Ограниченная функция

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Поиск источников:  «Ограниченная функция»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Схематическое изображение ограниченной функции (красный) и неограниченной (синий). Интуитивно понятно, что график ограниченной функции остается в горизонтальной полосе, а график неограниченной функции - нет.

В математике , функция F , определенная на некотором множестве X с вещественными или комплексными значениями называется ограниченным , если множество ее значений ограничено . Другими словами, существует действительное число M такое, что

${\ Displaystyle | е (х) | \ Leq M}$

для всех х в X . Функция, которая не ограничена называется неограниченной .

Если F вещественна и F ( х ) ≤ для всех х в X , то функция называется ограниченным (с) выше по А . Если F ( х ) ≥ В для всех х в X , то функция называется ограниченным (с) ниже , с помощью B . Вещественнозначная функция ограничена тогда и только тогда, когда она ограничена сверху и снизу.

Важный частный случай является ограниченной последовательностью , где Х берутся множество N из натуральных чисел . Таким образом, последовательность f = ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) ограничена, если существует действительное число M такое, что

${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq M}$

для каждого натурального числа n . Набор всех ограниченных последовательностей образует пространство последовательностей .${\displaystyle l^{\infty }}$

Определение ограниченности можно обобщить на функции F: X → Y со значениями в более общем пространстве Y , требуя , чтобы изображение F (X) представляет собой ограниченное множество в Y .

Связанные понятия [ править ]

Локальная ограниченность слабее ограниченности . Семейство ограниченных функций может быть ограничено равномерно .

Ограниченный оператор Т: X → Y , не является ограниченной функция в смысле определения этой страницы (если Т = 0 ), но имеет более слабое свойство сохраняющей ограниченности : ограниченные множества M ⊆ X преобразуются в ограниченные множества Т (М) ⊆ Y. Это определение может быть расширено до любой функции f  : X → Y, если X и Y допускают понятие ограниченного множества. Ограниченность также можно определить, посмотрев на график.

Примеры [ править ]

• Функция sin: R → R ограничена.
• Функция, определенная для всех действительных x, кроме −1 и 1, не ограничена. Когда x приближается к -1 или 1, значения этой функции становятся все больше и больше по величине. Эту функцию можно сделать ограниченной, если рассматривать ее область определения, например, [2, ∞) или (−∞, −2].${\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}}$

• Функция, определенная для всех действительных x , ограничена.${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$
• Обратный тригонометрические функции арктангенс определяется следующим образом: у = ArcTan ( х ) или х = тангенс ( у ) является увеличение для всех действительных чисел х и ограниченные с -π/2< у <π/2 радианы
• Всякая непрерывная функция f  : [0, 1] → R ограничена. В более общем смысле любая непрерывная функция из компактного пространства в метрическое пространство ограничена.
• Все комплекснозначные функции f  : C → C, являющиеся целыми , либо неограничены, либо постоянны как следствие теоремы Лиувилля . В частности, комплекс sin: C → C должен быть неограниченным, поскольку он весь.
• Функция f, которая принимает значение 0 для рационального числа x и 1 для иррационального числа x (см. Функцию Дирихле ) , ограничена. Таким образом, функция не должна быть «хорошей», чтобы быть ограниченной. Набор всех ограниченных функций, определенных на [0, 1], намного больше, чем набор непрерывных функций на этом интервале.

См. Также [ править ]

• Ограниченное множество
• Компактная опора
• Локальная ограниченность
• Равномерная ограниченность