Векторное пространство

Векторное пространство (также называется линейное пространство ) представляет собой совокупность объектов , называемых векторами , которые могут быть добавлен вместе и умножены ( «масштабируется») числами, называемыми скаляров . Скаляры часто считаются действительными числами , но существуют также векторные пространства со скалярным умножением на комплексные числа , рациональные числа или вообще любое поле . Операции сложения векторов и скалярного умножения должны удовлетворять определенным требованиям, называемым векторными аксиомами (перечислены ниже в § Определение). Чтобы указать, что скаляры являются действительными или комплексными числами, часто используются термины « вещественное векторное пространство» и « комплексное векторное пространство» .

Определенные наборы евклидовых векторов являются общими примерами векторного пространства. Они представляют физические величины, такие как силы , где любые две силы (одного типа) могут быть добавлены, чтобы получить третье, а умножение вектора силы на действительный множитель является другим вектором силы. Таким же образом (но в более геометрическом смысле) векторы, представляющие смещения в плоскости или трехмерном пространстве, также образуют векторные пространства. Векторы в векторных пространствах не обязательно должны быть объектами в виде стрелок, как они представлены в упомянутых примерах: векторы рассматриваются как абстрактные математические объекты. с особыми свойствами, которые в некоторых случаях можно представить в виде стрелок.

Векторные пространства являются предметом линейной алгебры и хорошо характеризуются своей размерностью , которая, грубо говоря, определяет количество независимых направлений в пространстве. Бесконечномерные векторные пространства естественным образом возникают в математическом анализе как функциональные пространства , векторы которых являются функциями . Эти векторные пространства обычно наделены некоторой дополнительной структурой, такой как топология , которая позволяет рассматривать вопросы близости и непрерывности . Среди этих топологий чаще используются те, которые определены нормой или внутренним продуктом (снабженные понятиемрасстояние между двумя векторами). Это особенно касается банаховых пространств и гильбертовых пространств , которые являются фундаментальными в математическом анализе.

Исторически первые идеи, ведущие к векторным пространствам, восходят к аналитической геометрии 17-го века , матрицам , системам линейных уравнений и евклидовым векторам. Современная, более абстрактная трактовка, впервые сформулированная Джузеппе Пеано в 1888 году, охватывает более общие объекты, чем евклидово пространство , но большую часть теории можно рассматривать как расширение классических геометрических идей, таких как линии , плоскости и их многомерные аналоги.

Сегодня векторные пространства применяются в математике , науке и технике . Это подходящее линейно-алгебраическое понятие для работы с системами линейных уравнений . Они предлагают основу для расширения Фурье , которое используется в процедурах сжатия изображений , и они обеспечивают среду, которая может использоваться для методов решения уравнений в частных производных . Кроме того, векторные пространства предоставляют абстрактный, бескоординатный способ работы с геометрическими и физическими объектами, такими как тензоры . Это, в свою очередь, позволяет исследовать локальные свойства многообразийметодами линеаризации. Векторные пространства можно обобщить несколькими способами, что приведет к более продвинутым понятиям в геометрии и абстрактной алгебре .

Эта статья посвящена в основном конечномерным векторным пространствам. Однако многие принципы справедливы и для бесконечномерных векторных пространств.

Алгебраические структуры
Группа -как Группа Полугруппа  / Моноид Стеллаж и quandle Квазигруппа и петля Абелева группа Магма Группа Ли Теория групп
Кольцо -как Звенеть Rng Полукруглый Рядом с кольцом Коммутативное кольцо Интегральный домен Поле Дивизионное кольцо Теория колец
Lattice -как Решетка Полурешетка Дополненная решетка Общий заказ Алгебра Гейтинга Булева алгебра Карта решеток Теория решетки
Модуль- подобный Модуль Группа с операторами Векторное пространство Линейная алгебра
Алгебра- подобный Алгебра Ассоциативный Неассоциативный Составная алгебра Алгебра Ли Оценено Биалгебра
v т е

Введение и определение [ править ]

Понятие векторного пространства сначала поясняется описанием двух конкретных примеров:

Первый пример: стрелки в плоскости [ править ]

Первый пример векторного пространства состоит из стрелок в фиксированной плоскости , начинающихся в одной фиксированной точке. Это используется в физике для описания сил или скоростей . Для любых двух таких стрелок, v и w , параллелограмм, охватываемый этими двумя стрелками, содержит одну диагональную стрелку, которая также начинается в начале координат. Эта новая стрелка называется суммой двух стрелок и обозначается v + w . ^[1]В частном случае двух стрелок на одной строке их сумма равна стрелке на этой линии, длина которой равна сумме или разнице длин, в зависимости от того, имеют ли стрелки одинаковое направление. Еще одна операция , которая может быть сделано со стрелками это масштабирование: учитывая любое положительное действительное число , стрелка , которая имеет то же направление, V , но расширены или усадке путем умножения его длины на , называется умножение на V по . Оно обозначается в ст . Когда отрицательный, v определяется как стрелка , указывающая в направлении , противоположном вместо этого.

Ниже показано несколько примеров: если a = 2 , результирующий вектор a w имеет то же направление, что и w , но растягивается до двойной длины w (правое изображение ниже). Эквивалентно 2 w - это сумма w + w . Более того, (−1) v = - v имеет противоположное направление и ту же длину, что и v (синий вектор направлен вниз на правом изображении).

Второй пример: упорядоченные пары чисел [ править ]

Второй ключевой пример векторного пространства - это пары действительных чисел x и y . (Порядок компонентов x и y имеет значение, поэтому такая пара также называется упорядоченной парой .) Такая пара записывается как ( x , y ) . Сумма двух таких пар и умножение пары на число определяется следующим образом:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$

и

${\displaystyle a(x,y)=(ax,ay).}$

Первый приведенный выше пример сводится к этому, если стрелки представлены парой декартовых координат их конечных точек.

Определение [ править ]

В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, чтобы отличать их от скаляров. ^{[nb 1]}

Векторное пространство над полем F - это множество  V вместе с двумя операциями, которые удовлетворяют восьми аксиомам, перечисленным ниже. В дальнейшем, V × V обозначает декартово произведение из V с самим собой, а → обозначает отображение из одного набора к другому.

• Первая операция, называемая сложением векторов или просто сложением +: V × V → V , берет любые два вектора  v и w и присваивает им третий вектор, который обычно записывается как v + w , и называется суммой этих двух векторов. (Результирующий вектор также является элементом множества V. )
• Вторая операция, называемая скалярным умножением ·: F × V → V，, берет любой скаляр  a и любой вектор  v и дает другой вектор  a v . (Точно так же вектор a v является элементом множества V. Скалярное умножение не следует путать со скалярным произведением , также называемым внутренним произведением или скалярным произведением , которое является дополнительной структурой, присутствующей в некоторых конкретных, но не во всех векторных пространствах. . Скалярное умножение - это умножение вектора наскаляр; другой - умножение двух векторов, дающее скаляр.)

Элементы V обычно называют векторами . Элементы  F обычно называют скалярами . Общие символы для обозначения векторных пространств включают U , V и W . ^[1]

В двух приведенных выше примерах поле - это поле действительных чисел, а набор векторов состоит из плоских стрелок с фиксированной начальной точкой и пар действительных чисел соответственно.

Чтобы квалифицироваться как векторное пространство, множество  V и операции сложения и умножения должны соответствовать ряду требований, называемых аксиомами . ^[2] Они перечислены в приведенной ниже таблице, где ¯u , V и W обозначают произвольные векторы в V , и а и б обозначают скаляры в F . ^{[3] [4]}

Аксиома	Смысл
Ассоциативность сложения	и + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Коммутативность сложения	и + v = v + u
Идентификационный элемент дополнения	Там существует элемент 0 ∈ V , называется нулевой вектор , такой , что v + 0 = v для всех об ∈ V .
Обратные элементы сложения	Для каждого v ∈ V существует элемент - v ∈ V , называемый аддитивным обратным к v , такой, что v + (- v ) = 0 .
Совместимость скалярного умножения с умножением полей	a ( b v ) = ( ab ) v [nb 2]
Элемент идентичности скалярного умножения	1 v = v , где 1 обозначает мультипликативный идентичность в F .
Дистрибутивность скалярного умножения по сложению векторов	а ( и + v ) = а и + а v
Дистрибутивность скалярного умножения по сложению полей	( a + b ) v = a v + b v

Эти аксиомы обобщают свойства векторов, представленных в приведенных выше примерах. Действительно, результат сложения двух упорядоченных пар (как во втором примере выше) не зависит от порядка слагаемых:

( x _v , y _v ) + ( x _w , y _w ) = ( x _w , y _w ) + ( x _v , y _v ) .

Аналогично, в геометрическом примере векторов в виде стрелок v + w = w + v, поскольку параллелограмм, определяющий сумму векторов, не зависит от порядка векторов. Все остальные аксиомы можно проверить аналогичным образом в обоих примерах. Таким образом, игнорируя конкретную природу конкретного типа векторов, определение включает эти два и многие другие примеры в одно понятие векторного пространства.

Вычитание двух векторов и деление на (ненулевой) скаляр можно определить как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} -\mathbf {w} &=\mathbf {v} +(-\mathbf {w} )\\{\frac {\mathbf {v} }{a}}&={\frac {1}{a}}\mathbf {v} \end{aligned}}}$.

Когда скалярное поле F представляет собой действительные числа R , векторное пространство называется вещественным векторным пространством . Когда скалярное поле представляет собой комплексные числа C , векторное пространство называется комплексным векторным пространством . Эти два случая чаще всего используются в инженерии. Общее определение векторного пространства позволяет скалярам быть элементами любого фиксированного поля F . Понятие затем известный как F - векторное пространство или векторное пространство над F . Поле - это, по сути, набор чисел, обладающих сложением , вычитанием ,операции умножения и деления . ^{[nb 3]} Например, рациональные числа образуют поле.

В отличие от интуиции, проистекающей из векторов в плоскости и многомерных случаев, в общих векторных пространствах нет понятия близости , углов или расстояний . Чтобы иметь дело с такими вопросами, вводятся особые типы векторных пространств; подробнее см. § Векторные пространства с дополнительной структурой ниже.

Альтернативные формулировки и элементарные следствия [ править ]

Вектор сложение и умножение являются операциями, удовлетворяющие закрывающего свойство: у + v и v в V для всех а в F , и у , v в V . В некоторых более старых источниках эти свойства упоминаются как отдельные аксиомы. ^[5]

На языке абстрактной алгебры первые четыре аксиомы эквивалентны требованию, чтобы набор векторов был абелевой группой при сложении. Остальные аксиомы дают этой группе в F - модуль структуру. Другими словами, существует кольцевой гомоморфизм f из поля F в кольцо эндоморфизмов группы векторов. Тогда скалярное умножение a v определяется как ( f ( a )) ( v ) . ^[6]

Есть ряд прямых следствий аксиом векторного пространства. Некоторые из них вытекают из элементарной теории групп , приложенной к аддитивной группе векторов: например, нулевой вектор 0 из V и присадка обратного - v любого вектора V являются уникальными. Дальнейшие свойства следуют за счет использования также дистрибутивный закон для скалярного умножения, например v равен 0 , если и только если равен 0 или v равен 0 .

История [ править ]

Векторные пространства происходят из аффинной геометрии через введение координат в плоскости или трехмерном пространстве. Примерно в 1636 году французские математики Рене Декарт и Пьер де Ферма основали аналитическую геометрию , идентифицировав решения уравнения двух переменных с точками на плоской кривой . ^[7] Чтобы получить геометрические решения без использования координат, Больцано в 1804 году ввел определенные операции с точками, линиями и плоскостями, которые являются предшественниками векторов. ^[8] Мебиус (1827 г.) ввел понятие барицентрических координат . Беллавитис (1833)ввел понятие двойной точки, т. е. ориентированного отрезка, один из концов которого является началом, а другой - целью. ^[9] векторы были пересмотрены с представлением комплексных чисел по Аргана и Гамильтона и зарождения кватернионов последней. ^[10] Они являются элементами в R ² и R ⁴ ; Обработка их с помощью линейных комбинаций восходит к Лагеру в 1867 году, который также определил системы линейных уравнений .

В 1857 году Кэли ввел матричную запись, которая позволяет согласовывать и упрощать линейные карты . Примерно в то же время Грассман изучил барицентрическое исчисление, начатое Мёбиусом. Он представлял себе наборы абстрактных объектов, наделенных операциями. ^[11] В его работе присутствуют концепции линейной независимости и размерности , а также скалярные произведения . На самом деле работа Грассмана 1844 года выходит за рамки векторных пространств, поскольку его рассмотрение умножения также привело его к тому, что сегодня называют алгебрами . Итальянский математик Пеанобыл первым, кто дал современное определение векторных пространств и линейных отображений в 1888 году ^[12].

Важным событием векторных пространств связано со строительством функциональных пространств по Анри Лебега . Позднее это было формализовано Банахом и Гильбертом , примерно в 1920 году. ^[13] В то время алгебра и новая область функционального анализа начали взаимодействовать, особенно с такими ключевыми понятиями, как пространства p -интегрируемых функций и гильбертовы пространства . ^[14] Также в это время были выполнены первые исследования, касающиеся бесконечномерных векторных пространств.

Примеры [ править ]

Координатное пространство [ править ]

Простейшим примером векторного пространства над полем F является само поле, снабженное его стандартным сложением и умножением. В более общем смысле, все n -элементы (последовательности длины n )

( a ₁ , a ₂ , ..., a _n )

элементов F образуют векторное пространство, которое обычно обозначается F ⁿ и называется координатным пространством . ^[15] Случай n = 1 представляет собой упомянутый выше простейший пример, в котором поле F также рассматривается как векторное пространство над самим собой. Случай F = R и n = 2 обсуждался во введении выше.

Комплексные числа и другие расширения полей [ править ]

Набор комплексных чисел C , то есть чисел, которые могут быть записаны в форме x + iy для действительных чисел x и y, где i - мнимая единица , образуют векторное пространство над действительными числами с помощью обычного сложения и умножения: ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b ) и c ⋅ ( x + iy ) = ( c⋅ x ) + i ( c ⋅ y ) для действительных чисел x , y , a , b и c . Различные аксиомы векторного пространства вытекают из того факта, что одни и те же правила выполняются для арифметики комплексных чисел.

Фактически, пример комплексных чисел по существу такой же (то есть он изоморфен ) векторному пространству упорядоченных пар действительных чисел, упомянутых выше: если мы думаем о комплексном числе x + i y как о представлении упорядоченной пары ( x , y ) на комплексной плоскости, то мы видим, что правила сложения и скалярного умножения точно соответствуют тем, что в предыдущем примере.

В более общем смысле , расширения полей обеспечивают еще один класс примеров векторных пространств, в частности , в алгебре и алгебраической теории чисел : поле Р , содержащий меньшее поле Е представляет собой Е -векторного пространство, с помощью данных операций умножения и сложения на F . ^[16] Например, комплексные числа представляют собой векторное пространство над R , а расширение поля является векторным пространством над Q . ${\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}$

Функциональные пространства [ править ]

Функции из любого фиксированного множества Ω в поле F также образуют векторные пространства, выполняя точечное сложение и скалярное умножение. То есть сумма двух функций f и g - это функция ( f + g ), заданная формулой

( е + д ) ( ш ) = е ( ш ) + д ( ш ) ,

и аналогично для умножения. Такие функциональные пространства встречаются во многих геометрических ситуациях, когда Ω является действительной прямой или интервал , или другие подмножества из R . Многие понятия в топологии и анализе, такие как непрерывность , интегрируемость или дифференцируемость , хорошо подходят для линейности: суммы и скалярные кратные функции, обладающие таким свойством, все еще обладают этим свойством. ^[17] Следовательно, множество таких функций - векторные пространства. Более подробно они изучаются с помощью методов функционального анализа , см. Ниже . ^{[требуется пояснение ]}Алгебраические ограничения также приводят к векторным пространствам:векторное пространство F [x] задаетсяполиномиальными функциями:

е ( х ) = р ₀ + г ₁ х + ... г _{п -1} х ^{п -1} + г _п х ^п , где коэффициенты г ₀ , ..., г _п в F . ^[18]

Линейные уравнения [ править ]

Системы однородных линейных уравнений тесно связаны с векторными пространствами. ^[19] Например, решения

а	+	3 б	+	c	= 0
4 а	+	2 б	+	2 с	= 0

задаются тройками с произвольными a , b = a / 2 и c = −5 a / 2 . Они образуют векторное пространство: суммы и скалярные кратные таких троек по-прежнему удовлетворяют тем же отношениям трех переменных; таким образом, они тоже являются решениями. Матрицы могут использоваться для объединения нескольких линейных уравнений, как указано выше, в одно векторное уравнение, а именно

А х = 0 ,

где A = - матрица, содержащая коэффициенты данных уравнений, x - вектор ( a , b , c ) , A x - матричное произведение , а 0 = (0, 0) - нулевой вектор. Аналогичным образом решения однородных линейных дифференциальных уравнений образуют векторные пространства. Например,${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}$

f ′ ′ ( x ) + 2 f ′ ( x ) + f ( x ) = 0.

дает f ( x ) = a e ^{- x} + bx e ^{- x} , где a и b - произвольные постоянные, а e ^x - естественная экспоненциальная функция .

Основа и размер [ править ]

Базы позволяют представлять векторы последовательностью скаляров, называемых координатами или компонентами . Базис - это набор B = { b _i } _{i ∈ I} векторов b _i , для удобства часто индексируемый некоторым индексным набором I , который охватывает все пространство и является линейно независимым . «Охват всего пространства» означает, что любой вектор v может быть выражен как конечная сумма (называемая линейной комбинацией ) базовых элементов:

${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{i_{1}}+a_{2}\mathbf {b} _{i_{2}}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{i_{n}},}$

( 1 )

где _к скаляры, называемые координаты (или компоненты) вектора V относительно базиса B , а б _{я K} ( K = 1, ..., п ) элементы B . Линейная независимость означает, что координаты a _k однозначно определены для любого вектора в векторном пространстве.

Например, координатные векторы e ₁ = (1, 0, ..., 0) , e ₂ = (0, 1, 0, ..., 0) , чтобы e _n = (0, 0, ... , 0, 1) , образуют базис F ⁿ , называемый стандартным базисом , поскольку любой вектор ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) может быть однозначно выражен как линейная комбинация этих векторов:

( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) = x ₁ (1, 0, ..., 0) + x ₂ (0, 1, 0, ..., 0) + ... + x _п (0, ..., 0, 1) = х ₁ е ₁ + х ₂ е ₂ + ... х _п е _н .

Соответствующие координаты x ₁ , x ₂ , ... , x _n - это просто декартовы координаты вектора.

Каждое векторное пространство имеет основу. Это следует из леммы Цорна , эквивалентной формулировки аксиомы выбора . ^[20] Учитывая другие аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля , существование базисов эквивалентно выбранной аксиоме. ^[21] ультрафильтр лемма , которая слабее , чем аксиома выбора, следует , что все базисы данного векторного пространства имеют одинаковое число элементов, или количество элементов (см Размер теоремы для векторных пространств ). ^[22] Она называется размерностью векторного пространства и обозначается dim V. Если пространство покрыто конечным числом векторов, приведенные выше утверждения могут быть доказаны без такого фундаментального вклада теории множеств. ^[23]

Размерность координатного пространства F ⁿ равна n в соответствии с показанным выше базисом. Размерность кольца многочленов F [ x ], введенная выше ^{[ требуется пояснение ]} , счетно бесконечна , базисом является 1 , x , x ² , ... Более того , размерность более общих функциональных пространств, таких как пространство функций на некотором (ограниченном или неограниченном) интервале, бесконечно. ^{[№ 4]}При подходящих предположениях регулярности задействованных коэффициентов размерность пространства решений однородного обыкновенного дифференциального уравнения равна степени уравнения. ^[24] Например, пространство решений для приведенного выше уравнения ^{[ требуется пояснение ]} генерируется посредством e ^{- x} и xe ^{- x} . Эти две функции линейно независимы над R , поэтому размерность этого пространства равна двум, как и степень уравнения.

Расширение поля над рациональными числами Q можно рассматривать как векторное пространство над Q (определяя сложение векторов как сложение полей, определяя скалярное умножение как умножение полей на элементы Q , и в противном случае игнорируя умножение полей). Размерность (или степень ) расширения поля Q (α) над Q зависит от α . Если α удовлетворяет некоторому полиномиальному уравнению

с рациональными коэффициентами q _n , ..., q ₀ (другими словами, если α алгебраический ), размерность конечна. Точнее, он равен степени минимального многочлена, имеющего α в качестве корня . ^[25] Например, комплексные числа C представляют собой двумерное вещественное векторное пространство, созданное единицей 1 и мнимой единицей i . Последний удовлетворяет i ² + 1 = 0, уравнению второй степени. Таким образом, C является двумерным R- векторным пространством (и, как любое поле, одномерным как векторное пространство над собой, C). Если α не алгебраический, размерность Q (α) над Q бесконечна. Например, при α = π такого уравнения нет. То есть π трансцендентно . ^[26]

Линейные карты и матрицы [ править ]

Связь двух векторных пространств может быть выражена линейной картой или линейным преобразованием . Это функции, которые отражают структуру векторного пространства, то есть сохраняют суммы и скалярное умножение:

${\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )}$и е ( · v ) = · F ( v ) для всех V и W в V , все в F . ^[27]

Изоморфизм является линейным отображением F  : V → W таким образом, что существует обратное отображение г  : W → V , который представляет собой карту таким образом, что два возможных композиции F ∘ г  : W → W и г ∘ F  : V → V является карты идентичности . Эквивалентно, f одновременно взаимно однозначно ( инъективно ) и на ( сюръективно ). ^[28] Если существует изоморфизм между V и W , эти два пространства называются изоморфными ; тогда они по существу идентичны как векторные пространства, поскольку все тождества, хранящиеся в V , через f переносятся в аналогичные в W , и наоборот, через g .

Например, векторные пространства «стрелки на плоскости» и «упорядоченные пары чисел» во введении изоморфны: плоская стрелка v, исходящая из начала некоторой (фиксированной) системы координат, может быть выражена как упорядоченная пара, учитывая x - и y - компоненты стрелки, как показано на изображении справа. И наоборот, если дана пара ( x , y ) , стрелка, идущая по x вправо (или влево, если x отрицательна), и y вверх (вниз, если y отрицательна) поворачивает стрелку v назад .

Линейные отображения V → W между двумя векторными пространствами образуют векторное пространство Hom _F ( V , W ) , также обозначаемое L ( V , W ) . ^[29] Пространство линейных отображений из V в F называется двойственным векторным пространством и обозначается V ^∗ . ^[30] С помощью инъективного естественного отображения V → V ^∗∗ любое векторное пространство может быть вложено в его двумерное; отображение является изоморфизмом тогда и только тогда, когда пространство конечномерно. ^[31]

После выбора базиса V линейные отображения f  : V → W полностью определяются путем задания изображений базисных векторов, поскольку любой элемент V однозначно выражается как их линейная комбинация. ^[32] Если тусклый V = тусклый W , A соответствие 1-к-1 между фиксированными основаниями V и W приводит к линейной карте , которая отображает любой базисный элемент V до соответствующего базисного элемента W . Это изоморфизм по самому своему определению. ^[33]Следовательно, два векторных пространства изоморфны, если их размерности совпадают, и наоборот. Другой способ выразить это - то, что любое векторное пространство полностью классифицируется (с точностью до изоморфизма) своей размерностью, одним числом. В частности, любое n -мерное F- векторное пространство V изоморфно F ⁿ . Однако не существует «канонического» или предпочтительного изоморфизма; на самом деле изоморфизм φ  : F ⁿ → V эквивалентен выбору базиса V путем отображения стандартного базиса F ⁿ в V через φ. Свобода выбора удобной основы особенно полезна в бесконечномерном контексте; см. ниже . ^{[ требуется разъяснение ]}

Матрицы [ править ]

Матрицы - полезное понятие для кодирования линейных карт. ^[34] Они записаны как прямоугольный массив скаляров, как на изображении справа. Любая матрица A размером m на n порождает линейное отображение из F ⁿ в F ^m следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)}$, где означает суммирование ,${\displaystyle \sum }$

или, используя матричное умножение матрицы A на вектор координат x :

х ↦ А х .

Кроме того, после выбора основы V и W , любое линейное отображение F  : V → W однозначно представлено матрицей посредством этого задания. ^[35]

Определитель Det ( ) из квадратной матрицы А является скаляром , что говорит ассоциированное отображение является ли изоморфизм или нет: быть поэтому достаточно и необходимо, чтобы определитель отличен от нуля. ^[36] Линейная трансформация R ^п , соответствующий реальному п матрицу с размерностью п матрицы сохраняет ориентацию , если и только если ее определитель является положительным.

Собственные значения и собственные векторы [ править ]

Эндоморфизмы , линейные отображения f  : V → V , особенно важны, поскольку в этом случае векторы v можно сравнить с их образом при f , f ( v ) . Любой ненулевой вектор v , удовлетворяющий Л V = п ( V ) , где λ является скаляром, называется собственным вектором из F с собственным значением λ . ^{[nb 5] [37]} Эквивалентно, v является элементом ядраразности f - λ · Id (где Id - тождественное отображение V → V ) . Если V конечномерно, это можно перефразировать с помощью определителей: f, имеющее собственное значение λ , эквивалентно

det ( f - λ · Id) = 0 .

По изложив определение определителя, выражение на левой стороне можно увидеть , чтобы быть полиномиальной функцией в Х , называется характеристический полином из F . ^[38] Если поле F достаточно велико, чтобы содержать нуль этого многочлена (что автоматически происходит для алгебраически замкнутого F , такого как F = C ), любое линейное отображение имеет по крайней мере один собственный вектор. Векторное пространство V может иметь или не иметь собственный базис , базис, состоящий из собственных векторов. Это явление определяется канонической формой карты Иордана . ^{[39][nb 6]} Набор всех собственных векторов, соответствующих конкретному собственному значению f, образует векторное пространство, известное как собственное подпространство, соответствующее собственному значению (и f ), о котором идет речь. Для достижения спектральной теоремы , соответствующего утверждения в бесконечномерном случае, необходим аппарат функционального анализа, см. Ниже . ^{[ требуется разъяснение ]}

Основные конструкции [ править ]

В дополнение к приведенным выше конкретным примерам существует ряд стандартных линейных алгебраических конструкций, которые дают векторные пространства, связанные с заданными. В дополнение к определениям, данным ниже, они также характеризуются универсальными свойствами , которые определяют объект X путем задания линейных отображений из X в любое другое векторное пространство.

Подпространства и частные пространства [ править ]

Непустое подмножество W векторного пространства V , замкнутое относительно сложения и умножения (и , следовательно , содержит 0 -вектор V ) называется линейное подпространство в V , или просто подпространство в V , когда окружающее пространство однозначно векторное пространство. ^{[40] [nb 7]} Подпространства V являются векторными пространствами (над одним и тем же полем) сами по себе. Пересечение всех подпространств, содержащих данный набор векторов S , называется его оболочкой , и это наименьшее подпространство в Vсодержащее множество S . Выраженный в терминах элементов, пролет является подпространство , состоящее из всех линейных комбинаций элементов из S . ^[41]

Линейное подпространство размерности 1 - это векторная линия . Линейное подпространство размерности 2 - это векторная плоскость . Линейное подпространство, которое содержит все элементы, кроме одного из базиса объемлющего пространства, является векторной гиперплоскостью . Таким образом, в векторном пространстве конечной размерности n векторная гиперплоскость является подпространством размерности n - 1 .

Аналог подпространств - факторные векторные пространства . ^[42] Для любого подпространства W ⊂ V фактор-пространство V / W (" V по модулю W ") определяется следующим образом: как множество оно состоит из v + W = { v + w  : w ∈ W }, где v произвольный вектор в V . Сумма двух таких элементов v ₁ + W и v ₂ + W равна( V ₁ + v ₂ ) + W , и скалярное умножение задается в · ( V + W ) = ( с · об ) + W . Ключевым моментом в этом определении является то , что v ₁ + W = v ₂ + W , если и только если разность v ₁ и v ₂ лежит в W . ^{[nb 8]} Таким образом, фактор-пространство «забывает» информацию, содержащуюся в подпространстве W.

Ядро кег ( е ) линейного отображения F  : V → W состоит из векторов V , которые отображаются на 0 в Вт . ^[43] Ядро и образ im ( f ) = { f ( v ): v ∈ V } являются подпространствами в V и W соответственно. ^[44] Существование ядер и образов является частью утверждения, что категория векторных пространств (над фиксированным полем F ) являетсяабелева категория , то есть совокупность математических объектов и сохраняющих структуру отображений между ними ( категория ), которая ведет себя так же, как категория абелевых групп . ^[45] Из-за этого многие утверждения, такие как первая теорема об изоморфизме (также называемая теоремой ранга – недействительности в терминах, связанных с матрицами)

V / ker ( f ) ≡ im ( f ).

а вторая и третья теоремы об изоморфизме могут быть сформулированы и доказаны способом, очень похожим на соответствующие утверждения для групп .

Важным примером является ядро ​​линейного отображения x ↦ A x для некоторой фиксированной матрицы A , как указано выше . ^{[ Требуется уточнение ]} Ядро этого отображения является подпространство векторов х таким , что х = 0 , который является в точности множества решений системы однородных линейных уравнений , принадлежащих к А . Это понятие распространяется также на линейные дифференциальные уравнения

${\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0}$, где коэффициенты a _{i также} являются функциями от x .

На соответствующей карте

${\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}}$,

что производные от функции F появляются линейно (в отличие от F '' ( х ) ² , к примеру). Поскольку дифференцирование является линейной процедурой (то есть ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ и ( c · f ) ′ = c · f ′ для константы c ), это сопоставление является линейным и называется линейным дифференциальным оператором . В частности, решения дифференциального уравнения D ( f ) = 0образуют векторное пространство (над R или C ).

Прямой продукт и прямая сумма [ править ]

Прямое произведение векторных пространств и прямая сумма векторных пространств два способ объединения индексированного семейства векторных пространств в новое векторном пространство.

Прямое произведение семейства векторных пространств V _я состою из множества всех кортежей ( v _я ) _{я ∈ I} , которые определяют для каждого индекса I в некоторых множестве индексов I элемент V _я из V _я . ^[46] Сложение и скалярное умножение выполняется покомпонентно. Вариантом этой конструкции является прямая сумма (также называемая копроизведением и обозначаемая ), где разрешены только кортежи с конечным числом ненулевых векторов. Если набор индексов I${\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}$ ${\displaystyle \oplus _{i\in I}V_{i}}$${\displaystyle \textstyle {\coprod _{i\in I}V_{i}}}$ конечно, эти две конструкции согласуются, но в целом они разные.

Тензорный продукт [ править ]

Тензорное произведение V ⊗ _F W , или просто V ⊗ Вт , из двух векторных пространств V и W является одним из центральных понятий полилинейнога алгебры , которая занимается простирающимися понятиями , такими как линейные карты до нескольких переменных. Отображение g  : V × W → X называется билинейным, если g линейно по обеим переменным v и w . Иными словами, при фиксированном w отображение v ↦ g ( v, w ) линейно в указанном выше смысле, а также при фиксированном v .

Тензорное произведение - это конкретное векторное пространство, которое является универсальным получателем билинейных отображений g следующим образом. Он определяется как векторное пространство, состоящее из конечных (формальных) сумм символов, называемых тензорами

v ₁ ⊗ вес ₁ + v ₂ ⊗ вес ₂ + ... + v _n ⊗ вес _n ,

в соответствии с правилами

a · ( v ⊗ w ) = ( a · v ) ⊗ w = v ⊗ ( a · w ), где a - скаляр,

( v ₁ + v ₂ ) ⊗ w = v ₁ ⊗ w + v ₂ ⊗ w , и

v ⊗ ( вес ₁ + вес ₂ ) знак равно v ⊗ вес ₁ + v ⊗ вес ₂ . ^[47]

Эти правила гарантируют, что отображение f из V × W в V ⊗ W, которое отображает набор ( v , w ) в v ⊗ w, является билинейным. Универсальность утверждает, что для любого векторного пространства X и любого билинейного отображения g  : V × W → X существует единственное отображение u , показанное на диаграмме пунктирной стрелкой, состав которого с f равен g: u ( v ⊗ w ) = g ( v , w ) . ^[48] Это называется универсальным свойством тензорного произведения, экземпляра метода - часто используемого в продвинутой абстрактной алгебре - для косвенного определения объектов путем указания карт из этого объекта или в этот объект.

Векторные пространства с дополнительной структурой [ править ]

С точки зрения линейной алгебры векторные пространства полностью понятны, поскольку любое векторное пространство с точностью до изоморфизма характеризуется своей размерностью. Однако векторные пространства сами по себе не предлагают основу для решения вопроса, который имеет решающее значение для анализа, сходится ли последовательность функций к другой функции. Точно так же линейная алгебра не приспособлена для работы с бесконечными сериями , поскольку операция сложения позволяет добавить только конечное количество членов. Следовательно, потребности функционального анализа требуют рассмотрения дополнительных структур.

Векторное пространство может иметь частичный порядок ≤, при котором можно сравнивать некоторые векторы. ^[49] Например, n -мерное реальное пространство R ⁿ можно упорядочить, сравнивая его векторы покомпонентно. Упорядоченные векторные пространства , например пространства Рисса , являются фундаментальными для интегрирования Лебега , которое основывается на способности выразить функцию как разность двух положительных функций.

е = е ⁺ - е ^- ,

где f ⁺ обозначает положительную часть f, а f ^- отрицательную часть. ^[50]

Нормированные векторные пространства и внутренние пространства продукта [ править ]

«Измерение» векторов осуществляется путем указания нормы , данных, измеряющих длину векторов, или внутреннего произведения , которое измеряет углы между векторами. Нормы и внутренние продукты обозначены и , соответственно. Из данных внутреннего продукта следует, что длины векторов также могут быть определены путем определения связанной нормы . Векторные пространства, наделенные такими данными, называются нормированными векторными пространствами и внутренними пространствами продукта соответственно. ^[51]${\displaystyle |\mathbf {v} |}$${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$${\textstyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}}$

Координатное пространство F ⁿ можно снабдить стандартным скалярным произведением :

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$

В R ² это отражает общее понятие угла между двумя векторами x и y по закону косинусов :

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}$

Из-за этого два удовлетворяющих вектора называются ортогональными . В пространстве Минковского используется важный вариант стандартного скалярного произведения : R ^4, наделенный произведением Лоренца.${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$

${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}$^[52]

В отличие от стандартного скалярного произведения, он не является положительно определенным : также принимает отрицательные значения, например для . Выделение четвертой координаты, соответствующей времени , а не трем пространственным измерениям, делает ее полезной для математической обработки специальной теории относительности .${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1)}$

Топологические векторные пространства [ править ]

Вопросы сходимости рассматриваются путем рассмотрения векторных пространств V, несущих совместимую топологию , структуру, которая позволяет говорить о близости элементов друг к другу . ^{[53] [54]} Совместимость здесь означает, что сложение и скалярное умножение должны быть непрерывными отображениями . Грубо говоря, если x и y в V и a в F изменяются на ограниченную величину, то также изменяются x + y и a x . ^{[nb 9]} Чтобы иметь смысл указывать величину изменения скаляра, поле Fтакже должен нести топологию в этом контексте; обычно выбирают действительные или комплексные числа.

В таких топологических векторных пространствах можно рассматривать серии векторов. Бесконечная сумма

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f_{i}}$

обозначает предел из соответствующих конечных частичных сумм последовательности ( F _I ) _{я ∈ N} элементов V . Например, f _i может быть (действительным или комплексным) функциями, принадлежащими некоторому функциональному пространству V , и в этом случае ряд является функциональным рядом . Режим сходимости рядов зависит от топологии , налагаемой на функциональном пространстве. В таких случаях два ярких примера - поточечная сходимость и равномерная сходимость .

Способ гарантировать существование пределов некоторых бесконечных серий состоит в том, чтобы ограничить внимание пространствами, в которых любая последовательность Коши имеет предел; такое векторное пространство называется полным . Грубо говоря, векторное пространство является полным при условии, что оно содержит все необходимые ограничения. Например, векторное пространство многочленов на единичном интервале [0,1], снабженное топологией равномерной сходимости , не является полным, потому что любую непрерывную функцию на [0,1] можно равномерно аппроксимировать последовательностью многочленов, Аппроксимационная теорема Вейерштрасса . ^[55] Напротив, пространство всех непрерывных функций на [0,1] с одинаковой топологией полно. ^[56]Норма порождает топологию, определяя, что последовательность векторов v _n сходится к v тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}$

Банаховы и гильбертовы пространства - это полные топологические векторные пространства, топологии которых задаются, соответственно, нормой и скалярным произведением. Их исследование - ключевой элемент функционального анализа - сосредоточено на бесконечномерных векторных пространствах, поскольку все нормы конечномерных топологических векторных пространств порождают одно и то же понятие сходимости. ^[57] Изображение справа показывает эквивалентность 1-норме и ∞-нормы на R ² : в качестве единицы «шарики» заключить друг с другом, а последовательность сходится к нулю в одной норме , если и только если оно так же в другая норма. В бесконечномерном случае, однако, обычно будут неэквивалентные топологии, что делает изучение топологических векторных пространств более богатым, чем изучение векторных пространств без дополнительных данных.

С концептуальной точки зрения все понятия, относящиеся к топологическим векторным пространствам, должны соответствовать топологии. Например, вместо того, чтобы рассматривать все линейные отображения (также называемые функционалами ) V → W , требуется, чтобы отображения между топологическими векторными пространствами были непрерывными. ^[58] В частности, (топологическое) дуальное пространство V ^∗ состоит из непрерывных функционалов V → R (или к C ). Основная теорема Хана – Банаха касается разделения подпространств подходящих топологических векторных пространств непрерывными функционалами. ^[59]

Банаховы пространства [ править ]

Банаховы пространства , введенные Стефаном Банахом , являются полными нормированными векторными пространствами. ^[60]

Первым примером является векторное пространство, ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} состоящее из бесконечных векторов с действительными элементами , -норма которых задается формулой ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \right)}$ p {\displaystyle p} ${\displaystyle (1\leq {p}\leq \infty )}$

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|_{p}:=\left(\sum _{i}\left\vert x_{i}\right\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$для    и   .${\displaystyle p<\infty }$${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|_{\infty }:=\sup _{i}\left|x_{i}\right|}$

Топологии на бесконечномерном пространстве для разных неэквивалентны . Например, последовательность векторов , в которой есть первые компоненты и последующие , сходится к нулевому вектору для , но не для :${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left(2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n},0,0,\ldots \right)}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{-n}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{_{\infty }}=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\rightarrow 0}$, но ${\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1.}$

В более общем смысле, чем последовательности действительных чисел, функции наделены нормой, которая заменяет указанную выше сумму интегралом Лебега${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left\Vert {f}\right\Vert _{p}:=\left(\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Пространство интегрируемых функций в данной области (например, интервале), удовлетворяющее этой норме и снабженное этой нормой, называется пространствами Лебега , обозначается . ^{[№ 10]}${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \left\Vert {f}\right\Vert _{p}<\infty }$${\displaystyle L^{\;\!p}\left(\Omega \right)}$

Эти пространства полны. ^[61] (Если вместо этого использовать интеграл Римана , пространство не будет полным, что можно рассматривать как оправдание теории интегрирования Лебега. ^{[Nb 11]} ) Конкретно это означает, что для любой последовательности интегрируемых по Лебегу функций      с , удовлетворяющим условие${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots }$${\displaystyle \left\Vert {f}_{n}\right\Vert _{p}<\infty }$

${\displaystyle \lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}_{k}(x)-{f}_{n}(x)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0}$

существует функция, принадлежащая векторному пространству, такая, что${\displaystyle {f}\left(x\right)}$${\displaystyle L^{\;\!p}\left(\Omega \right)}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)-{f}_{k}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0.}$

Наложение условий ограниченности не только на функцию, но и на ее производные приводит к пространствам Соболева . ^[62]

Гильбертовы пространства [ править ]

Полные внутренние пространства продукта известны как гильбертовые пространства в честь Дэвида Гильберта . ^[63] Гильбертово пространство L ² (Ω) со скалярным произведением, задаваемым формулой

${\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}$

где обозначает комплексное сопряжение из г ( х ), ^{[64] [NB 12]} является ключевым случаем.${\displaystyle {\overline {g(x)}}}$

По определению в гильбертовом пространстве любая последовательность Коши сходится к пределу. И наоборот, не менее важно найти последовательность функций f _n с желаемыми свойствами, которая приближает заданную предельную функцию. Ранний анализ под видом приближения Тейлора установил приближение дифференцируемых функций f полиномами. ^[65] По теореме Стоуна – Вейерштрасса любую непрерывную функцию на [ a , b ] можно сколь угодно точно аппроксимировать полиномом. ^[66] Подобный метод приближения тригонометрическими функциями обычно называютРазложение Фурье , которое широко применяется в технике, см. Ниже . ^{[ требуется пояснение ] В} более общем плане и более концептуально теорема дает простое описание того, какие «базовые функции» или, в абстрактных гильбертовых пространствах, каких базовых векторов достаточно для генерации гильбертова пространства H , в том смысле, что замыкание их span (то есть конечные линейные комбинации и их пределы) - это все пространство. Такой набор функций называется базисом из Н , его мощность известна как размерность пространства Гильберта . ^{[№ 13]}Теорема не только показывает подходящие базисные функции, достаточные для целей аппроксимации, но и вместе с процессом Грама – Шмидта позволяет построить базис из ортогональных векторов . ^[67] Такие ортогональные базисы являются обобщением координатных осей в конечномерном евклидовом пространстве в гильбертовом пространстве .

Решения различных дифференциальных уравнений можно интерпретировать в терминах гильбертовых пространств. Например, очень многие области физики и техники приводят к таким уравнениям, и часто решения с определенными физическими свойствами используются в качестве базисных функций, часто ортогональных. ^[68] В качестве примера из физики зависящее от времени уравнение Шредингера в квантовой механике описывает изменение физических свойств во времени с помощью уравнения в частных производных , решения которого называются волновыми функциями . ^[69] Определенные значения физических свойств, таких как энергия или импульс, соответствуют собственным значениям определенного (линейного)дифференциальный оператор и связанные с ним волновые функции называются собственными состояниями . Спектральная теорема разлагается линейный компактный оператор , действующий на функции в терминах этих функций и их собственных значений. ^[70]

Алгебры над полями [ править ]

Общие векторные пространства не обладают умножением между векторами. Векторное пространство, снабженное дополнительным билинейным оператором, определяющим умножение двух векторов, является алгеброй над полем . ^[71] Многие алгебры происходят из функций на каком-то геометрическом объекте: поскольку функции со значениями в данном поле могут быть умножены поточечно, эти объекты образуют алгебры. Теорема Стоуна – Вейерштрасса, например, опирается на банаховы алгебры, которые одновременно являются банаховыми пространствами и алгебрами.

Коммутативная алгебра широко использует кольца многочленов от одной или нескольких переменных, введенные выше . ^{[ требуется пояснение ]} Их умножение является коммутативным и ассоциативным . Эти кольца и их факторы составляют основу алгебраической геометрии , поскольку они являются кольцами функций алгебраических геометрических объектов . ^[72]

Другой важный пример - алгебры Ли , которые не являются ни коммутативными, ни ассоциативными, но их отсутствие ограничено ограничениями ( [ x , y ] обозначает произведение x и y ):

• [ x , y ] = - [ y , x ] ( антикоммутативность ) и
• [ x , [ y , z ]] + [ y , [ z , x ]] + [ z , [ x , y ]] = 0 ( тождество Якоби ). ^[73]

Примеры включают в себя векторное пространство п матрицы с размерностью п матрицы, с [ х , у ] = х - ух , то коммутатор двух матриц, и R ³ , снабженный поперечному продукта .

Тензорной алгебры T ( V ) представляет собой формальный способ добавления продуктов в любом векторном пространстве V , чтобы получить алгебру. ^[74] Как векторное пространство, оно натянуто на символы, называемые простыми тензорами.

v ₁ ⊗ v ₂ ⊗ ⋯ ⊗ v _n , где степень n меняется.

Умножение задается объединением таких символов, наложением закона распределения при сложении и требованием, чтобы скалярное умножение коммутировало с тензорным произведением ⊗, почти так же, как с тензорным произведением двух векторных пространств, введенных выше . ^{[ требуется пояснение ]} В общем, нет никаких отношений между v ₁ ⊗ v ₂ и v ₂ ⊗ v ₁ . Принуждение двух таких элементов к равенству приводит к симметричной алгебре , тогда как принуждение v ₁ ⊗ v ₂ = - v ₂⊗ v ₁ дает внешнюю алгебру . ^[75]

Когда поле F указано явно, обычно используется термин F -алгебра.

Приложения [ править ]

Векторные пространства имеют множество приложений, поскольку они часто встречаются в обычных обстоятельствах, а именно там, где задействованы функции со значениями в каком-либо поле. Они обеспечивают основу для решения аналитических и геометрических задач или используются в преобразовании Фурье. Этот список не является исчерпывающим: существует гораздо больше приложений, например, в области оптимизации . Минимаксная теорема о теории игр с указанием о существовании уникального выигрыша , когда все игроки играют оптимально может быть сформулирована и доказана с использованием методов векторных пространств. ^[76] Теория представлений плодотворно переносит хорошее понимание линейной алгебры и векторных пространств в другие математические области, такие как теория групп . ^[77]

Распределения [ править ]

Распределение (или обобщенная функция ) представляет собой линейное отображение назначения номера каждой функции «тест» , как правило, гладкая функция с компактным носителем , непрерывным образом: в выше ^{[ разъяснение необходимости ]} терминология пространство распределений является (непрерывное ) двойственный к пробному функциональному пространству. ^[78] Последнее пространство наделено топологией, которая учитывает не только само f , но и все его высшие производные. Стандартный пример - результат интегрирования тестовой функции f по некоторой области Ω:

${\displaystyle I(f)=\int _{\Omega }f(x)\,dx.}$

Когда Ω = { p }, множество, состоящее из одной точки, сводится к распределению Дирака , обозначенному δ, которое связывает пробной функции f ее значение в точке p : δ ( f ) = f ( p ) . Распределения - мощный инструмент для решения дифференциальных уравнений. Поскольку все стандартные аналитические понятия, такие как производные, линейны, они естественным образом распространяются на пространство распределений. Следовательно, рассматриваемое уравнение может быть перенесено в пространство распределения, которое больше, чем базовое функциональное пространство, так что доступны более гибкие методы для решения уравнения. Например, функции Гринаа фундаментальные решения обычно представляют собой распределения, а не собственные функции, и затем могут использоваться для поиска решений уравнения с заданными граничными условиями. Затем в некоторых случаях можно доказать, что найденное решение действительно является истинной функцией и решением исходного уравнения (например, используя теорему Лакса – Милграма, являющуюся следствием теоремы о представлении Рисса ). ^[79]

Фурье-анализ [ править ]

Преобразование периодической функции в сумму тригонометрических функций образует ряд Фурье , метод, широко используемый в физике и технике. ^{[nb 14] [80]} Основным векторным пространством обычно является гильбертово пространство L ² (0, 2π), для которого функции sin mx и cos mx ( m - целое число) образуют ортогональный базис. ^[81] разложение Фурье из L ² функции F является

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{m=1}^{\infty }\left[a_{m}\cos \left(mx\right)+b_{m}\sin \left(mx\right)\right].}$

Коэффициенты a _m и b _m называются коэффициентами Фурье функции f и вычисляются по формулам ^[82]

${\displaystyle a_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cos(mt)\,dt}$, ${\displaystyle b_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\sin(mt)\,dt.}$

С физической точки зрения функция представляется в виде суперпозиции из синусоидальных волн и коэффициенты дают информацию о функции в частотном спектре . ^[83] Также широко используется комплексная форма ряда Фурье. ^[82] Приведенные выше конкретные формулы являются следствием более общей математической двойственности, называемой двойственностью Понтрягина . ^{[84] В} применении к группе R это дает классическое преобразование Фурье; приложением в физике являются взаимные решетки , где основная группа представляет собой конечномерное реальное векторное пространство, снабженное дополнительными даннымирешетка, кодирующая положения атомов в кристаллах . ^[85]

Ряды Фурье используются для решения краевых задач в уравнениях с частными производными . ^[86] В 1822 году Фурье впервые применил этот метод для решения уравнения теплопроводности . ^[87] Дискретная версия ряда Фурье может использоваться в приложениях выборки, где значение функции известно только в конечном числе равноотстоящих точек. В этом случае ряд Фурье конечен и его значение равно выборочным значениям во всех точках. ^[88] Набор коэффициентов известен как дискретное преобразование Фурье (ДПФ) данной выборочной последовательности. ДПФ - один из ключевых инструментовцифровая обработка сигналов , область, приложения которой включают радар , кодирование речи , сжатие изображений . ^[89] Формат изображения JPEG представляет собой приложение тесно связанного дискретного косинусного преобразования . ^[90]

Быстрого преобразования Фурье представляет собой алгоритм для быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье. ^[91] Он используется не только для вычисления коэффициентов Фурье, но, используя теорему о свертке , также для вычисления свертки двух конечных последовательностей. ^[92] Они, в свою очередь, применяются в цифровых фильтрах ^[93] и в качестве алгоритма быстрого умножения многочленов и больших целых чисел ( алгоритм Шёнхаге – Штрассена ). ^{[94] [95]}

Дифференциальная геометрия [ править ]

Касательная плоскость к поверхности в точке, естественно , векторное пространство, происхождение которого идентифицируется с точкой контакта. Касательная плоскость - это наилучшее линейное приближение или линеаризация поверхности в точке. ^{[nb 15]} Даже в трехмерном евклидовом пространстве, как правило, нет естественного способа задать базис для касательной плоскости, и поэтому оно воспринимается как абстрактное векторное пространство, а не как реальное координатное пространство. Касательное пространство является обобщением к многомерным дифференцируемых многообразий . ^[96]

Римановы многообразия - это многообразия, касательные пространства которых снабжены подходящим внутренним произведением . ^[97] Полученный из этого тензор кривизны Римана кодирует все кривизны многообразия в одном объекте, который находит применение , например, в общей теории относительности , где тензор кривизны Эйнштейна описывает материю и энергосодержание пространства-времени . ^{[98] [99]} Касательное пространство группы Ли может быть естественно задано структурой алгебры Ли и может использоваться для классификации компактных групп Ли . ^[100]

Обобщения [ править ]

Наборы векторных изображений [ править ]

Векторное расслоение является семейством векторных пространств параметризованных непрерывно в топологическом пространстве X . ^[96] Точнее, векторное расслоение над X - это топологическое пространство E, снабженное непрерывным отображением

π: E → X

таким образом, что для каждого х в X , то слой π ^-1 ( х ) является векторным пространством. Случай dim V = 1 называется линейным расслоением . Для любого векторного пространства V проекция X × V → X превращает произведение X × V в «тривиальное» векторное расслоение . Векторные расслоения над X должны быть локально произведением X и некоторого (фиксированного) векторного пространства V : для каждого x в X, Существует окрестность U от х , таких , что сужение я на П ^-1 ( U ) изоморфно ^{[NB 16]} тривиального расслоения U × V → U . Несмотря на их локально тривиальный характер, векторные расслоения могут (в зависимости от формы лежащего в основе пространства X ) быть «скрученными» в целом (то есть расслоение не обязательно (глобально изоморфно) тривиальному расслоению X × V ). Например, ленту Мёбиуса можно рассматривать как линейное расслоение над окружностью S ¹ (поотождествление открытых интервалов с реальной линией ). Однако он отличается от цилиндра S ¹ × R , поскольку последний ориентируем, а первый - нет. ^[101]

Свойства определенных векторных пучков предоставляют информацию о лежащем в основе топологическом пространстве. Например, касательное расслоение состоит из набора касательных пространств, параметризованных точками дифференцируемого многообразия. Касательное расслоение окружности S ¹ является глобально изоморфна S ¹ × R , так как существует глобальное ненулевое векторное поле на S ¹ . ^{[NB 17 не]} В противоположность этому , по теореме волосистой шара , нет (касательное) векторное поле на 2-сферы S ² , всюду отлична от нуля. ^[102] K-теорияизучает классы изоморфизма всех векторных расслоений над некоторым топологическим пространством. ^[103] В дополнении к углублению топологического и геометрическое представления, она имеет чисто алгебраические последствия, такие как классификация конечномерных вещественные алгебр с делением : R , C , в кватернионах H и Октонионы O .

Котангенс расслоение дифференцируемого многообразия состоит, в каждой точке многообразия, двойственные касательного пространства, кокасательному пространство . Части этого пучка известны как дифференциальные одноформные .

Модули [ править ]

Модули для колец представляют собой то же самое, что векторные пространства для полей: те же аксиомы, примененные к кольцу R вместо поля F , дают модули. ^[104] Теория модулей по сравнению с теорией векторных пространств усложняется наличием кольцевых элементов, не имеющих мультипликативных инверсий . Например, модули не обязательно должны иметь базисы, как показывает Z -модуль (т. Е. Абелева группа ) Z / 2 Z ; те модули, которые это делают (включая все векторные пространства), называются свободными модулями . Тем не менее векторное пространство можно компактно определить как модуль над кольцомкоторое является полем , элементы которого называются векторами. Некоторые авторы используют термин векторное пространство для обозначения модулей над телом . ^[105] Алгебро-геометрическая интерпретация коммутативных колец через их спектр позволяет развивать такие концепции, как локально свободные модули , алгебраический аналог векторных расслоений.

Аффинные и проективные пространства [ править ]

Грубо говоря, аффинные пространства - это векторные пространства, происхождение которых не указано. ^[106] Точнее, аффинное пространство - это множество со свободным транзитивным действием векторного пространства . В частности, векторное пространство является аффинным пространством над собой по отображению

V × V → V , ( v , a ) ↦ a + v .

Если W - векторное пространство, то аффинное подпространство - это подмножество W, полученное переносом линейного подпространства V на фиксированный вектор x ∈ W ; это пространство обозначаются й + V (это смежный класс из V в W ) и состоит из всех векторов вида х + V для об ∈ V . Важным примером является пространство решений системы неоднородных линейных уравнений

А х = б

обобщая однородный случай b = 0 выше . ^{[ требуется пояснение ] [107]} Пространство решений - это аффинное подпространство x + V, где x - частное решение уравнения, а V - пространство решений однородного уравнения ( нулевое пространство A ).

Множество одномерных подпространств фиксированного конечномерного векторного пространства V называется проективным пространством ; его можно использовать для формализации идеи параллельных прямых, пересекающихся на бесконечности. ^[108] Грассманианы и многообразия флагов обобщают это, параметризуя линейные подпространства фиксированной размерности k и флаги подпространств соответственно.

См. Также [ править ]

• Вектор (математика и физика) , для списка различных видов векторов

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Алгебра [ править ]

• Артин, Майкл (1991), алгебра , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
• Бласс, Андреас (1984), «Существование базисов подразумевает аксиому выбора», Теория аксиоматических множеств (Боулдер, Колорадо, 1983) , Contemporary Mathematics, 31 , Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 31–33, MR  0763890
• Браун, Уильям А. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк: М. Деккер, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96412-6
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3-е изд.), Стр. 193–222, ISBN 978-0-8218-1646-2
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8
• Роман, Стивен (2005), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике, 135 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-24766-3
• Шпиндлер, Карлхайнц (1993), Абстрактная алгебра с приложениями: Том 1: Векторные пространства и группы , CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5
• van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Алгебра (на немецком языке) (9-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56799-8

Анализ [ править ]

• Бурбаки, Николас (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13627-9
• Бурбаки, Николас (2004), Интеграция I , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41129-1
• Браун, Мартин (1993), Дифференциальные уравнения и их приложения: введение в прикладную математику , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97894-9
• BSE-3 (2001) [1994], "Касательная плоскость" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Шоке, Гюстав (1966), Топология , Бостон, Массачусетс: Academic Press
• Деннери, Филипп; Кшивицкий, Андре (1996), Математика для физиков , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-69193-0
• Дадли, Ричард М. (1989), Реальный анализ и вероятность , Серия математики Уодсворта и Брукса / Коула, Пасифик Гроув, Калифорния: Уодсворт и Брукс / Продвинутые книги и программное обеспечение Коула, ISBN 978-0-534-10050-6
• Данэм, Уильям (2005), Галерея исчисления , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09565-3
• Эванс, Лоуренс К. (1998), уравнения в частных производных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0772-9
• Фолланд, Джеральд Б. (1992), Анализ Фурье и его приложения , Брукс-Коул, ISBN 978-0-534-17094-3
• Гаске, Клод; Витомски, Патрик (1999), Анализ Фурье и приложения: фильтрация, численные вычисления, всплески , тексты в прикладной математике, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98485-8
• Ifeachor, Emmanuel C .; Джервис, Барри В. (2001), Цифровая обработка сигналов: практический подход (2-е изд.), Харлоу, Эссекс, Англия: Прентис-Холл (опубликовано в 2002 г.), ISBN 978-0-201-59619-9
• Кранц, Стивен Г. (1999), Панорама гармонического анализа , Математические монографии Каруса, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-031-2
• Крейсциг, Эрвин (1988), Advanced Engineering Mathematics (6-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-85824-9
• Крейсциг, Эрвин (1989), Вводный функциональный анализ с приложениями , Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50459-7, MR  0992618
• Лэнг, Серж (1983), реальный анализ , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-14179-5
• Ланг, Серж (1993), Реальный и функциональный анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94001-4
• Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Торонто-Нью-Йорк-Лондон: D. Van Nostrand Company, Inc., стр. X + 190, hdl : 2027 / uc1.b4250788
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Тревес, Франсуа (1967), Топологические векторные пространства, распределения и ядра , Бостон, Массачусетс: Academic Press

Исторические ссылки [ править ]

• Банах, Стефан (1922), «Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (Об операциях в абстрактных множествах и их применении к интегральным уравнениям)» (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на французском), 3 : 133– 181, DOI : 10,4064 / фм 3-1-133-181 , ISSN  0016-2736
• Больцано, Бернард (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Соображения некоторых аспектов элементарной геометрии) (на немецком языке)
• Bellavitis, Giuso (1833), "Sopra alcune applications di un nuovo metodo di geometria analitica", Il poligrafo giornale di scienze, lettre ed arti , Verona, 13 : 53–61.
• Бурбаки, Николя (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Элементы истории математики) (на французском языке), Париж: Герман
• Dorier, Жан-Люк (1995), "Общая схема генезиса теории векторного пространства" , Хистория Mathematica , 22 (3): 227-261, DOI : 10,1006 / hmat.1995.1024 , МР  1347828
• Фурье, Жан Батист Жозеф (1822), Аналитическая Теория Шалера (на французском языке), Chez Firmin Didot, père et fils
• Грассманн, Герман (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (на немецком языке), О. Виганд, перепечатка: Grassmann, Hermann (2000), Kannenberg, LC (ed.), Extension Theory , переведено Канненбергом, Ллойдом К., Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2031-5
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), Лекции по кватернионам , Королевская ирландская академия
• Мёбиус, Август Фердинанд (1827 г.), Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Барицентрическое исчисление: новая утилита для аналитического обращения с геометрией) (на немецком языке), заархивировано из оригинала 23 ноября 2006 г.
• Мур, Gregory H. (1995), "аксиоматизация линейной алгебры: 1875-1940гг", Historia Mathematica , 22 (3): 262-303, DOI : 10,1006 / hmat.1995.1025
• Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (на итальянском языке), Турин
• Пеано, Г. (1901) Formulario mathematico : аксиомы vct через Интернет-архив

Дальнейшие ссылки [ править ]

• Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976), Физика твердого тела , Торонто: Thomson Learning, ISBN 978-0-03-083993-1
• Атья, Майкл Фрэнсис (1989), K-теория , Advanced Book Classics (2-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, Руководство по ремонту  1043170
• Бурбаки, Николас (1998), Элементы математики: Алгебра I, главы 1-3 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64243-5
• Бурбаки, Николас (1989), Общая топология. Главы 1-4 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64241-1
• Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1987), Проективная геометрия (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96532-1
• Айзенберг, Мюррей; Гай, Роберт (1979), "Доказательство теоремы волосистой шара", Американский Математический Месячный , 86 (7): 572-574, DOI : 10,2307 / 2320587 , JSTOR  2320587
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8, MR  1322960
• Голдрей, Дерек (1996), Классическая теория множеств: управляемое независимое исследование (1-е изд.), Лондон: Чепмен и Холл , ISBN 978-0-412-60610-6
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1995), Введение в квантовую механику , Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис Холл , ISBN 978-0-13-124405-4
• Халмос, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3
• Халперн, Джеймс Д. (июнь 1966), "Основы в векторных пространств и аксиома выбора", Труды Американского математического общества , 17 (3): 670-673, DOI : 10,2307 / 2035388 , JSTOR  2035388
• Хьюз-Халлетт, Дебора; Маккаллум, Уильям Дж .; Глисон, Эндрю М. (2013), Исчисление: одно и многомерное (6-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN 978-0470-88861-2
• Husemoller, Dale (1994), Fiber Bundles (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94087-8
• Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7
• Крейсциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Dover Publications , стр. Xiv + 352, ISBN 978-0-486-66721-8
• Крейсциг, Эрвин (1999), Advanced Engineering Mathematics (8-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-15496-9
• Люенбергер, Дэвид (1997), Оптимизация методами векторного пространства , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-18117-0
• Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип ; Уиллер, Джон Арчибальд (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Набер, Грегори Л. (2003), Геометрия пространства-времени Минковского , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43235-9, MR  2044239
• Schönhage, A .; Strassen, Volker (1971), "Schnelle Multiplikation großer Zahlen (Быстрое умножение больших чисел)", вычисления (на немецком языке ), 7 (3-4): 281-292, DOI : 10.1007 / bf02242355 , ISSN  0010-485X , S2CID  9738629
• Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию (том второй) , Хьюстон, Техас: опубликовать или погибнуть
• Стюарт, Ян (1975), Теория Галуа , Серия математики Чепмена и Холла , Лондон: Чепмен и Холл , ISBN 978-0-412-10800-6
• Варадараджан, VS (1974), Группы Ли, алгебры Ли и их представления , Прентис Холл , ISBN 978-0-13-535732-3
• Уоллес, Г.К. (февраль 1992 г.), «Стандарт сжатия неподвижных изображений JPEG» (PDF) , IEEE Transactions on Consumer Electronics , 38 (1): xviii – xxxiv, CiteSeerX  10.1.1.318.4292 , doi : 10.1109 / 30.125072 , ISSN  0098 -3063 , заархивировано из оригинального (PDF) 13 января 2007 г. , получено 25 октября 2017 г.
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .

Внешние ссылки [ править ]

В Викиуке по линейной алгебре есть страница по теме: Вещественные векторные пространства

В Викибуке Линейная алгебра есть страница по теме: Векторные пространства

• "Векторное пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]