В математике , то вложение Куратовского позволяет просматривать любое метрическое пространство как подмножество некоторого банахов пространства . Он назван в честь Казимежа Куратовского .
В частности, если ( X , d ) - метрическое пространство, x 0 - точка в X , а C b ( X ) обозначает банахово пространство всех ограниченных непрерывных вещественнозначных функций на X с супремум-нормой , то отображение
определяется
Обратите внимание, что это вложение зависит от выбранной точки x 0 и поэтому не является полностью каноническим.
Kuratowski-Войдыславского теорема утверждает , что всякое ограниченное метрическое пространство X изометрично замкнутое подмножество в А выпуклое подмножество некоторого банахова пространства. [2] (NB образ этого вложения замкнут в выпуклом подмножестве, не обязательно в банаховом пространстве.) Здесь мы используем изометрию
определяется
Упомянутое выше выпуклое множество - это выпуклая оболочка ( X ).
В обеих этих теоремах вложения мы можем заменить C b ( X ) на банахово пространство ℓ ∞ ( X ) всех ограниченных функций X → R , опять же с нормой супремума, поскольку C b ( X ) является замкнутым линейным подпространством в ℓ ∞ ( X ).
Эти результаты внедрения полезны, потому что банаховы пространства обладают рядом полезных свойств, не общих для всех метрических пространств: они являются векторными пространствами, которые позволяют добавлять точки и выполнять элементарную геометрию с использованием линий и плоскостей и т. Д .; и они полные . Для данной функции с кообласть X , часто бывает желательно , чтобы расширить эту функцию в большую область, и это часто требует одновременного увеличения кообласть в банаховом пространстве , содержащем X .
История
Формально говоря, это вложение было впервые введено Куратовским , [3] , но очень близко изменение этого вложения появляется уже в работе Фреше [4] , где он впервые вводит понятие метрического пространства.
Смотрите также
- Тесная оболочка , вложение любого метрического пространства в инъективное метрическое пространство, определяемое аналогично вложению Куратовского.
Рекомендации
- ↑ Юха Хейнонен (январь 2003 г.), Геометрические вложения метрических пространств , получено 6 января 2009 г.
- ^ Кароль Борсук (1967), Теория ретрактов , Варшава. Теорема III.8.1.
- ^ Kuratowski, C. (1935) "Quelques concernant ле задачиESPACES métriques не-separables" (Некоторые проблемыкасающиеся неразборных метрических пространств), Fundamenta Mathematicae 25:. С. 534-545.
- ^ Фреше М. (1906) "Sur quelques points du Calcul fonctionnel", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 22: 1–74.