Модуль непрерывности

В математическом анализе , А модуль непрерывности является функция ω: [0, ∞] → [0, ∞] используется для измерения количественно равномерной непрерывности функций. Итак, функция f  : I → R допускает ω как модуль непрерывности тогда и только тогда, когда

${\ Displaystyle | е (х) -f (у) | \ Leq \ омега (| ху |),}$

для всех x и y в области определения f . Поскольку требуется, чтобы модули непрерывности были бесконечно малыми в 0, функция оказывается равномерно непрерывной тогда и только тогда, когда она допускает модуль непрерывности. Более того, актуальность этого понятия придает тот факт, что множества функций, имеющих один и тот же модуль непрерывности, являются в точности равностепенно непрерывными семействами . Например, модуль ω ( t ): = kt описывает k- липшицевы функции , модули ω ( t ): = kt ^α описывают непрерывность Гёльдера , модуль ω ( t ): = kt (| log (t ) | +1) описывает почти липшицев класс и т. д. В общем, роль ω состоит в том, чтобы зафиксировать некоторую явную функциональную зависимость ε от δ в (ε, δ) определении равномерной непрерывности . Те же самые понятия естественным образом обобщаются на функции между метрическими пространствами . Более того, подходящая локальная версия этих понятий позволяет количественно описать непрерывность в точке в терминах модулей непрерывности.

Особую роль играют вогнутые модули непрерывности, особенно в связи со свойствами продолжения, а также с приближением равномерно непрерывных функций. Для функции между метрическими пространствами это эквивалентно допуску модуля непрерывности, который является либо вогнутым, либо субаддитивным, либо равномерно непрерывным, либо сублинейным (в смысле роста ). Фактически, существование таких специальных модулей непрерывности для равномерно непрерывной функции всегда обеспечивается, если область является либо компактным, либо выпуклым подмножеством нормированного пространства. Однако равномерно непрерывная функция на общем метрическом пространстве допускает вогнутый модуль непрерывности тогда и только тогда, когда соотношения

${\ displaystyle {\ frac {d_ {Y} (f (x), f (x '))} {d_ {X} (x, x')}}}$

равномерно ограничены для всех пар ( х , х ') отделена от диагонали X X X . Функции с последним свойством составляют специальный подкласс равномерно непрерывных функций, который в дальнейшем мы будем называть специальными равномерно непрерывными функциями. Real-значный специальные равномерно непрерывные функции на метрическом пространстве X также можно охарактеризовать как совокупность всех функций, ограничения на X равномерно непрерывных функции над любым нормированным пространством изометрический , содержащим X . Кроме того , его можно охарактеризовать как замыкание равномерных функций Липшицы на X .

Формальное определение [ править ]

Формально, модуль непрерывности - это любая возрастающая вещественно-расширенная функция ω: [0, ∞] → [0, ∞], равная нулю в 0 и непрерывная в 0, т. Е.

${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ omega (t) = \ omega (0) = 0.}$

Модули непрерывности в основном используются для количественной оценки как непрерывности в точке, так и равномерной непрерывности для функций между метрическими пространствами в соответствии со следующими определениями.

Функция f  : ( X , d _X ) → ( Y , d _Y ) допускает ω как (локальный) модуль непрерывности в точке x в X тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ forall x '\ in X: d_ {Y} (f (x), f (x')) \ leq \ omega (d_ {X} (x, x ')).}$

Кроме того, f допускает ω как (глобальный) модуль непрерывности тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ forall x, x '\ in X: d_ {Y} (f (x), f (x')) \ leq \ omega (d_ {X} (x, x ')).}$

Эквивалентно говорят, что ω является модулем непрерывности (соответственно в x ) для f , или, короче, f является ω-непрерывным (соответственно, в x ). Здесь мы в основном имеем дело с глобальным понятием.

Элементарные факты [ править ]

• Если f имеет ω как модуль непрерывности и ω ₁ ≥ ω, то f допускает ω ₁ как модуль непрерывности.
• Если f  : X → Y и g  : Y → Z - функции между метрическими пространствами с модулями соответственно ω ₁ и ω _2, то композиционное отображение имеет модуль непрерывности .${\ displaystyle g \ circ f: от X \ до Z}$${\ displaystyle \ omega _ {2} \ circ \ omega _ {1}}$
• Если f и g - функции из метрического пространства X в банахово пространство Y с модулями соответственно ω ₁ и ω ₂ , то любая линейная комбинация af + bg имеет модуль непрерывности | а | ω ₁ + | б | ω ₂ . В частности, множество всех функций от X до Y , имеющих ω в качестве модуля непрерывности, является выпуклым подмножеством векторного пространства C ( X , Y ), замкнутым относительно поточечной сходимости .
• Если f и g - ограниченные вещественнозначные функции на метрическом пространстве X с модулями соответственно ω ₁ и ω ₂ , то поточечное произведение fg имеет модуль непрерывности .${\ Displaystyle \ | г \ | _ {\ infty} \ omega _ {1} + \ | f \ | _ {\ infty} \ omega _ {2}}$
• Если - семейство вещественнозначных функций на метрическом пространстве X с общим модулем непрерывности ω, то нижняя оболочка , соответственно, верхняя оболочка , является вещественнозначной функцией с модулем непрерывности ω, при условии, что она имеет конечные значения на каждая точка. Если ω вещественна, то достаточно , чтобы огибающая быть конечной в одной точке X , по крайней мере.${\ displaystyle \ {е _ {\ lambda} \} _ {\ lambda \ in \ Lambda}}$${\ displaystyle \ inf _ {\ lambda \ in \ Lambda} f _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ sup _ {\ lambda \ in \ Lambda} f _ {\ lambda}}$

Замечания [ править ]

• Некоторые авторы не требуют монотонности, а некоторые требуют дополнительных свойств, таких как непрерывность ω. Однако, если f допускает модуль непрерывности в более слабом определении, он также допускает модуль непрерывности, который возрастает и бесконечно дифференцируем в] 0, ∞ [. Например,

${\ Displaystyle \ omega _ {1} (t): = \ sup _ {s \ leq t} \ omega (s)}$возрастает, причем ω ₁ ≥ ω;

${\displaystyle \omega _{2}(t):={\frac {1}{t}}\int _{t}^{2t}\omega _{1}(s)ds}$также непрерывна, и ω ₂ ≥ ω ₁ ,

и подходящий вариант предыдущего определения также делает ω ₂ бесконечно дифференцируемым по] 0, ∞ [.

• Любая равномерно непрерывная функция допускает минимальный модуль непрерывности ω _ф , который иногда называют в (оптимальной) модуля непрерывности F :

${\displaystyle \omega _{f}(t):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x\in X,x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$

Аналогичным образом , любая функция непрерывна в точке х допускает минимальный модуль непрерывности при х , ω _ф ( т ; х ) ( (оптимальный) модуль непрерывности F при х ):

${\displaystyle \omega _{f}(t;x):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$

Однако эти ограниченные понятия не так актуальны, поскольку в большинстве случаев оптимальный модуль f не может быть вычислен явно, а только ограничен сверху ( любым модулем непрерывности f). Более того, основные свойства модулей непрерывности напрямую касаются неограниченного определения.

• В общем случае модуль непрерывности равномерно непрерывной функции на метрическом пространстве должен принимать значение + ∞. Например, функция f  : N → N такая, что f ( n ): = n ² , равномерно непрерывна относительно дискретной метрики на N , а ее минимальный модуль непрерывности равен ω _f ( t ) = + ∞ для любого t ≥1 и ω _f ( t ) = 0 в противном случае. Однако ситуация иная для равномерно непрерывных функций, определенных на компактных или выпуклых подмножествах нормированных пространств.

Специальные модули непрерывности [ править ]

Специальные модули непрерывности также отражают некоторые глобальные свойства функций, такие как расширяемость и равномерное приближение. В этом разделе мы в основном имеем дело с модулями непрерывности, которые являются вогнутыми , или субаддитивными , или равномерно непрерывными, или сублинейными. Эти свойства по существу эквивалентны тем, что для модуля ω (точнее, его ограничения на [0, ∞ [) каждое из следующих утверждений влечет следующее:

• ω вогнутая;
• ω субаддитивна;
• ω равномерно непрерывна;
• ω сублинейно, то есть существуют такие константы a и b , что ω ( t ) ≤ at + b для всех t ;
• ω преобладает вогнутый модуль, то есть существует вогнутый модуль непрерывности такой, что для всех t .${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$${\displaystyle \omega (t)\leq {\tilde {\omega }}(t)}$

Таким образом, для функции f между метрическими пространствами это эквивалентно допуску модуля непрерывности, который является либо вогнутым, либо субаддитивным, либо равномерно непрерывным, либо сублинейным. В этом случае функцию f иногда называют специальным равномерно непрерывным отображением. Это всегда верно как для компактных, так и для выпуклых областей. Действительно, равномерно непрерывное отображение f  : C → Y, определенное на выпуклом множестве C нормированного пространства E, всегда допускает субаддитивныймодуль непрерывности; в частности, действительнозначная как функция ω: [0, ∞ [→ [0, ∞ [. В самом деле, сразу проверяется, что оптимальный модуль непрерывности ω _f, определенный выше, субаддитивен, если область определения f выпуклая: для всех s и t имеем :

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{f}(s+t)&=\sup _{|x-x'|\leq t+s}d_{Y}(f(x),f(x'))\\&\leq \sup _{|x-x'|\leq t+s}\left\{d_{Y}\left(f(x),f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right)\right)+d_{Y}\left(f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right),f(x')\right)\right\}\\&\leq \omega _{f}(t)+\omega _{f}(s).\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что как непосредственное следствие, любая равномерно непрерывная функция на выпуклом подмножестве нормированного пространства имеет сублинейный рост: существуют константы a и b такие, что | f ( x ) | ≤ a | x | + b для всех x . Однако равномерно непрерывная функция на общем метрическом пространстве допускает вогнутый модуль непрерывности тогда и только тогда, когда отношения равномерно ограничены для всех пар ( x , x ′) с расстоянием, отличным от нуля; этому условию заведомо удовлетворяет любая ограниченная равномерно непрерывная функция; отсюда, в частности, любой непрерывной функцией на компактном метрическом пространстве.${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))/d_{X}(x,x')}$

Сублинейные модули и ограниченные возмущения от Липшица [ править ]

Сублинейный модуль непрерывности может быть легко найден для любой равномерно непрерывной функции, которая является ограниченным возмущением липшицевой функции: если f - равномерно непрерывная функция с модулем непрерывности ω, а g - k липшицева функция с равномерным расстоянием r от f , то f допускает сублинейный модуль непрерывности min {ω ( t ), 2 r + kt }. Наоборот, по крайней мере для вещественнозначных функций любая специальная равномерно непрерывная функция является ограниченным равномерно непрерывным возмущением некоторой липшицевой функции; на самом деле верно больше, как показано ниже (приближение Липшица).

Субаддитивные модули и расширяемость [ править ]

Указанное выше свойство для равномерно непрерывной функции на выпуклых областях допускает своего рода обратное, по крайней мере в случае вещественнозначных функций: то есть, каждая специальная равномерно непрерывная вещественнозначная функция f  : X → R, определенная на метрическом пространстве X , которая является метрическим подпространством нормированного пространства E , допускает расширения над E , сохраняющие любой субаддитивный модуль ω в f . Наименьшее и наибольшее из таких расширений соответственно:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{*}(x)&:=\sup _{y\in X}\left\{f(y)-\omega (|x-y|)\right\},\\f^{*}(x)&:=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+\omega (|x-y|)\right\}.\end{aligned}}}$

Как уже отмечалось, любой субаддитивный модуль непрерывности равномерно непрерывен: фактически, он допускает себя как модуль непрерывности. Следовательно, f _∗ и f * - соответственно нижняя и верхняя оболочки ω-непрерывных семейств; следовательно, по-прежнему ω-непрерывна. Между прочим, согласно вложению Куратовского любое метрическое пространство изометрично подмножеству нормированного пространства. Следовательно, специальные равномерно непрерывные вещественнозначные функции по существу являются ограничениями равномерно непрерывных функций на нормированных пространствах. В частности, эта конструкция обеспечивает быстрое доказательство теоремы о продолжении Титце для компактных метрических пространств. Однако для отображений со значениями в более общих банаховых пространствах, чем R, ситуация намного сложнее; Первым нетривиальным результатом в этом направлении является теорема Кирсбрауна .

Вогнутые модули и приближение Липшица [ править ]

Любая специальная равномерно непрерывная вещественнозначная функция f  : X → R, определенная на метрическом пространстве X , равномерно аппроксимируется с помощью липшицевых функций. Более того, скорость сходимости в терминах констант Липшица приближений строго связана с модулем непрерывности f . А именно, пусть ω - минимальный вогнутый модуль непрерывности функции f , равный

${\displaystyle \omega (t)=\inf {\big \{}at+b\,:\,a>0,\,b>0,\,\forall x\in X,\,\forall x'\in X\,\,|f(x)-f(x')|\leq ad(x,x')+b{\big \}}.}$

Пусть δ ( s ) - равномерное расстояние между функцией f и множеством Lip _s всех липшицевых вещественнозначных функций на C, имеющих константу Липшица s  :

${\displaystyle \delta (s):=\inf {\big \{}\|f-u\|_{\infty ,X}\,:\,u\in \mathrm {Lip} _{s}{\big \}}\leq +\infty .}$

Тогда функции ω ( t ) и δ ( s ) могут быть связаны друг с другом преобразованием Лежандра : точнее, функции 2δ ( s ) и −ω (- t ) (подходящим образом продолженные до + ∞ вне их областей конечности ) - пара сопряженных выпуклых функций, ^[1] для

${\displaystyle 2\delta (s)=\sup _{t\geq 0}\left\{\omega (t)-st\right\},}$

${\displaystyle \omega (t)=\inf _{s\geq 0}\left\{2\delta (s)+st\right\}.}$

Поскольку ω ( t ) = o (1) при t → 0 ⁺ , следует, что δ ( s ) = o (1) при s → + ∞, что в точности означает, что f равномерно аппроксимируется липшицевыми функциями. Соответственно, оптимальное приближение дается функциями

${\displaystyle f_{s}:=\delta (s)+\inf _{y\in X}\{f(y)+sd(x,y)\},\quad \mathrm {for} \ s\in \mathrm {dom} (\delta ):}$

каждая функция f _s имеет константу Липшица s и

${\displaystyle \|f-f_{s}\|_{\infty ,X}=\delta (s);}$

фактически, это наибольшая s- липшицева функция, реализующая расстояние δ ( s ). Например, вещественнозначные α-гёльдеровские функции на метрическом пространстве характеризуются как те функции, которые могут быть равномерно приближены s- липшицевыми функциями со скоростью сходимости, в то время как почти липшицевы функции характеризуются экспоненциальной скоростью сходимости${\displaystyle O(s^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}),}$${\displaystyle O(e^{-as}).}$

Примеры использования [ править ]

• Пусть f  : [ a , b ] → R - непрерывная функция. В доказательство того, что F является Риману , как правило , один ограничивает расстояние между верхними и нижними суммами Римана относительно Римана разбиения Р  : = { т ₀ , ..., т _п } в терминах модуля непрерывности F и сетка перегородки P (это номер )${\displaystyle \scriptstyle |P|:=\max _{0\leq i<n}(t_{i+1}-t_{i})\quad }$

${\displaystyle S^{*}(f;P)-S_{*}(f;P)\leq (b-a)\omega (|P|).}$

• Пример использования ряда Фурье см. В разделе Тест Дини .

История [ править ]

Стеффенс (2006, стр. 160) приписывает первое использование омега для модуля непрерывности Лебегу (1909, стр. 309 / стр. 75), где омега относится к колебаниям преобразования Фурье. Де ла Валле Пуссен (1919, стр. 7-8) упоминает оба названия (1) «модуль непрерывности» и (2) «модуль колебания», а затем заключает, «но мы выбираем (1), чтобы привлечь внимание к использованию, которое мы сделаю из этого ».

Группа трансляций L ^p функций и модули непрерывности L ^p . [ редактировать ]

Пусть 1 ≤ p ; пусть f  : R ⁿ → R - функция класса L ^p , и пусть h ∈ R ⁿ . Ч - перевод из F , функция определяется формулой (т _ч е ) ( х ): = F ( х - ч ), принадлежит к л ^р класса; кроме того, если 1 ≤ p <∞, то при ǁ h ǁ → 0 имеем:

${\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}=o(1).}$

Следовательно, поскольку переводы на самом деле являются линейными изометриями, также

${\displaystyle \|\tau _{v+h}f-\tau _{v}f\|_{p}=o(1),}$

при ǁ h ǁ → 0 равномерно на v ∈ R ⁿ .

Другими словами, отображение h → τ _h определяет сильно непрерывную группу линейных изометрий L ^p . В случае p = ∞ указанное свойство, вообще говоря, не выполняется: фактически, оно в точности сводится к равномерной непрерывности и определяет равномерные непрерывные функции. Это приводит к следующему определению, обобщающему понятие модуля непрерывности равномерно непрерывных функций: модуль непрерывности L ^p для измеримой функции f  : X → R является модулем непрерывности ω: [0, ∞] → [0, ∞] такие, что

${\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}\leq \omega (h).}$

Таким образом, модули непрерывности также дают количественное представление о свойстве непрерывности, присущем всем функциям L ^p .

Модуль непрерывности высших порядков [ править ]

Видно, что формальное определение модуля использует понятие конечной разности первого порядка:

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\omega (f,\delta )=\sup \limits _{x;|h|<\delta ;}\left|\Delta _{h}(f,x)\right|.}$

Если мы заменим эту разницу разностью порядка n , мы получим модуль непрерывности порядка n :

${\displaystyle \omega _{n}(f,\delta )=\sup \limits _{x;|h|<\delta ;}\left|\Delta _{h}^{n}(f,x)\right|.}$

См. Также [ править ]

• Конструктивный анализ
• Модуль сходимости

Ссылки [ править ]

• Шоке, Г. (1964). Cours D'Analyse. Том II, Топология (на французском). Paris: Masson и др C ^есть .
• Ефимов, А.В. (2001) [1994], "Непрерывность, модуль" , Энциклопедия математики , Springer, ISBN. 1-4020-0609-8
• Лебег, Х. (1909). "Sur les intégrales singulières". Анна. Фак. Sci. Univ. Тулуза. 3 . С. 25–117. Отсутствует или пусто |title=( справка ) Воспроизведено в: Lebesgue, Henri. Œuvres scientifiques (на французском). 3 . С. 259–351.
• Пуссен, гл. де ла Валле (1952). L'approximation des fonctions d'une variable réelle (на французском языке) (Перепечатка изд. 1919 г.). Париж: Готье-Виллар.
• Беньямини, Y; Линденштраус, Дж (1998). Геометрический нелинейный функциональный анализ: Том 1 (Публикации Коллоквиума, Издание 48). Провиденс, Род-Айленд: American Mathematical Soc.
• Стеффенс, К.-Г. (2006). История теории приближений . Бостон: Биркхойзер. ISBN 0-8176-4353-2.