Карандаш (математика)

В Окружность Аполлония , два ортогональных пучков окружностей

В геометрии , А карандаш представляет собой семейство геометрических объектов с общим свойством, например , множество линий, проходящих через данную точку в плоскости , или множество окружностей, проходящих через две заданные точки в плоскости.

Хотя определение карандаша довольно расплывчато, общей характеристикой является то, что карандаш полностью определяется любыми двумя его членами. Аналогично, набор геометрических объектов, который определяется любыми тремя его членами, называется связкой . ^[1] Таким образом, множество всех прямых, проходящих через точку в трехмерном пространстве, представляет собой пучок прямых, любые две из которых определяют пучок прямых. Чтобы подчеркнуть двумерный характер такого карандаша, его иногда называют плоским карандашом ^[2]

Карандашом можно использовать любой геометрический объект. Наиболее распространенными из них являются прямые, плоскости, окружности, коники, сферы и общие кривые. Можно использовать даже очки. Карандаш точек является множество всех точек на данной линии. ^[1] Более общий термин для этого набора - это диапазон точек.

Карандаш линий [ править ]

На плоскости пусть u и v - две различные пересекающиеся прямые. Для конкретности предположим, что u имеет уравнение aX + bY + c = 0, а v имеет уравнение a'X + b'Y + c ′ = 0 . потом

λ u + μ v = 0 ,

представляет для подходящих скаляров λ и μ любую прямую, проходящую через пересечение u = 0 и v = 0. Этот набор прямых, проходящих через общую точку, называется пучком прямых . ^[3] Точка пересечения пучка прямых называется вершиной пучка.

В аффинной плоскости с рефлексивным вариантом параллелизма набор параллельных прямых образует класс эквивалентности, называемый пучком параллельных прямых . ^[4] Эта терминология согласуется с приведенным выше определением, поскольку в единственном проективном расширении аффинной плоскости до проективной плоскости к каждой прямой в пучке параллельных прямых добавляется единственная точка ( точка на бесконечности ), превращая ее в пучок в указанном выше смысле в проективной плоскости.

Карандаш из плоскостей [ править ]

Пучок плоскостей , есть множество плоскостей , проходящая через данный прямой в трехмерном пространстве, называемой осью пучка. Карандаш иногда называют осевым-карандашом ^[5] или вентилятора или пучка . ^[6] Например, меридианы земного шара определяются набором плоскостей на оси вращения Земли.

Две пересекающиеся плоскости встречаются в линии в трех пространствах, и таким образом определяют ось и, следовательно, все плоскости в карандаше.

В пространствах большей размерности пучок гиперплоскостей состоит из всех гиперплоскостей, содержащих подпространство коразмерности 2. Такой пучок определяется любыми двумя его членами.

Карандаш из кругов [ править ]

Любые две окружности на плоскости имеют общую радикальную ось , которая представляет собой линию, состоящую из всех точек, имеющих одинаковую мощность по отношению к двум окружностям. Пучок окружностей (или коаксиальной системы ) представляет собой набор из всех кругов в плоскости с одной и той же радикальной осью. ^[7] Говорят, что концентрические окружности имеют бесконечно удаленную линию в качестве радикальной оси.

Существует пять типов пучков окружностей ^[8], два семейства аполлонических окружностей на иллюстрации выше представляют два из них. Каждый тип определяется двумя кругами, называемыми образующими карандаша. При алгебраическом описании уравнения могут допускать мнимые решения. Типы бывают:

• Эллиптический пучок (красный семейство окружностей на рисунке) определяется двумя генераторами , которые проходят через друг друга ровно в два очка. Каждый круг эллиптического карандаша проходит через одни и те же две точки. В эллиптическом карандаше нет воображаемых окружностей.
• Гиперболический пучок (синий семейство окружностей на рисунке) определяется двумя генераторами , которые не пересекаются друг с другом в любой момент. Он включает в себя действительные окружности, мнимые окружности и две вырожденные точечные окружности, называемые точками Понселе карандаша. Каждая точка на плоскости принадлежит ровно одному кругу карандаша.
• Параболический пучок (как предельный случай) определяется , где две генерирующие окружности касаются друг друга в одной точке. Он состоит из семейства реальных окружностей, которые касаются друг друга в одной общей точке. Вырожденная окружность нулевого радиуса в этой точке также принадлежит пучку.
• Семейство концентрических окружностей с центром в общем центре (можно рассматривать как частный случай гиперболического пучка, где другой точкой является бесконечно удаленная точка).
• Семейство прямых, проходящих через общую точку; их следует интерпретировать как круги, которые проходят через бесконечно удаленную точку (можно рассматривать как частный случай эллиптического пучка). ^{[9] [10]}

Свойства [ править ]

Окружность, ортогональная двум фиксированным окружностям, ортогональна каждой окружности в пучке, который они определяют. ^[11]

Окружности, ортогональные двум неподвижным окружностям, образуют пучок окружностей. ^[11]

Два круга определяют два пучка: единственный пучок, который их содержит, и пучок кругов, ортогональных им. Коренная ось одного карандаша состоит из центров окружностей другого карандаша. Если один пучок эллиптического типа, другой - гиперболического, и наоборот. ^[11]

Радикальная ось любого пучка окружностей, интерпретируемого как окружность бесконечного радиуса, принадлежит этому пучку. Любые три окружности принадлежат одному карандашу, если все три пары имеют одну и ту же радикальную ось, а их центры коллинеарны .

Проективное пространство кругов [ править ]

Между окружностями на плоскости и точками в трехмерном проективном пространстве существует естественное соответствие ; прямая в этом пространстве соответствует одномерному непрерывному семейству окружностей, следовательно, пучок точек в этом пространстве - это пучок окружностей на плоскости.

В частности, уравнение круга радиуса r с центром в точке ( p , q ),

${\displaystyle (x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},}$

можно переписать как

${\displaystyle \alpha (x^{2}+y^{2})-2\beta x-2\gamma y+\delta =0,}$

где α = 1, β =  p , γ =  q и δ =  p ²  +  q ²  -  r ² . В этой форме умножение четверки ( α, β, γ, δ ) на скаляр дает другую четверку, которая представляет тот же круг; таким образом, эти четверки можно рассматривать как однородные координаты для пространства окружностей. ^[12] Прямые линии также могут быть представлены уравнением этого типа, в котором α = 0, и их следует рассматривать как вырожденную форму круга. Когда α ≠ 0 , мы можем найти p  = β / α, q = γ / α и r  = √ ( p ²  +  q ²  - δ / α) ; последняя формула может дать r  = 0 (в этом случае круг вырождается в точку) или r, равное мнимому числу (в этом случае четверка ( α, β, γ, δ ), как говорят, представляет воображаемый круг ).

Множество аффинных комбинаций двух окружностей ( α ₁ , β ₁ , γ ₁ , δ ₁ ), ( α ₂ , β ₂ , γ ₂ , δ ₂ ), то есть множество окружностей, представленных четверкой

${\displaystyle z(\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\delta _{1})+(1-z)(\alpha _{2},\beta _{2},\gamma _{2},\delta _{2})}$

при некотором значении параметра z образует карандаш; два круга - образующие карандаша.

Кардиоида как огибающая карандаша кругов [ править ]

Другой тип пучка окружностей можно получить следующим образом. Рассмотрим данную окружность (называемую образующей окружностью ) и выделенную точку P на образующей окружности. Набор всех окружностей, которые проходят через точку P и имеют свои центры на образующей окружности, образуют пучок окружностей. Конверт этого пучка является кардиоида .

Карандаш сфер [ править ]

Сфера однозначно определяется четырьмя некомпланарными точками . В более общем смысле, сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание к плоскости и т. Д. ^[13] Это свойство аналогично тому, что три неколлинеарных точки определяют уникальный круг на плоскости.

Следовательно, сфера однозначно определяется (то есть проходит через) окружностью и точкой, не лежащей в плоскости этого круга.

Изучая общие решения уравнений двух сфер , можно увидеть, что две сферы пересекаются по окружности, и плоскость, содержащая этот круг, называется радикальной плоскостью пересекающихся сфер. ^[14] Хотя радикальная плоскость является реальной плоскостью, окружность может быть воображаемой (у сфер нет общей реальной точки) или состоять из одной точки (сферы касаются в этой точке). ^[15]

Если f ( x , y , z ) = 0 и g ( x , y , z ) = 0 - уравнения двух различных сфер, то

${\displaystyle \lambda f(x,y,z)+\mu g(x,y,z)=0}$

также является уравнением шара для произвольных значений параметров λ и μ . Набор всех сфер, удовлетворяющих этому уравнению, называется пучком сфер, определяемым исходными двумя сферами. В этом определении сфера может быть плоскостью (бесконечный радиус, центр в бесконечности), и если обе исходные сферы являются плоскостями, то все сферы пучка являются плоскостями, в противном случае в плоскости имеется только одна плоскость (радикальная плоскость). карандаш. ^[16]

Если пучок сфер не состоит из всех плоскостей, то есть три типа карандашей: ^[15]

• Если сферы пересекаются в действительной окружности C , то пучок состоит из всех сфер, содержащих C , включая радикальную плоскость. Центры всех обычных сфер в пучке лежат на прямой, проходящей через центр C и перпендикулярной радикальной плоскости.
• Если сферы пересекаются в воображаемом круге, все сферы карандаша также проходят через этот воображаемый круг, но как обычные сферы они не пересекаются (не имеют общих реальных точек). Линия центров перпендикулярна радикальной плоскости, которая представляет собой действительную плоскость в карандаше, содержащем воображаемую окружность.
• Если сферы пересекаются в точке A , все сферы в пучке касаются в A, а радикальная плоскость является общей касательной плоскостью всех этих сфер. Линия центров перпендикулярно к радикальной плоскости на A .

Все касательные от неподвижной точки радикальной плоскости к сферам пучка имеют одинаковую длину. ^[15]

Радикальная плоскость - это геометрическое место центров всех сфер, ортогональных всем сферам в пучке. Более того, сфера, ортогональная любым двум сферам пучка сфер, ортогональна всем им, а ее центр лежит в радикальной плоскости пучка. ^[15]

Конический карандаш [ править ]

(Невырожденная) коника полностью определяется пятью точками общего положения (без трех коллинеарных) на плоскости, и система коник, которые проходят через фиксированный набор из четырех точек (опять же на плоскости, а не трех коллинеарных), называется пучок коник . ^[17] Четыре общие точки называются базовыми точками пучка. Через любую точку, кроме базовой, проходит единственный конус карандаша. Это понятие обобщает пучок окружностей.

В проективной плоскости, определенной над алгебраически замкнутым полем, любые две коники пересекаются в четырех точках (считая с кратностью) и, таким образом, определяют пучок коник на основе этих четырех точек. Кроме того, четыре базовые точки определяют три пары прямых ( вырожденные коники, проходящие через базовые точки, каждая прямая пары содержит ровно две базовые точки), и поэтому каждый пучок коник будет содержать не более трех вырожденных коник. ^[18]

Пучок коник алгебраически можно представить следующим образом. Пусть С ₁ и С ₂ две различные коники в проективной плоскости , определенной над алгебраически замкнутым полем K . Для любой пары λ , μ элементов K , не являющейся обеими нулевыми, выражение:

${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}}$

представляет собой конус в карандаше, определяемый C ₁ и C ₂ . Это символическое представление может быть конкретизировано с небольшим злоупотреблением обозначениями (с использованием тех же обозначений для обозначения объекта, а также уравнения, определяющего объект). Если рассматривать C ₁ , скажем, как троичную квадратичную форму , тогда C ₁ = 0 является уравнением «коники C ₁ ». Другая конкретная реализация может быть получена, если рассматривать C ₁ как симметричную матрицу 3 × 3, которая его представляет. Если C ₁ и C ₂иметь такие конкретные реализации, то каждый член вышеупомянутого карандаша тоже будет. Поскольку в настройке используются однородные координаты на проективной плоскости, два конкретных представления (уравнения или матрицы) дают одну и ту же конику, если они отличаются ненулевой мультипликативной константой.

Карандаш плоских кривых [ править ]

В более общем смысле, пучок - это частный случай линейной системы дивизоров, в которой пространство параметров является проективной прямой . Типичные пучки кривых на проективной плоскости , например, записываются как

${\displaystyle \lambda C+\mu C'=0\,}$

где C = 0 , C ′ = 0 - плоские кривые.

История [ править ]

Дезаргу приписывают изобретение термина «карандаш линий» ( ordonnance de lignes ). ^[19]

Один из первых авторов современной проективной геометрии Г. Б. Холстед ввел много терминов, большинство из которых теперь считаются архаичными. ^{[ согласно кому? ]} Например, «Прямые с одним и тем же крестом - соучастны». Также «Совокупность всех копланарных копунктальных прямых называется плоским карандашом » и «Кусок плоского карандаша, ограниченный двумя прямыми как сторонами , называется углом ». ^[20]

См. Также [ править ]

• Карандаш Лефшеца
• Матричный карандаш
• Карандашный луч
• Фибрация
• Locus

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Альберт, Абрахам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
• Артин, Э. (1957), Геометрическая алгебра , Interscience Publishers
• Фолкнер, Т. Е. (1952), Проективная геометрия (2-е изд.), Эдинбург: Оливер и Бойд
• Холстед, Джордж Брюс (1906). Синтетическая проективная геометрия .
• Джонсон, Роджер А. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
• Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия / Комплексный курс , Дувр, ISBN 0-486-65812-0
• Pfeifer, Richard E .; Ван крюк, Кэтлин (1993), "Круги, векторы, и линейная алгебра", Математика Журнал , 66 (2): 75-86, DOI : 10,2307 / 2691113 , JSTOR  2691113
• Самуэль, Пьер (1988), Проективная геометрия , Тексты для студентов по математике (Чтения по математике), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Швердтфегер, Ганс (1979) [1962], Геометрия комплексных чисел: Геометрия круга, преобразование Мебиуса, неевклидова геометрия , Довер, стр. 8–10.
• Янг, Джон Уэсли (1971) [1930], проективная геометрия , Монография Каруса № 4, Математическая ассоциация Америки
• Вудс, Фредерик С. (1961) [1922], Высшая геометрия / Введение в передовые методы аналитической геометрии , Dover

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Карандаш» . MathWorld .