Тест Дини

В математике , как Дини и тесты Дини-Липшица весьма точные тесты , которые могут быть использованы , чтобы доказать , что ряд Фурье о наличии функции сходится в данной точке. Эти тесты названы в честь Улисса Дини и Рудольфа Липшица . ^[1]

Определение [ править ]

Пусть $f$ - функция на [0,2 $π$ ], пусть $t$ - некоторая точка, и пусть $δ$ - положительное число. Определим локальный модуль непрерывности в точке $t$ как

{\ displaystyle \ left. \ right. \ omega _ {f} (\ delta; t) = \ max _ {| \ varepsilon | \ leq \ delta} | f (t) -f (t + \ varepsilon) |}

Обратите внимание, что мы рассматриваем здесь $f$ как периодическую функцию, например, если $t = 0$ и $ε$ отрицательно, мы определяем $f (ε) = f (2π + ε)$ .

Глобальный модуль непрерывности (или просто модуль непрерывности ) определяется

\omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)

С помощью этих определений мы можем сформулировать основные результаты:

Теорема (критерий Дини): предположим, что функция

f

удовлетворяет в точке

t,

что

\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .

Тогда ряд Фурье функции

f

сходится в точке

t

к

f (t)

.

Например, теорема верна с $ω f = log -2 (1 / δ),$ но не выполняется с $log -1 (1 / δ)$ .

Теорема (критерий Дини – Липшица): предположим, что функция

f

удовлетворяет

\omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.

Тогда ряд Фурье функции

f

равномерно сходится к

f

.

В частности, любая функция класса Гёльдера ^{[ требуется пояснение ]} удовлетворяет критерию Дини – Липшица.

Точность [ править ]

Оба теста - лучшие в своем роде. Для теста Дини-Липшица можно построить функцию $f,$ модуль непрерывности которой удовлетворяет критерию с $O$ вместо $o$ , т. Е.