболее примечательные отрывки можно найти в Федо, Софисте, а также в четвертой и седьмой книгах Республики [Гамильтон ЛЕКТ. . V. ЛОГИКА. 62]
- Закон исключенного среднего : Закон исключенного среднего между двумя противоречиями восходит, как я уже сказал, также к Платону, хотя Второй Алкивиад, диалог, в котором он наиболее четко выражен, следует признать ложным. Это также во фрагментах Псевдоархита, которые можно найти в Стобе . [Гамильтон ЛЕКТ. V. ЛОГИКА. 65]
- Гамильтон далее замечает, что «это явно и решительно провозглашается Аристотелем во многих отрывках как из его« Метафизики »(l. Iii. (Iv.) C.7.), Так и из его« Аналитики », как Prior (lic 2), так и Posterior (1. ic 4). В первом из них он говорит: «Невозможно, чтобы существовала какая-либо среда между противоречащими противоположностями, но необходимо либо утверждать, либо отрицать все во всем» [Hamilton LECT. V. LOGIC. 65]
- « Закон тождества. [Гамильтон также называет это« принципом всех логических утверждений и определений »] Антониус Андреас : Я утверждал, что закон тождества не истолковывался как координирующий принцип до сравнительно недавнего периода. Самый ранний автор, в котором Я обнаружил, что это сделано, это Антоний Андреас , ученый Скотта, который процветал в конце тринадцатого и начале четырнадцатого века. Школьник, в четвертой книге своего комментария к метафизике Аристотеля - комментария, который полон наиболее остроумные и оригинальные взгляды, - не только утверждают, что закон Тождества согласован с законом Противоречия, но, вопреки Аристотелю, он утверждает, что принцип Тождества, а не принцип Противоречия, является абсолютно первым принципом. Формула, в которой Андреас выразил это, была Ens est ens . Впоследствии для этого автора вопрос об относительном приоритете двух законов Тождества и Противоречия стал очень тревожным. в школах; хотя были также найдены и те, кто отстаивал этот высший ранг по закону Исключенного Среднего ». [Из Гамильтона LECT. V. LOGIC. 65–66]
Три традиционных закона: идентичность, непротиворечивость, исключенное среднее
Ниже изложены три традиционных «закона» словами Бертрана Рассела (1912):
Закон идентичности
Закон тождества : «Что бы ни было , есть. [2]
Для всех a: a = a.
По поводу этого закона Аристотель писал:
Во-первых, по крайней мере, очевидно, что слово «быть» или «не быть» имеет определенное значение, так что не все будет «таким и не таким». Опять же, если «человек» имеет одно значение, пусть это будет «двуногое животное»; Имея одно значение, я понимаю следующее: если «человек» означает «X», тогда, если A - мужчина, «X» будет тем, что для него означает «быть мужчиной». (Нет никакой разницы, даже если сказать, что слово имеет несколько значений, если только они ограничены числом; для каждого определения может быть назначено другое слово. Например, мы могли бы сказать, что «человек» не имеет ни одного значения. имеется в виду только несколько, одно из которых будет иметь одно определение, а именно «двуногое животное», в то время как могло бы быть также несколько других определений, если бы они были ограничены числом, поскольку каждому из определений может быть присвоено своеобразное имя. Если, однако, они не были ограничены, но можно было сказать, что слово имеет бесконечное количество значений, очевидно, что рассуждение было бы невозможно; поскольку не иметь одного значения, значит не иметь значения, и если слова не имеют значения, наши рассуждения с друг друга, да и самих себя, уничтожены; ибо невозможно думать ни о чем, если мы не думаем об одном; но если это возможно, этому предмету может быть присвоено одно имя.)
- Аристотель, Метафизика , Книга IV, часть 4 (перевод В. Д. Росс) [3]
Более двух тысячелетий спустя Джордж Буль сослался на тот же принцип, что и Аристотель, когда Буль сделал следующее наблюдение относительно природы языка и тех принципов, которые должны естественным образом им присущи:
Действительно, существуют определенные общие принципы, основанные на самой природе языка, с помощью которых определяется использование символов, которые являются лишь элементами научного языка. В определенной степени эти элементы произвольны. Их интерпретация чисто условна: нам разрешено использовать их в любом смысле, который нам нравится. Но это разрешение ограничено двумя непременными условиями: во-первых, мы никогда не отклоняемся от того смысла, который был однажды условно установлен; во-вторых, законы, по которым осуществляется процесс, основываются исключительно на указанном выше фиксированном смысле или значении используемых символов.
- Джордж Буль, Исследование законов мысли
Закон непротиворечия
Закон непротиворечия (попеременно «закон противоречия» [4] ): "Ничто не может быть одновременно и не быть. [2]
Другими словами: «два или более противоречащих друг другу утверждения не могут одновременно быть истинными в одном и том же смысле»: ¬ (A ∧ ¬A).
По словам Аристотеля, «нельзя сказать о чем-то, что это есть, и что это не в одном и том же отношении и в одно и то же время». В качестве иллюстрации этого закона он писал:
Следовательно, невозможно, чтобы «быть мужчиной» означало именно не быть мужчиной, если «человек» не только означает что-то в одном предмете, но также имеет одно значение ... быть тем же самым, за исключением двусмысленности, как если бы тот, кого мы называем «человеком», а другие называли «не-человеком»; но вопрос не в том, может ли одно и то же одновременно быть человеком по имени, а не в том, может ли это быть на самом деле.
- Аристотель, Метафизика, Книга IV, часть 4 (перевод В. Д. Росс) [3]
Закон исключенного среднего
Закон исключенной середины: «Все должно быть или не быть». [2]
В соответствии с законом исключенного среднего или исключенного третьего для каждого предложения истинна либо его положительная, либо отрицательная форма: A ∨ ¬A.
Что касается закона исключенного третьего , Аристотель писал:
Но, с другой стороны, не может быть промежуточного звена между противоречиями, но в отношении одного субъекта мы должны либо подтвердить, либо опровергнуть любой предикат. Это станет ясно, в первую очередь, если мы определим, что такое истина и ложь. Говорить о том, что это не так, или о том, что не является тем, что оно есть, - ложно, в то время как говорить о том, что это такое, и о том, что не является тем, что не является, - верно; так что тот, кто говорит о чем-либо, что это есть, или что это не так, будет говорить либо то, что правда, либо что ложь
- Аристотель, Метафизика, Книга IV, часть 7 (перевод В. Д. Росс) [3]
Обоснование
Как показывают приведенные выше цитаты из Гамильтона, в частности, входа в «закон тождества», обоснование и выражение «законов мысли» были плодородной почвой для философских дебатов со времен Платона. Сегодня дискуссия о том, как мы «познаем» мир вещей и наши мысли, продолжаются; примеры обоснований см. в записях ниже.
Платон
В одном из Платона сократических диалогов , Сократ описал три принципов , полученных из интроспекции :
Во-первых, ничто не может стать больше или меньше, ни по количеству, ни по величине, оставаясь равным самому себе ... Во-вторых, что без сложения или вычитания нет ни увеличения, ни уменьшения чего-либо, а только равенство ... В-третьих, то, что не было раньше, не может быть после, не становясь и не став.
- Платон , Theaetetus , 155 [5]
Индийская логика
Закон непротиворечия находится в древней индийской логике как мета-правила в шраута сутр , грамматике Панини , [6] и Брахма Сутры приписывается Вьяса . Позже это было развито средневековыми комментаторами, такими как Мадхвачарья . [7]
Локк
Джон Локк утверждал, что принципы тождества и противоречия (т. Е. Закон тождества и закон непротиворечия) являются общими идеями и приходят в голову людям только после значительных абстрактных философских размышлений. Он охарактеризовал принцип идентичности как «Все, что есть, есть». Он сформулировал принцип противоречия как «невозможно, чтобы одно и то же было и не было». Для Локка это не были врожденные или априорные принципы. [8]
Лейбниц
Готфрид Лейбниц сформулировал два дополнительных принципа, один или оба из которых иногда можно рассматривать как закон мысли:
- принцип достаточной причины
- личность неразличимых
В мысли Лейбница, как и в целом в подходе рационализма , последние два принципа рассматриваются как ясные и неоспоримые аксиомы . Они были широко признаны в европейской мысли XVII, XVIII и XIX веков, хотя в XIX веке они стали предметом больших споров. Как оказалось, в случае с законом непрерывности , эти два закона связаны с вопросами, которые, с современной точки зрения, являются предметом многочисленных дебатов и анализа (соответственно, детерминизма и протяженности [ требуется разъяснение ] ). Принципы Лейбница оказали особое влияние на немецкую мысль. Во Франции логика Порт-Рояля находилась под влиянием них в меньшей степени. Гегель оспаривает тождество неразличимого в своей « Науке логики» (1812–1816).
Шопенгауэр
Четыре закона
«Основных законов мысли, или условий мыслимого, четыре: 1. Закон тождества [А есть А]. 2. Закон противоречия. 3. Закон исключения; или исключенного среднего. 4. Закон достаточной причины ". (Томас Хьюз, Идеальная теория Беркли и реальный мир , часть II, раздел XV, сноска, стр. 38 )
Артур Шопенгауэр обсуждал законы мышления и пытался продемонстрировать, что они являются основой разума. Он перечислил их следующим образом в своей работе « О четырехчастном корне принципа достаточного разума» , §33:
- Подлежащее равно сумме своих предикатов, или a = a.
- Никакое сказуемое нельзя одновременно приписать и отрицать субъекту или ≠ ~ a.
- Из каждых двух противоречиво противоположных предикатов один должен принадлежать каждому субъекту.
- Истина - это ссылка суждения на что-то вне его как на достаточную причину или основание.
Также:
Законы мысли могут быть наиболее доходчиво выражена следующим образом:
- Все, что есть, существует.
- Ничего одновременно не может быть и не быть.
- Каждая вещь либо есть, либо нет.
- Из всего сущего можно понять, почему это так.
Тогда следовало бы добавить только тот факт, что в логике раз и навсегда вопрос стоит о том, что мыслится и, следовательно, о концепциях, а не о реальных вещах.
- Шопенгауэр, Остатки рукописей , Vol. 4, "Pandectae II", §163
Чтобы показать, что они являются основой разума , он дал следующее объяснение:
Благодаря размышлению, которое я мог бы назвать самоанализом способности разума, мы знаем, что эти суждения являются выражением состояний всякого мышления и, следовательно, их основанием. Таким образом, делая тщетные попытки мыслить вопреки этим законам, способность разума признает их как условия возможности всякого мышления. Затем мы обнаруживаем, что мыслить вопреки им так же невозможно, как и двигать конечностями в направлении, противоположном их суставам. Если бы субъект мог познать себя, мы бы узнали эти законы немедленно , а не сначала через эксперименты с объектами, то есть представлениями (мысленными образами).
- Шопенгауэр, О четырехчастном корне принципа достаточного разума , §33.
Четыре закона Шопенгауэра можно схематически представить следующим образом:
- А - это А.
- А не не-А.
- X либо A, либо не-A.
- Если A, то B (из A следует B).
Два закона
Позже, в 1844 году, Шопенгауэр утверждал, что четыре закона мышления можно свести к двум. В девятой главе второго тома «Мир как воля и представление» он писал:
Мне кажется, что доктрину законов мышления можно было бы упростить, если бы мы установили только два: закон исключенного среднего и закон достаточного основания. Первое так: «Каждое сказуемое может быть подтверждено или опровергнуто в отношении каждого субъекта». Здесь уже содержится в «или, или», что оба не могут происходить одновременно, и, следовательно, как раз то, что выражается законами тождества и противоречия. Таким образом, они будут добавлены как следствия того принципа, который на самом деле гласит, что каждые две концептуальные сферы должны мыслиться либо как объединенные, либо как отдельные, но никогда как обе сразу; и поэтому, даже несмотря на то, что слова соединены вместе, которые выражают последнее, эти слова утверждают процесс мысли, который не может быть осуществлен. Сознание этой неосуществимости есть чувство противоречия. Второй закон мысли, принцип достаточного основания, утверждал бы, что указанное выше приписывание или опровержение должно определяться чем-то отличным от самого суждения, которое может быть восприятием (чистым или эмпирическим) или просто другим суждением. Это другое и отличное от этого явление называется основанием или причиной приговора. Поскольку суждение удовлетворяет первому закону мысли, оно мыслимо; поскольку оно удовлетворяет второму, оно истинно, или, по крайней мере, в случае, когда основанием суждения является только другое суждение, оно логически или формально истинно. [9]
Буль (1854 г.): Из своих «законов разума» Буль выводит «Закон противоречия» Аристотеля.
Название трактата по логике Джорджа Буля 1854 года «Исследование законов мышления» указывает на альтернативный путь. Законы теперь включены в алгебраическое представление его «законов разума», отточенное с годами в современной булевой алгебре .
Обоснование: как различать «законы разума»
Свою главу I «Природа и замысел этой Работы» Буль начинает с обсуждения того, что обычно отличает «законы разума» от «законов природы»:
- "Общие законы природы по большей части не являются непосредственными объектами восприятия. Они являются либо индуктивными выводами из большого массива фактов, общей истиной, в которой они выражаются, либо, по крайней мере, по своему происхождению, физическими гипотезами причинная природа ... Они во всех случаях и в самом строгом смысле этого слова являются вероятными выводами, действительно, все более и более приближающимися к достоверности, поскольку они получают все больше и больше подтверждений опыта ... . "
Этому противоречат то, что он называет «законами разума»: Буль утверждает, что они известны в первую очередь, без необходимости повторения:
- «С другой стороны, знание законов разума не требует в качестве основы какого-либо обширного набора наблюдений. Общая истина видна в конкретном случае и не подтверждается повторением примеров ... мы не только видим в конкретном примере общую истину, но мы видим ее также как определенную истину - истину, наша уверенность в которой не будет продолжать расти с увеличением опыта ее практической проверки ». (Логический 1854: 4)
Знаки Буля и их законы
Логическое начало начинается с понятия «знаки», представляющие «классы», «операции» и «идентичность»:
- "Все знаки языка как инструмент рассуждения могут быть представлены системой знаков, состоящей из следующих элементов:
- «Первые буквальные символы, такие как x, y и т. Д., Представляющие предметы как субъекты наших представлений,
- «2-е знаки действия, такие как +, -, x, обозначающие те операции разума, посредством которых концепции вещей объединяются или разрешаются таким образом, чтобы формировать новые концепции, включающие те же элементы,
- "3-й знак идентичности, =.
- И эти символы логики в своем использовании подчиняются определенным законам, частично совпадающим с законами соответствующих символов в науке алгебры, а частично отличным от них. (Логический 1854: 27)
Затем Boole поясняет, что представляет собой «буквальный символ», например x, y, z, ... - имя, применяемое к коллекции экземпляров в «классы». Например, «птица» представляет собой весь класс пернатых крылатых теплокровных существ. Для своих целей он расширяет понятие класса, чтобы представить принадлежность «одному», или «ничто», или «вселенной», то есть совокупности всех индивидов:
- "Давайте тогда договоримся изобразить класс людей, к которым применимо конкретное имя или описание, одной буквой, как z. ... Под классом обычно понимается совокупность людей, для каждой из которых определенное имя или описание может быть применено; но в этой работе значение термина будет расширено, чтобы включить случай, в котором существует только одно лицо, отвечающее требуемому имени или описанию, а также случаи, обозначенные терминами " ничего »и« вселенная », которые под« классами »следует понимать как включающие, соответственно,« ни одного существа »,« все существа »» (Boole 1854: 28).
Затем он определяет, что означает строка символов, например xy [современное логическое &, соединение]:
- "Далее будет согласовано, что комбинацией xy должен быть представлен тот класс вещей, к которому одновременно применимы имена или описания, представленные x и y. Таким образом, если x один обозначает" белые предметы ", а y обозначает «овца», пусть xy означает «белая овца» »(Boole 1854: 28)
Учитывая эти определения, он теперь перечисляет свои законы с их обоснованием и примерами (производными от Boole):
- (1) xy = yx [закон коммутативности]
- «x представляет собой устья, а y - реки», выражения xy и yx безразлично представляют «реки, которые являются устьями», или «эстуарии, являющиеся реками».
- (2) xx = x, поочередно x 2 = x [Абсолютная идентичность значений, «фундаментальный закон мысли» Буля, см. Стр. 49]
- «Таким образом,« хорошие, хорошие »люди эквивалентны« хорошим »мужчинам».
Логическое ИЛИ : Boole определяет «сбор частей в целое или разделение целого на части» (Boole 1854: 32). Здесь связка «и» используется дизъюнктивно, как «или»; он представляет коммутативный закон (3) и распределительный закон (4) для понятия «собирание». Идею отделения части от целого он символизирует операцией «-»; он определяет коммутативный (5) и распределительный закон (6) для этого понятия:
- (3) y + x = x + y [закон коммутативности]
- «Таким образом, выражение« мужчины и женщины »... эквивалентно выражению« женщины и мужчины ». Пусть x представляет 'мужчин', y, 'женщин' и пусть + означает 'и' и 'или' ... "
- (4) z (x + y) = zx + zy [закон распределения]
- z = европейцы, (x = "мужчины, y = женщины): европейские мужчины и женщины = европейские мужчины и европейские женщины.
- (5) x - y = −y + x [закон коммутации: отделение части от целого]
- «Все люди (x), кроме азиатов (y)» представлены как x - y. «Все государства (x), кроме монархических государств (y)» представлены как x - y
- (6) z (x - y) = zx - zy [закон распределения]
И, наконец, понятие «идентичности», обозначаемое знаком «=». Это позволяет использовать две аксиомы: (аксиома 1): равное, добавленное к равному, приводит к равенству, (аксиома 2): равное, вычитаемое из равного, приводит к равному.
- (7) Идентичность («есть», «есть»), например, x = y + z, «звезды» = «солнца» и «планеты».
Ничего «0» и Вселенная «1» : он замечает, что единственные два числа, которые удовлетворяют xx = x, - это 0 и 1. Затем он замечает, что 0 представляет «Ничего», а «1» представляет «Вселенную» (дискурса).
Логическое НЕ : Бул определяет противоположное (логическое НЕ) следующим образом (его предложение III):
- «Если x представляет какой-либо класс объектов, то 1 - x представляет противоположный или дополнительный класс объектов, то есть класс, включающий все объекты, которые не охватываются классом x» (Boole 1854: 48)
- Если x = «мужчины», то «1 - x» представляет «вселенную» за вычетом «мужчин», то есть «не-людей».
Идея частного в противоположность универсальному : чтобы представить понятие «некоторые люди», Буль пишет маленькую букву «v» перед предикатным символом «vx» some men.
Исключающее и включающее ИЛИ : Бул не использует эти современные имена, но определяет их следующим образом: x (1-y) + y (1-x) и x + y (1-x), соответственно; они согласуются с формулами, полученными с помощью современной булевой алгебры. [10]
Буль выводит закон противоречия
Вооружившись своей «системой», он выводит «принцип [непротиворечивости]», исходя из своего закона тождества: x 2 = x. Он вычитает x из обеих сторон (его аксиома 2), получая x 2 - x = 0. Затем он вычитает x : x (x - 1) = 0. Например, если x = "men", то 1 - x представляет НЕ-мужчины. Итак, у нас есть пример «Закона противоречия»:
- "Следовательно: x (1 - x) будет представлять класс, членами которого одновременно являются" люди "и" не люди ", и уравнение [x (1 - x) = 0], таким образом, выражает принцип, что класс, чьи члены в то же время являются мужчинами, а не мужчинами не существует. Другими словами, невозможно, чтобы один и тот же человек был в одно и то же время мужчиной, а не мужчиной. ... это идентично тому, что "принцип противоречия «которую Аристотель назвал фундаментальной аксиомой всей философии ... то, что обычно считалось фундаментальной аксиомой метафизики, есть не что иное, как следствие закона мысли, математического по своей форме». (с дополнительным объяснением этой «дихотомии» см. Boole 1854: 49ff)
Бул определяет понятие «область (вселенная) дискурса».
Это понятие встречается во всех «Законах мысли» Буля, например, 1854: 28, где символ «1» (целое число 1) используется для обозначения «Вселенной» и «0» для представления «Ничего», и более подробно позже (стр. 42ff):
- «Итак, какова бы ни была протяженность поля, в котором находятся все объекты нашего дискурса, это поле можно правильно назвать универсумом дискурса ... Более того, этот универсум дискурса в самом строгом смысле является конечным субъектом дискурса ".
В своей главе «Исчисление предикатов» Клини замечает, что определение «области» дискурса - «нетривиальное предположение, поскольку оно не всегда явно выполняется в обычном дискурсе ... Аналогичным образом в математике логика может стать довольно скользкой, когда ни один D [домен] не был указан явно или неявно, или спецификация D [домена] слишком расплывчата (Kleene 1967: 84).
Гамильтон (1837–38, лекции по логике, опубликовано в 1860 году): 4-й «Закон разума и следствия»
Как отмечалось выше, Гамильтон определяет четыре закона - три традиционных плюс четвертый «Закон разума и следствия», а именно:
- XIII. Основных законов мысли, или условий мыслимого, как обычно принято считать, являются четыре: 1. Закон тождества; 2. Закон противоречия; 3. Закон исключения или исключенного среднего; и , 4. Закон разума и следствия, или достаточной причины ". [11]
Обоснование: «Логика - это наука о законах мысли как мысли».
Гамильтон полагает, что мысль бывает двух форм: «необходимой» и «случайной» (Hamilton 1860: 17). Что касается «необходимой» формы, он определяет ее изучение как «логику»: «Логика - это наука о необходимых формах мышления» (Hamilton 1860: 17). Для определения «необходимого» он утверждает, что оно подразумевает следующие четыре «качества»: [12]
- (1) «определяется или обусловлено природой самого мыслящего субъекта ... оно определяется субъективно, а не объективно;
- (2) «оригинальные и не приобретенные»;
- (3) «универсальный», то есть не может быть, что он требует в одних случаях и не требует в других.
- (4) «это должен быть закон; ибо закон - это то, что применяется во всех случаях без исключения, и отклонение от которого всегда и везде невозможно или, по крайней мере, недопустимо ... Это последнее условие, подобным образом, позволяет нам дать наиболее ясное изложение предмета-материи логики, говоря, что логика - это наука о законах мысли как мышления, или наука о формальных законах мысли, или наука о законах мышления. форма мысли, потому что все это просто различные выражения одного и того же ".
4-й закон Гамильтона: «Ничего не делайте безосновательно».
Вот четвертый закон Гамильтона из его лекции. V. ЛОГИКА. 60–61:
- "Я перехожу к четвертому закону.
- " Параграф XVII. Закон достаточной причины или причины и следствия :
- XVII. Мышление об объекте, которое на самом деле характеризуется положительными или отрицательными атрибутами, не оставлено на произвол разума - способности мысли; но эта способность должна быть обусловлена тем или иным определенным актом мышления посредством знания. чего-то отличного от самого процесса мышления и не зависящего от него. Это состояние нашего понимания выражается в так называемом законе Достаточного Разума ( Principium Rationis Sufficientis ); но более правильно его называть законом Разума и Consequent ( Principium Rationis et Conservationis ). Это знание, благодаря которому разум вынужден утверждать или постулировать что-то еще, называется логическим основанием или антецедентом ; то, что разум вынужден утверждать или постулировать, называется логическим основанием или антецедентом ; логический следствие ; а отношение между причиной и следствием называется логической связью или следствием . Этот закон выражается в формуле - ничего не выводить без основание или причина. 1
- Отношения между разумом и следствием : отношения между разумом и следствием, если их постичь чистой мыслью, следующие:
- 1. Если причина явно или неявно указана, то должно ¶ существовать следствие; и, наоборот , когда дается следствие, должна существовать и причина.
- 1 См. Schulze, Logik , §19, и Krug, Logik , §20, - ED.
- 2. Если нет причины, не может быть и следствия; и наоборот , если нет следствия (неявно или неявно), не может быть причины. То есть концепции разума и следствия, как взаимно относительные, предполагают и предполагают друг друга.
- Логическое значение этого закона : логическое значение закона разума и следствия заключается в том, что в силу него мысль состоит из ряда действий, все неразрывно связанных между собой; каждый обязательно выводит другой. Таким образом, различение и противопоставление возможной, актуальной и необходимой материи, введенное в логику, является доктриной, полностью чуждой этой науке.
Welton
В XIX веке аристотелевские законы мышления, а иногда и законы мышления Лейбница были стандартным материалом в учебниках логики, и Дж. Велтон описал их следующим образом:
Законы мышления, регулирующие принципы мышления или постулаты знания - это те фундаментальные, необходимые, формальные и априорные психические законы, в соответствии с которыми должна осуществляться вся действительная мысль. Они априори, то есть они являются прямым результатом процессов разума, осуществляемых на фактах реального мира. Они формальны; поскольку, будучи необходимыми законами любого мышления, они не могут в то же время установить определенные свойства какого-либо конкретного класса вещей, потому что не обязательно думать об этом классе вещей или нет. Они необходимы, потому что никто никогда не делает и не может представить их перевернутыми или действительно нарушить их, потому что никто никогда не принимает противоречие, которое представляется ему как таковое.
- Велтон, Руководство по логике , 1891, т. I, стр. 30.
Рассел (1903–1927)
Продолжением книги Бертрана Рассела 1903 года «Принципы математики» стал трехтомный труд под названием « Принципы математики» (далее ПМ), написанный совместно с Альфредом Норт Уайтхедом . Сразу после того, как он и Уайтхед опубликовали PM, он написал свои «Проблемы философии» 1912 года. Его «Проблемы» отражают «центральные идеи логики Рассела». [13]
Принципы математики (1903 г.)
В своих «Принципах» 1903 года Рассел определяет символическую или формальную логику (он использует эти термины как синонимы) как «изучение различных общих типов дедукции» (Russell 1903: 11). Он утверждает, что «символическая логика по существу занимается умозаключением в целом» (Russell 1903: 12), и сноской указывает на то, что он не делает различий между умозаключением и дедукцией ; более того, он считает индукцию «либо замаскированной дедукцией, либо простым методом создания правдоподобных догадок» (Russell 1903: 11). Это мнение изменится к 1912 году, когда он посчитает свой «принцип индукции» равным различным «логическим принципам», включающим «Законы мысли».
В своей Части I «Неопределимые математики», Глава II «Символьная логика», Часть A «Исчисление высказываний» Рассел сводит дедукцию («исчисление высказываний») к 2 «неопределимым» и 10 аксиомам:
- 17. Таким образом, в исчислении высказываний мы не требуем никаких неопределимых, кроме двух видов импликации [простая, также известная как «материальная» [14] и «формальная»] - помня, однако, что формальная импликация - это сложное понятие, чье Что касается наших двух неопределимых, нам необходимы некоторые недоказуемые утверждения, которые до сих пор мне не удалось сократить до менее десяти (Russell 1903: 15).
Из них он утверждает , чтобы быть в состоянии вывести на закон исключенного третьего и закон противоречия , но не выставлять свои выкладки (Russell 1903: 17). Впоследствии он и Уайтхед отточили эти «примитивные принципы» и аксиомы до девяти, найденных в PM, и здесь Рассел фактически демонстрирует эти два вывода при ❋1,71 и 3,24 соответственно.
Проблемы философии (1912)
К 1912 году Рассел в своих «Проблемах» уделяет пристальное внимание «индукции» (индуктивному рассуждению), а также «дедукции» (умозаключению), которые представляют собой лишь два примера «самоочевидных логических принципов», включающих «Законы логики». Мысль." [4]
Принцип индукции : Рассел посвящает главу своему «принципу индукции». Он описывает это как состоящее из двух частей: во-первых, как повторяющийся сбор свидетельств (без известных сбоев ассоциации) и, следовательно, увеличивающуюся вероятность того, что всякий раз, когда происходит A, B следует; во-вторых, в новом случае, когда действительно происходит А, действительно последует В: то есть «достаточное количество случаев ассоциации сделает вероятность новой ассоциации почти достоверной и приблизит ее к определенности без ограничений». [15]
Затем он собирает все случаи (примеры) принципа индукции (например, случай 1: A 1 = «восходящее солнце», B 1 = «восточное небо»; случай 2: A 2 = «заходящее солнце», B 2). = "западное небо"; случай 3: и т. д.) в "общий" закон индукции, который он выражает следующим образом:
- "(а) Чем в большем количестве случаев обнаруживается, что объект типа A ассоциирован с предметом типа B, тем более вероятно (если известны случаи отсутствия ассоциации), что A всегда ассоциируется с B;
- «(b) При тех же обстоятельствах, достаточное количество случаев ассоциации A с B сделает почти уверенным, что A всегда ассоциируется с B, и заставит этот общий закон приблизиться к определенности без ограничений». [16]
Он утверждает, что этот принцип индукции нельзя ни опровергнуть, ни доказать на опыте [17], что отказ от опровержения происходит потому, что закон имеет дело с вероятностью успеха, а не с уверенностью; отсутствие доказательств из-за нерассмотренных случаев, которые еще предстоит испытать, т.е. они произойдут (или не произойдут) в будущем. «Таким образом, мы должны либо принять индуктивный принцип на основании его внутренних доказательств, либо отказаться от всякого оправдания наших ожиданий относительно будущего». [18]
В своей следующей главе («О нашем знании общих принципов») Рассел предлагает другие принципы, обладающие таким же свойством: «которые не могут быть доказаны или опровергнуты опытом, но используются в аргументах, которые исходят из опыта». Он утверждает, что они «имеют даже большее свидетельство, чем принцип индукции ... знание о них имеет ту же степень достоверности, что и знание о существовании чувственных данных. ощущение ». [19]
Принцип вывода . Затем Рассел предлагает пример, который он называет «логическим» принципом. Ранее он дважды утверждал этот принцип, сначала в качестве 4-й аксиомы в его 1903 [20], а затем в качестве своего первого «примитивного предложения» PM: «❋1.1. Все, что подразумевается истинным элементарным утверждением, истинно». [21] Теперь он повторяет это в своей книге 1912 года в уточненной форме: «Таким образом, наш принцип утверждает, что если это подразумевает то, и это правда, то это правда. Другими словами,« все, что подразумевается истинным утверждением, истинно ». , или «все, что следует из истинного предложения, истинно» [22]. Он уделяет большое внимание этому принципу, заявляя, что «этот принцип действительно задействован - по крайней мере, его конкретные примеры задействованы - во всех демонстрациях» [4]. ]
Он не называет свой принцип вывода modus ponens , но его формальное, символическое выражение его в PM (2-е издание, 1927 г.) - это modus ponens ; современная логика называет это «правилом», а не «законом». [23] В следующей цитате символ «" »- это« знак утверждения »(ср. PM: 92); «⊦» означает «это правда», поэтому «p», где «p» означает «солнце встает», означает «это правда, что солнце восходит», поочередно «Утверждение« солнце восходит »- это правда". Символ «импликации» «⊃» обычно читается «если p, то q» или «p подразумевает q» (ср. PM: 7). В это понятие «импликации» встроены две «примитивные идеи»: «Противоречивая функция» (обозначается НЕ, «~») и «Логическая сумма или дизъюнкция» (обозначается ИЛИ, «»); они появляются как «примитивные предложения» ❋1,7 и 1,71 в PM (PM: 97). С помощью этих двух «примитивных утверждений» Рассел определяет «p ⊃ q» как имеющую формальную логическую эквивалентность «NOT-p OR q», символизируемую «~ p ⋁ q»:
- « Вывод . Процесс вывода выглядит следующим образом: утверждение« p »утверждается, и утверждение« p подразумевает q », а затем, как продолжение, утверждается предложение« q ». Доверие к выводу - это убеждение что, если два первых утверждения не ошибочны, последнее утверждение не ошибочно. Соответственно, всякий раз, когда в символах, где p и q, конечно, имеют особое определение
- «⊦p» и «⊦ (p ⊃ q)»
- "произошли, то произойдет" ⊦q ", если это желательно записать. Процесс вывода не может быть сведен к символам. Его единственной записью является появление" ⊦q ". ... Вывод отбрасывание истинной посылки; это растворение импликации ". [24]
Другими словами, в длинной «цепочке» выводов после каждого вывода мы можем отделить «консеквент» «⊦q» от символьной строки «⊦p, ⊦ (p⊃q)» и не переносить эти символы вперед в постоянно удлиняющаяся строка символов.
Три традиционных «закона» (принципа) мышления : Рассел продолжает утверждать другие принципы, из которых вышеупомянутый логический принцип является «только одним». Он утверждает, что «некоторые из них должны быть предоставлены до того, как станут возможными какие-либо аргументы или доказательства. Когда некоторые из них предоставлены, другие могут быть доказаны». Из этих различных «законов» он утверждает, что «без очень веской причины три из этих принципов были выделены традицией под названием« законы мысли ». [25] И он перечисляет их следующим образом:
- «(1) Закон идентичности :« Все, что есть, есть ».
- (2) Закон противоречия : «Ничто не может быть и не быть».
- (3) Закон исключенного третьего : «Все должно быть или не быть». [25]
Обоснование : Рассел полагает, что «название« законы мысли »... вводит в заблуждение, поскольку важно не то, что мы думаем в соответствии с этими законами, а тот факт, что вещи ведут себя в соответствии с ними; другими словами тот факт, что, когда мы думаем в соответствии с ними, мы думаем истинно ». [26] Но он оценивает это как «большой вопрос» и расширяет его в двух следующих главах, где он начинает с исследования понятия «априорное» (врожденное, встроенное) знание и в конечном итоге приходит к его принятию Платонический «мир универсалий». В своем исследовании он время от времени возвращается к трем традиционным законам мысли, выделяя, в частности, закон противоречия: «Вывод о том, что закон противоречия является законом мысли , тем не менее ошибочен ... [скорее], закон противоречия касается вещей, а не только мыслей ... факт, касающийся вещей в мире ». [27]
Его аргумент начинается с утверждения, что три традиционных закона мысли являются «образцами самоочевидных принципов». Для Рассела вопрос «самоочевидности» [28] просто вводит более широкий вопрос о том, как мы получаем наши знания о мире. Он цитирует «историческое противоречие ... между двумя школами, называемыми соответственно« эмпириками »[ Локк , Беркли и Юм ] и« рационалистами »[ Декарт и Лейбниц ]» (эти философы являются его примерами). [29] Рассел утверждает, что рационалисты «утверждали, что, помимо того, что мы знаем из опыта, существуют определенные« врожденные идеи »и« врожденные принципы », которые мы знаем независимо от опыта»; [29], чтобы исключить возможность для младенцев иметь врожденное знание «законов мышления», Рассел переименовывает этот вид знания априори . И хотя Рассел соглашается с эмпириками в том, что «Ничто не может быть известно о существовании, кроме как с помощью опыта» [30], он также соглашается с рационалистами в том, что некоторые знания являются априорными , в частности «положения логики и чистой математики, а также основные положения этики ". [31]
Этот вопрос о том, как такое априорное знание может существовать, направляет Рассела к исследованию философии Иммануила Канта , которое после тщательного рассмотрения он отвергает следующим образом:
- «... есть одно главное возражение, которое кажется фатальным для любой попытки решить проблему априорного знания его методом. Следует принимать во внимание нашу уверенность в том, что факты всегда должны соответствовать логике и арифметике ... Таким образом, решение Канта необоснованно ограничивает объем априорных предложений, в дополнение к неудачам в попытке объяснить их достоверность ». [32]
Его возражения против Канта затем побуждают Рассела принять «теорию идей» Платона , «на мой взгляд ... одну из самых успешных попыток, предпринятых до сих пор»; [33] он утверждает, что «... мы должны исследовать наше знание универсалий ... где мы обнаружим, что [это соображение] решает проблему априорного знания». [33]
Principia Mathematica (Часть I: первое издание 1910 г., 2-е издание 1927 г.)
К сожалению, «Проблемы» Рассела не предлагают примера «минимального набора» принципов, которые применимы к человеческому рассуждению, как индуктивному, так и дедуктивному. Но PM делает по крайней мере , предоставить в пример набор (но не минимальный, см поста ниже) , что является достаточным для дедуктивного рассуждения с помощью исчисления высказываний (в отличие от рассуждений с помощью более-затрудненным исчисления предикатов ) -a общей сложности 8 принципов в начале «Части I: Математическая логика». Каждая из формул: от ❋1.2 до: ❋1.6 является тавтологией (верной независимо от того, каково истинностное значение p, q, r ...). Чего не хватает в обращении с PM, так это формального правила замещения; [34] в своей докторской диссертации 1921 г. Эмиль Пост исправляет этот недостаток (см. Сообщение ниже). Далее формулы записываются в более современном формате, чем тот, который используется в PM; имена даны в личку).
- ❋1.1 Все, что подразумевается истинным элементарным предложением, истинно.
- ❋1.2 Принцип тавтологии: (p ⋁ p) ⊃ p
- ❋1.3 Принцип [логического] сложения: q ⊃ (p ⋁ q)
- ❋1.4 Принцип перестановки: (p ⋁ q) ⊃ (q ⋁ p)
- ❋1.5 Принцип ассоциации: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) [ избыточно ]
- ❋1.6 Принцип [логического] суммирования: (q ⊃ r) ⊃ ((p ⋁ q) ⊃ (p ⋁ r))
- ❋1.7 [логическое НЕ]: Если p - элементарное предложение, ~ p - элементарное предложение.
- ❋1.71 [логическое включающее ИЛИ]: Если p и q являются элементарными предложениями, (p ⋁ q) является элементарными предложениями.
Рассел резюмирует эти принципы следующим образом: «Это завершает список примитивных предложений, необходимых для теории дедукции применительно к элементарным предложениям» (PM: 97).
Исходя из этих восьми тавтологий и неявного использования «правила» подстановки, PM затем выводит более сотни различных формул, среди которых Закон исключенного среднего 1.71 и Закон противоречия ❋3.24 (последний требует определения логического И, обозначаемого современным ⋀: (p ⋀ q) = def ~ (~ p ⋁ ~ q). (PM использует символ «точка» ▪ для логического AND)).
Лэдд-Франклин (1914): «принцип исключения» и «принцип исчерпания»
Примерно в то же время (1912 г.), когда Рассел и Уайтхед заканчивали работу над последним томом своей «Основы математики» и публиковали «Проблемы философии» Рассела, по крайней мере, два логика ( Луи Кутюрат , Кристин Лэдд-Франклин ) утверждали, что два «законы» (принципы) противоречия »и« исключенное среднее »необходимы для определения« противоречий »; Лэдд-Франклин переименовал их в принципы исключения и исчерпания . Следующее появляется как сноска на странице 23 Couturat 1914:
- «Как верно отметила г-жа ЛЭДДФРАНКЛИН (БАЛДУИН, Словарь философии и психологии, статья« Законы мысли »), принцип противоречия недостаточен для определения противоречий; необходимо добавить принцип исключенного третьего, который в равной степени заслуживает внимания. название принципа противоречия. Вот почему г-жа ЛАДД-ФРАНКЛИН предлагает называть их, соответственно, принципом исключения и принципом исчерпания, поскольку, согласно первому, два противоречащих друг другу термина являются исключающими (одно из другого); и, согласно второму, они являются исчерпывающими (вселенной дискурса) ».
Другими словами, создание «противоречий» представляет собой дихотомию , то есть «расщепление» универсума дискурса на два класса (коллекции), которые обладают следующими двумя свойствами: (i) взаимоисключающими и (ii) (совокупно ) исчерпывающий. [35] Другими словами, ни одна вещь (извлеченная из вселенной дискурса) не может одновременно быть членом обоих классов (закон непротиворечия), но [и] каждая отдельная вещь (во вселенной дискурса) должна быть член того или иного класса (закон исключенного среднего).
Пост (1921): Исчисление высказываний непротиворечиво и полно
В рамках своей докторской диссертации «Введение в общую теорию элементарных предложений» Эмиль Пост доказал «систему элементарных предложений Principia [PM]», то есть ее «исчисление высказываний» [36], описанное первыми 8 «примитивными предложениями» PM для быть последовательным . Определение «непротиворечивого» таково: с помощью имеющейся дедуктивной «системы» (сформулированных ею аксиом, законов, правил) невозможно вывести (отобразить) как формулу S, так и ее противоречивую ~ S (т.е. ее логическую формулу). отрицание) (Nagel and Newman 1958: 50). Чтобы продемонстрировать это формально, Пост должен был добавить примитивное предложение к 8 примитивным предложениям PM, «правило», которое определяло понятие «подстановки», которое отсутствовало в исходном PM 1910 года [37].
Учитывая крошечный набор «примитивных предложений» PM и доказательство их непротиворечивости, Пост затем доказывает, что эта система («исчисление высказываний» PM) является полной , что означает, что каждая возможная таблица истинности может быть сгенерирована в «системе»:
- «... каждая система истинности имеет представление в системе принципов, в то время как каждая законченная система, то есть система, имеющая все возможные таблицы истинности, эквивалентна ей ... Таким образом, мы видим, что полные системы эквивалентны системе принципов не только в разработке таблицы истинности, но и в постулате. Поскольку другие системы в некотором смысле являются вырожденными формами полных систем, мы можем сделать вывод, что никаких новых логических систем не вводится ». [38]
Минимальный набор аксиом? Вопрос их независимости
Тогда есть вопрос о «независимости» аксиом. В своем комментарии перед «Постом 1921 года» ван Хейеноорт заявляет, что Пол Бернейс решил этот вопрос в 1918 году (но опубликовал его в 1926 году) - формула ❋1.5 Ассоциативный принцип: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) может быть доказана. с другими четырьмя. Что касается того, какая система «примитивных предложений» является минимальной, ван Хейеноорт заявляет, что этот вопрос «исследовали Зилински (1925), сам Пост (1941) и Верник (1942)», но ван Хейеноорт не отвечает на этот вопрос. [39]
Теория моделей против теории доказательств: доказательство Поста
Клини (1967: 33) отмечает, что «логику» можно «основать» двумя способами: во-первых, как «модельную теорию» или, во-вторых, формальным «доказательством» или «аксиоматической теорией»; «две формулировки, формулировка теории моделей и формулировка теории доказательства, дают эквивалентные результаты» (Kleene 1967: 33). Этот основополагающий выбор и их эквивалентность также применимы к логике предикатов (Kleene 1967: 318).
В своем предисловии к Post 1921 ван Хейеноорт отмечает, что как «таблица истинности, так и аксиоматический подходы четко представлены». [40] Вопрос о доказательстве непротиворечивости в обоих направлениях (модельной теорией, аксиоматической теорией доказательства) поднимается в более подходящей версии доказательства непротиворечивости Поста, которое можно найти у Nagel and Newman 1958 в их главе V "An". Пример успешного абсолютного доказательства непротиворечивости ». В основной части текста они используют модель для достижения своего доказательства непротиворечивости (они также заявляют, что система является полной, но не предлагают доказательства) (Nagel & Newman 1958: 45–56). Но их текст обещает читателю доказательство, которое будет аксиоматическим, а не опирающимся на модель, и в Приложении они представляют это доказательство, основанное на понятиях разделения формул на два класса K 1 и K 2, которые являются взаимоисключающими и исчерпывающими ( Nagel & Newman 1958: 109–113).
Гёдель (1930): Исчисление предикатов первого порядка завершено
(Ограниченное) «исчисление предикатов первого порядка» - это «система логики», которая добавляет к логике высказываний (см. Пост , выше) понятие «субъект-предикат», т.е. субъект x взят из области (вселенной) дискурса и предиката - это логическая функция f (x): x как субъект и f (x) как предикат (Kleene 1967: 74). Хотя доказательство Гёделя включает в себя то же понятие «полноты», что и доказательство Поста, доказательство Гёделя намного сложнее; Ниже приводится обсуждение набора аксиом.
Полнота
Курт Гёдель в своей докторской диссертации 1930 г. «Полнота аксиом функционального исчисления логики» доказал, что в этом «исчислении» (то есть в ограниченной логике предикатов с равенством или без него) каждая действительная формула «либо опровергается, либо выполнима» [41 ] или что сводится к тому же самому: каждая действительная формула доказуема и, следовательно, логика завершена. Вот определение Гёделя того, является ли «ограниченное функциональное исчисление» «полным»:
- «... достаточно ли этого на самом деле для вывода любого логико-математического предложения, или где, возможно, можно предположить, что существуют истинные предложения (которые могут быть доказаны с помощью других принципов), которые не могут быть выведены в системе при рассмотрение." [42]
Исчисление предикатов первого порядка
Это конкретное исчисление предикатов «ограничено первым порядком». К исчислению высказываний он добавляет два специальных символа, которые символизируют обобщения « для всех » и «существует (по крайней мере, одно)», которые распространяются на область дискурса . Исчисление требует только первого понятия «для всех», но обычно включает оба: (1) понятие «для всех x» или «для каждого x» обозначается в литературе так же по-разному, как (x), ∀x, ∏x и т. д., и (2) понятие «существует (по крайней мере, один x)», по-разному обозначаемое как Ex, ∃x.
Ограничение в том , что обобщение «для всех» относится только к переменным (объекты х, Y, Z и т.д. , взятые из области речи) , а не к функциям, другими словами исчисление позволит ∀xf (х) (» для всех существ x, x - птица »), но не ∀f∀x (f (x)) [но если к исчислению добавить« равенство », это позволит ∀f: f (x); см. ниже под Тарским ]. Пример:
- Пусть предикат «функция» f (x) будет «x - млекопитающее», а предметная область (или универсум дискурса ) (см. Kleene 1967: 84) будет категорией «летучие мыши»:
- Формула ∀xf (x) дает значение истинности «истина» (читайте: «Для всех экземпляров x объектов« летучие мыши »,« x - млекопитающее »» является истиной, т.е. «Все летучие мыши - млекопитающие»);
- Но если экземпляры x взяты из домена «крылатые существа», то ∀xf (x) дает значение истинности «ложь» (т.е. «Для всех экземпляров x« крылатых существ »,« x - млекопитающее »» имеет значение «ложь»). истинное значение «ложь»; «летающие насекомые - млекопитающие» ложно);
- Однако в широком контексте дискурса «все крылатые существа» (например, «птицы» + «летающие насекомые» + «белки-летяги» + «летучие мыши») мы можем утверждать ∃xf (x) (читай: «Существует по крайней мере один крылатый существо, которое является млекопитающим »; это дает значение истинности« истина », потому что объекты x могут происходить из категории« летучие мыши »и, возможно,« белки-летяги »(в зависимости от того, как мы определяем« крылатый »). Но формула дает «фальшь», когда область дискурса ограничивается «летающими насекомыми» или «птицами» или обоими «насекомыми» и «птицами».
Клини отмечает, что «исчисление предикатов (без равенства или с равенством) полностью выполняет (для теорий первого порядка) то, что было задумано как роль логики» (Kleene 1967: 322).
Новая аксиома: изречение Аристотеля - «максима всего и ничего»
Эта первая половина этой аксиомы - «максима всех» появится как первая из двух дополнительных аксиом в наборе аксиом Гёделя. «Изречение Аристотеля» ( dictum de omni et nullo ) иногда называют «максимой всего и ничего», но на самом деле это две «максимы», которые утверждают: «Что верно для всех (членов области), верно для некоторых (члены домена) »и« То, что не верно для всех (членов домена), не верно ни для одного (из членов домена) ».
Слово "изречение" встречается в Boole 1854 в паре мест:
- «Может возникнуть вопрос , выражает ли эта формула рассуждения, которую называют изречением Аристотеля de Omni et nullo , первичный закон человеческого мышления; но нет никаких сомнений в том, что она выражает общую истину в логике» ( 1854: 4)
Но позже он, кажется, возражает против этого: [43]
- «[Некоторые принципы] общего принципа аксиоматической природы, такие как« изречение Аристотеля: «Все, что утверждается или отрицается в отношении рода, может в том же смысле подтверждаться или отрицаться в отношении любого вида, включенного в этот род ... либо прямо, но в абстрактной форме излагают аргумент, который они должны прояснить, и, таким образом формулируя этот аргумент, подтверждают его обоснованность; либо включают в свое выражение технические термины, которые после определения снова ведут нас к той же точке, а именно абстрактное изложение предполагаемых допустимых форм вывода ".
Но первая половина этого «изречения» ( dictum de omni ) подхвачена Расселом и Уайтхедом в PM и Гильбертом в его версии (1927 г.) «логики предикатов первого порядка»; его (система) включает принцип, который Гильберт назвал «изречением Аристотеля» [44]
- (х) f (x) → f (y)
Эта аксиома также появляется в современном наборе аксиом, предложенном Клини (Kleene 1967: 387), как его «∀-схема», одна из двух аксиом (он называет их «постулатами»), необходимых для исчисления предикатов; другой - это «∃-схема» f (y) ⊃ ∃xf (x), которая приводит из конкретного f (y) к существованию по крайней мере одного субъекта x, который удовлетворяет предикату f (x); и то, и другое требует приверженности определенной области (универсуму) дискурса.
Ограниченное исчисление предикатов Гёделя
Чтобы дополнить четыре (вместо пяти; см. Пост ) аксиомы исчисления высказываний, Гёдель 1930 добавляет dictum de omni в качестве первой из двух дополнительных аксиом. И это «изречение», и вторая аксиома, как он утверждает в сноске, происходят от Principia Mathematica . Действительно, PM включает в себя как
- ❋10.1 ⊦ ∀xf (x) ⊃ f (y) [«То есть то, что верно во всех случаях, верно в любом одном случае» [45] («Изречение Аристотеля», переписанное более современными символами)]
- ❋10.2 ⊦∀x (p ⋁ f (x)) ⊃ (p ⋁ ∀xf (x)) [переписано более современными символами]
Последний утверждает, что логическая сумма (т.е. ⋁, OR) простого предложения p и предиката ∀xf (x) подразумевает логическую сумму каждого из них в отдельности. Но PM выводит оба из них из шести примитивных утверждений of9, которые во втором издании PM отбрасываются и заменяются четырьмя новыми «Pp» (примитивными принципами) 8 (см., В частности, 8.2, и Гильберт выводит первое из его «логической ε-аксиомы» в его 1927 г. и не упоминает вторую.Как Гильберт и Гёдель пришли к принятию этих двух аксиом, неясно.
Также требуются еще два «правила» отделения («modus ponens»), применимые к предикатам.
Тарский (1946): закон Лейбница
Альфред Тарский в своем «Введение в логику и методологию дедуктивных наук» 1946 года (2-е издание) цитирует ряд того, что он считает «универсальными законами» сентенциального исчисления, три «правила» вывода и один фундаментальный закон идентичность (из которой он выводит еще четыре закона). Традиционные «законы мысли» включены в его длинный список «законов» и «правил». Его лечение, как следует из названия его книги, ограничивается «Методологией дедуктивных наук».
Обоснование : во введении (2-е издание) он отмечает, что то, что началось с приложения логики к математике, было расширено до «всего человеческого знания»:
- «[Я хочу представить] ясное представление об этой мощной тенденции современной мысли, которая сосредоточена на современной логике. Эта тенденция возникла первоначально из несколько ограниченной задачи стабилизации основ математики. Однако на нынешнем этапе она имеет много более широкие цели. Ибо он стремится создать единый концептуальный аппарат, который обеспечил бы общую основу для всего человеческого знания ». [46]
Закон идентичности (закон Лейбница, равенство)
Чтобы добавить понятие «равенства» к «исчислению высказываний» (это новое понятие не следует путать с логической эквивалентностью, обозначаемой буквами, ⇄, «тогда и только тогда, если (если только)», «двояковыпуклый» и т. Д.) Тарский ( cf p54-57) символизирует то, что он называет «законом Лейбница», знаком «=». Это расширяет область (универсум) дискурса и типы функций до чисел и математических формул (Kleene 1967: 148ff, Tarski 1946: 54ff).
Вкратце: учитывая, что «x имеет все свойства, которые имеет y», мы можем написать «x = y», и эта формула будет иметь значение истинности «истина» или «ложность». Тарский формулирует этот закон Лейбница следующим образом:
- Закон И. Лейбница: x = y, тогда и только тогда, когда x обладает всеми свойствами, которыми обладает y, а y имеет все свойства, которыми обладает x.
Затем он выводит из этого закона некоторые другие «законы»:
- II. Закон Рефлексивности: Все равно самому себе: x = x. [Проверено в PM, 13.15]
- III. Закон симметрии: если x = y, то y = x. [Проверено в PM ❋13.16]
- IV. Закон транзитивности: если x = y и y = z, то x = z. [Проверено в PM 13.17]
- V. Если x = z и y = z, то x = y. [Проверено в PM ❋13.172]
Principia Mathematica определяет понятие равенства следующим образом (в современных символах); обратите внимание, что обобщение «для всех» распространяется на функции-предикаты f ():
- ❋13.01. x = y = def ∀f: (f (x) → f (y)) («Это определение гласит, что x и y должны называться идентичными, если каждая функция-предикат, удовлетворяющая x, удовлетворяется y» [47]
Hilbert 1927: 467 добавляет только две аксиомы равенства: первая - x = x, вторая - (x = y) → ((f (x) → f (y)); выражение «для всех f» отсутствует (или Гедель 1930 определяет равенство аналогично PM: .0113.01. Клини 1967 заимствует два из Гильберта 1927 года плюс еще два (Kleene 1967: 387).
Современные разработки
Все вышеперечисленные «системы логики» считаются «классическими» смысловыми предложениями, а выражения предикатов - двузначными, либо со значением истинности «истина», либо с «ложностью», но не обоими сразу (Kleene 1967: 8 и 83). Хотя интуиционистская логика попадает в категорию «классических», она возражает против расширения оператора «для всех» до закона исключенного среднего; он допускает экземпляры «Закона», но не его обобщение на бесконечную область дискурса.
Интуиционистская логика
« Интуиционистская логика », иногда более широко называемая конструктивной логикой , представляет собой параполную символическую логику, которая отличается от классической логики заменой традиционного понятия истины понятием конструктивной доказуемости .
Обобщен закон исключенного третьего не является частью исполнения интуиционистской логики , но ни один не это отрицается. Интуиционистская логика просто запрещает использование операции как часть того, что она определяет как « конструктивное доказательство », что не то же самое, что демонстрация ее недействительности (это сравнимо с использованием определенного стиля здания, в котором винты запрещены и только гвозди разрешены; это не обязательно опровергает или даже ставит под сомнение существование или полезность винтов, а просто демонстрирует, что можно построить без них).
Паранепротиворечивая логика
« Параконсистентная логика » относится к так называемым логическим системам, допускающим противоречие, в которых противоречие не обязательно приводит к тривиализму . Другими словами, принцип взрыва не действует в такой логике. Некоторые (а именно диалетеисты) утверждают, что закон непротиворечивости отрицается диалетеической логикой . Они мотивированы определенными парадоксами, которые, кажется, подразумевают ограничение закона непротиворечивости, а именно парадокс лжеца . Чтобы избежать тривиальной логической системы и все же позволить некоторым противоречиям быть истинными, диалетеисты будут использовать некую паранепротиворечивую логику.
Трехзначная логика
TBD cf Трёхзначная логика попробуйте эту троичную арифметику и логику - семантический исследователь [48]
Модальные исчисления высказываний
(см. Kleene 1967: 49): Эти « исчисления » включают символы ⎕A, означающие «A необходимо», и ◊A, означающие «A возможно». Клини утверждает, что:
- «Эти понятия входят в области мышления, где понимаются два разных типа« истины », один более универсальный или убедительный, чем другой ... Зоолог может заявить, что саламандры или любые другие живые существа не могут выжить. огонь; но возможно (хотя и неверно), что существуют единороги, и возможно (хотя и невероятно), что существуют отвратительные снеговики ».
Нечеткая логика
« Нечеткая логика » - это форма многозначной логики ; он имеет дело с рассуждением, которое является приблизительным, а не фиксированным и точным.
Смотрите также
- Алгебра понятий
Рекомендации
- ^ "Законы мысли". Кембриджский философский словарь . Роберт Ауди , редактор, Кембридж: Cambridge UP. п. 489.
- ^ a b c Russell 1912: издание 72, 1997.
- ^ а б в http://www.classicallibrary.org/aristotle/metaphysics/book04.htm
- ^ a b c Рассел 1912: 72, издание 1997 г.
- ^ "Теэтет, Платон" . Библиотека Университета Аделаиды. 10 ноября 2012 . Проверено 14 января 2014 года .
- ^ Фриц Стаал (1988), Универсалы: исследования в области индийской логики и лингвистики , Чикаго , стр. 109–28.( ср.Бык, Малкольм (1999), « Видя скрытые вещи» , Verso, стр. 53, ISBN 1-85984-263-1)
- ^ Дасгупта, Сурендранатх (1991), История индийской философии , Мотилал Банарсидасс , стр. 110, ISBN 81-208-0415-5
- ^ «Очерк о человеческом понимании» . Проверено 14 января 2014 года .
- ^ "Проект Гутенберга Электронная книга мира как воля и идея (том 2 из 3) Артура Шопенгауэра" . Проект Гутенберг. 27 июня 2012 . Проверено 14 января 2014 года .
- ^ ср. Boole 1842: 55–57. Современное определение логического ИЛИ (x, y) в терминах логического И & и логического НЕ ~: ~ (~ x & ~ y). В булевой алгебре это представлено следующим образом: 1 - ((1-x) * (1-y)) = 1 - (1-1 * x - y * 1 + x * y) = x + y - x * y = x + y * (1-x), которое является логическим выражением. Аналогичным образом можно проверить исключающее ИЛИ.
- ^ Уильям Гамильтон , ( Генри Л. Мансель и Джон Вейтч , ред.), 1860 Лекции по метафизике и логике, в двух томах. Vol. II. Логика , Бостон: Гулд и Линкольн. Гамильтон умер в 1856 году, так что это усилие его редакторов Манселя и Вейтча. Большинство сносок - это дополнения и исправления, сделанные Манселем и Вейтчем - см. Предисловие для справочной информации.
- ^ Лекция II ЛОГИКА-I. ЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЕ - ИСТОРИЧЕСКИЕ ИЗВЕЩЕНИЯ МНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕГО ОБЪЕКТА И ОБЛАСТИ-II. ЕГО ПОЛЕЗНАЯ ИНФОРМАЦИЯ Гамильтон 1860: 17–18
- ^ Комментарий Джона Перри в Russell 1912, издание 1997 года, страница ix
- ^ "Простой" тип импликации, он же материальный импликация, - это логическая связка, обычно обозначаемая → или ⊃, например, p ⊃ q. В качестве связки он дает значение истинности "ложности" только тогда, когда значение истинности утверждения p равно "истине", когда значение истинности утверждения q равно "ложности"; в 1903 году Рассел утверждал, что «определение импликации совершенно невозможно» (Russell 1903: 14). Он преодолеет эту проблему в PM с помощью простого определения (p ⊃ q) = def (NOT-p OR q).
- ^ Рассел 1912: 66, издание 1997 г.
- ^ Рассел 1912: 67, издание 1997 г.
- ^ name = "Рассел 1912: 70, 1997
- ^ name = "Рассел 1912: 69, 1997
- ↑ Рассел 1912: 70, издание 1997 г.
- ^ (4) Истинная гипотеза в импликации может быть отброшена, а следствие утверждено. Это принцип, неспособный к формальному символическому утверждению ... »(Russell 1903: 16)
- ^ Principia Mathematica 1962 издание: 94
- ^ Рассел 1912: 71, издание 1997 г.
- ^ Например, Альфред Тарский (Tarski 1946: 47) выделяет modus ponens как одно из трех « правил вывода» или « правил доказательства» и утверждает, что их «не следует принимать за логические законы». Два других таких «правила» - это «определение» и «подстановка»; см. запись под Тарским .
- ^ Principia Mathematica 2-е издание (1927), страницы 8 и 9.
- ^ a b Рассел 1912: 72, издание 1997 г.
- ^ Рассел 1997: 73 перепечатка Рассела 1912 года
- ^ Рассел 1997: 88–89 перепечатка Рассела 1912 г.
- ^ Рассел утверждает, что они «самоочевидны» пару раз, в Russell 1912, 1967: 72
- ^ a b Рассел 1912, 1967: 73
- ^ «То есть, если мы хотим доказать, что что-то, о чем мы не имеем прямого опыта, существует, мы должны иметь среди наших предпосылок существование одной или нескольких вещей, о которых мы имеем непосредственный опыт»; Рассел 1912, 1967: 75
- ^ Рассел 1912, 1967: 80–81
- ^ Рассел 1912, 1967: 87,88
- ^ a b Рассел 1912, 1967: 93
- ^ В своей математической логике Рассела 1944года Гёдель отмечает, что «в первую очередь не хватает точного определения синтаксиса формализма. Синтаксические соображения опускаются даже в тех случаях, когда они необходимы для убедительности доказательств ... делотомособенно сомнительно для правила подстановки и замены определенных символов их дефиниенса ... это наипаче правило замещениякоторая должнабы быть доказана»(Гедель 1944: 124)
- ^ См. Nagel and Newman 1958: 110; в своей трактовке они применяют эту дихотомию к набору «предложений» (формул), генерируемых логической системой, такой как та, которую использовал Курт Гёдель в его статье «О формально неразрешимых предложениях принципов математических и родственных систем». Они называют два класса K 1 и K 2 и определяют логическое противоречие ~ S следующим образом: «Формула, имеющая форму ~ S, помещается в [класс] K 2 , если S находится в K 1 ; в противном случае она помещается в K 1
- ^ Во вступительных комментариях к Посту 1921, написанных ван Хейенуртом на странице 264, ван Х отмечает, что «исчисление высказываний, вырезанное из системы Principia Mathematica , систематически изучается само по себе как четко определенный фрагмент логики».
- ^ В сноске он заявил: «Эта операция прямо не указана в« Началах », но указана как необходимая Расселом (1919, стр. 151). В самом деле:« Легитимность замен такого рода должна быть обеспечена посредством неформальный принцип вывода. 1 . В сноске 1 говорится: « 1 Такой принцип не провозглашается ни в Principia Mathematica, ни в упомянутой выше статье М. Никода. Но это может показаться упущением». ср. Russell 1919: 151, на который ссылается Post 1921 в van Heijenoort 1967: 267)
- ^ Сообщение 1921 в van Heijenoort 1967: 267)
- ^ Комментарии Хейенорта перед Post 1921 в Хейенорте: 264-265
- ^ ван Хейенорт: 264
- ^ ср. введение в Гёдель 1930 ван Хейенорт 1967: 582
- ↑ Gödel 1930 в van Heijenoort 1967: 582
- ^ ср. Boole 1854: 226 АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ ЛОГИКА. ГЛАВА XV. [ГЛАВА. XV. АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ СОВРЕМЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ, ИССЛЕДОВАННЫЕ МЕТОДОМ ДАННОГО ТРАКТА
- ^ Он выводит это и «принцип исключенного среднего» ~ ((x) f (x)) → (Ex) ~ f (x) из своей «ε-аксиомы», см. «Основы математики» Гильберта 1927 г., ср. ван Хейенорт 1967: 466
- ^ 1962 издание PM 2-е издание 1927: 139
- ↑ Тарский 1946: ix, издание 1995 г.
- ^ ср. PM №13 IDENTITY, "Краткое содержание №13" PM 1927, издание 1962: 168
- ^ http://www.iaeng.org/publication/WCE2010/WCE2010_pp193-196.pdf
- Аристотель , «Категории», Гарольд П. Кук (перевод), стр. 1–109 в Аристотеле, Vol. 1 , Классическая библиотека Леба , Уильям Хайнеманн , Лондон, Великобритания, 1938.
- Аристотель, «Об интерпретации», Гарольд П. Кук (перевод), стр. 111–179 в Аристотеле, Vol. 1 , Классическая библиотека Леба, Уильям Хайнеманн, Лондон, Великобритания, 1938.
- Аристотель, " Prior Analytics ", Хью Треденник (перевод), стр. 181–531 в Aristotle, Vol. 1 , Классическая библиотека Леба, Уильям Хайнеманн, Лондон, Великобритания, 1938.
- Буль, Джордж , Исследование законов мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей , Macmillan , 1854. Перепечатано с исправлениями, Dover Publications , Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1958.
- Луи Кутюрат , переведенный Лидией Гиллингем Робинсон, 1914, Алгебра логики , издательство Open Court Publishing Company, Чикаго и Лондон. Скачал через googlebooks.
- Гедель 1944 Математическая логика Рассела у Курта Гёделя: Сборник работ Том II , Oxford University Press, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN 978-0-19-514721-6
- Сэр Уильям Гамильтон, девятый баронет ( Генри Л. Мансель и Джон Вейтч , ред.), Лекции по метафизике и логике, 1860 г. , в двух томах. Vol. II. Логика , Бостон: Гулд и Линкольн. Скачал через googlebooks.
- Стивен Коул Клини , 1967, переиздание « Математической логики» 2002, Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, ISBN 0-486-42533-9 (PBK.)
- Эрнест Нагель , Джеймс Р. Ньюман , 1958, Доказательство Гёделя , New York University Press, LCCCN: 58-5610.
- Бертран Рассел , Проблемы философии (1912), Oxford University Press, Нью-Йорк, 1997, ISBN 0-19-511552-X .
- Артур Шопенгауэр , Мир как воля и представление , Том 2, Dover Publications , Mineola, Нью-Йорк, 1966, ISBN 0-486-21762-0
- Альфред Тарски , 1946 г. (второе издание), переиздано в 1995 г., « Введение в логику и методологию дедуктивных наук» в переводе Олафа Хелмера, Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, ISBN 0-486-28462-X (PBK.)
- Жан ван Хейеноорт , 1967, От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 978-0-674-32449-7 (PBK)
- Эмиль Пост , 1921, Введение в общую теорию элементарных предложений с комментарием ван Хейеноорта, стр. 264ff
- Дэвид Гильберт , 1927, Основы математики с комментарием ван Хейеноорта, стр. 464ff
- Курт Гёдель , 1930a, Полнота аксиом функционального исчисления логики с комментарием ван Хейеноорта, стр. 592ff.
- Альфред Норт Уайтхед , Бертран Рассел . Principia Mathematica , 3 тома, Cambridge University Press, 1910, 1912 и 1913. Второе издание, 1925 (том 1), 1927 (тома 2, 3). Сокращено как Principia Mathematica до * 56 (2-е издание) , Cambridge University Press, 1962, без LCCCN или ISBN
Внешние ссылки
- Джеймс Данахер, « Законы мысли » , Философ , том LXXXXII, № 1
- Питер Субер, « Непротиворечие и исключенное среднее » , Эрлхэм-колледж