Единая норма

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Единая норма»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Периметр площади находится множество точек в R ² , где норма равна SUP фиксированную положительную константу.

В математическом анализе , то равномерная норма (или SUP норма ) сопоставляет в реальном масштаб или сложные -значные ограниченные функции F , определенные на множестве S неотрицательного числа

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {\ infty} = \ | е \ | _ {\ infty, S} = \ sup \ left \ {\, \ left | f (x) \ right |: x \ in S \,\верно\}.}$

Эта норма также называется супремумом нормой, нормой Чебышева, норма бесконечности, или, когда верхняя грань в действительности максимум, то максимальная норма . Название «равномерная норма» проистекает из того факта , что последовательность функций сходятся к под метрической производным от равномерной нормы тогда и только тогда , когда сходится к равномерно . ^[1]${\displaystyle \{f_{n}\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

Метрика, порожденная этой нормой, называется метрикой Чебышева в честь Пафнутия Чебышева , который первым ее систематически изучил.

Если мы допускаем неограниченные функции, эта формула не дает нормы или метрики в строгом смысле, хотя полученная так называемая расширенная метрика все же позволяет определить топологию на рассматриваемом функциональном пространстве.

Если f является непрерывной функцией на отрезке или, в более общем смысле, компактным множеством, то она ограничена и супремум в приведенном выше определении достигается теоремой Вейерштрасса об экстремальных значениях , поэтому мы можем заменить супремум на максимум. В этом случае норма также называется максимальной нормой . В частности, для случая вектора в конечной размерности координатного пространства , она принимает форму${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|\}.}$

Причина появления индекса «∞» в том, что всякий раз, когда функция f непрерывна,

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$

куда

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}\left|f\right|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$

где D - область определения f (а интеграл равен сумме, если D - дискретное множество ).

Бинарная функция

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }}$

тогда является метрикой на пространстве всех ограниченных функций (и, очевидно, любого из его подмножеств) в определенной области. Последовательность { f _n  : n = 1, 2, 3, ...} равномерно сходится к функции f тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0.\,}$

Мы можем определять замкнутые множества и замыкания множеств относительно этой метрической топологии; замкнутые множества в равномерной норме иногда называют равномерно замкнутыми и замыкающие равномерные замыкания . Равномерное замыкание набора функций A - это пространство всех функций, которые могут быть аппроксимированы последовательностью равномерно сходящихся функций на A. Например, одно повторение теоремы Стоуна – Вейерштрасса состоит в том, что набор всех непрерывных функций на - равномерное замыкание множества многочленов на .${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$

Для сложных непрерывных функций над компактным пространством это превращает его в C * -алгебру .

См. Также [ править ]

• Единая преемственность
• Единое пространство
• Чебышевская дистанция

Ссылки [ править ]