Линейное пространство является базовой структурой в геометрии падения . Линейное пространство состоит из набора элементов, называемых точками , и набора элементов, называемых линиями . Каждая линия представляет собой отдельное подмножество точек. Точки на линии считаются инцидентными с линией. Любые две линии могут иметь не более одной общей точки. Интуитивно это правило можно представить в виде двух прямых линий, которые никогда не пересекаются более одного раза.
(Конечные) линейные пространства можно рассматривать как обобщение проективных и аффинных плоскостей и, в более широком смысле, блочных схем , где требование, чтобы каждый блок содержал одинаковое количество точек, отбрасывается, а существенной структурной характеристикой является то, что 2 точки инцидентны. с ровно 1 строчкой.
Термин линейное пространство был введен Полем Либуа в 1964 году, хотя многие результаты о линейных пространствах намного старше.
Определение [ править ]
Пусть L = ( P , G , I ) - структура инцидентности , для которой элементы P называются точками, а элементы G - прямыми. L является линейным пространством, если выполняются следующие три аксиомы:
- (L1) две различные точки инцидентны ровно одной прямой.
- (L2) каждая прямая инцидентна по крайней мере двум различным точкам.
- (L3) L содержит не менее двух различных прямых.
Некоторые авторы опускают (L3) при определении линейных пространств. В такой ситуации линейные пространства, удовлетворяющие (L3), считаются нетривиальными, а линейные пространства - тривиальными .
Примеры [ править ]
Регулярная евклидова плоскость с ее точками и прямыми образует линейное пространство, более того, все аффинные и проективные пространства также являются линейными пространствами.
В таблице ниже показаны все возможные нетривиальные линейные пространства из пяти точек. Поскольку любые две точки всегда соприкасаются с одной линией, линии, соприкасающиеся только с двумя точками, по соглашению не рисуются. Тривиальный случай - это просто линия, проходящая через пять точек.
На первой иллюстрации десять линий, соединяющих десять пар точек, не нарисованы. На второй иллюстрации семь линий, соединяющих семь пар точек, не нарисованы.
 |  |  |  |
| 10 строк | 8 строк | 6 строк | 5 строк |
Линейное пространство из n точек, содержащее прямую, инцидентную n - 1 точкам, называется ближним пучком . (См. Карандаш )
 |
| возле карандаша с 10 точками |
Свойства [ править ]
Теорема Де Брёйна – Эрдеша показывает, что в любом конечном линейном пространстве, которое не является единственной точкой или единственной линией, мы имеем .
См. Также [ править ]
- Блочный дизайн
- Самолет Фано
- Проективное пространство
- Аффинное пространство
- Молекулярная геометрия
- Частичное линейное пространство
Ссылки [ править ]
- Шулт, Эрнест Э. (2011), точки и линии , Universitext, Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7.
- Альбрехт Бойтельшпахер : Einführung in die endliche Geometrie II . Bibliographisches Institut, 1983, ISBN 3-411-01648-5 , стр. 159 (немецкий)
- Дж. Х. ван Линт , Р. М. Уилсон : Курс комбинаторики . Издательство Кембриджского университета, 1992, ISBN 0-521-42260-4 . п. 188
- Л. М. Баттен, Альбрехт Бойтельшпахер: Теория конечных линейных пространств . Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1992.
