 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( сентябрь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , нигде непрерывная функция , также называется всюду разрывная функция является функцией , которая не является непрерывной в любой точке своей области . Если f является функцией от действительных чисел к действительным числам, то f нигде не является непрерывным, если для каждой точки x существует ε > 0 такое, что для каждого δ > 0 мы можем найти такую точку y , что 0 <| х - у | < δ и | ж( x ) - f ( y ) | ≥ ε . Следовательно, независимо от того, насколько близко мы подходим к любой фиксированной точке, есть еще более близкие точки, в которых функция принимает не-близкие значения.
Более общие определения этого вида функции можно получить, заменив абсолютное значение функцией расстояния в метрическом пространстве или используя определение непрерывности в топологическом пространстве .
Функция Дирихле [ править ]
Одним из примеров такой функции является функцией индикатора из рациональных чисел , также известная как функции Дирихля . Эта функция обозначается как I Q или 1 Q и имеет домен и область значений как равные действительные числа . I Q ( x ) равно 1, если x - рациональное число, и 0, если x нерационально.
В более общем смысле, если E - любое подмножество топологического пространства X такое, что и E, и дополнение к E плотны в X , то вещественнозначная функция, которая принимает значение 1 на E и 0 на дополнении E, не будет нигде непрерывный. Функции этого типа были первоначально исследованы Питером Густавом Леженом Дирихле . [1]
Гиперреальная характеристика [ править ]
Действительная функция f нигде не является непрерывной, если ее естественное гиперреальное расширение обладает тем свойством, что каждый x бесконечно близок к y , так что разность f ( x ) - f ( y ) заметна (т. Е. Не бесконечно мала ).
См. Также [ править ]
- Теорема Блюмберга - даже если вещественная функция f : ℝ → ℝ нигде не является непрерывной, существует плотное подмножество D в ℝ такое, что ограничение f на D непрерывно.
- Функция Тома (также известная как функция попкорна) - функция, которая является непрерывной для всех иррациональных чисел и прерывистой для всех рациональных чисел.
- Функция Вейерштрасса - функция, непрерывная всюду (внутри своей области определения) и нигде не дифференцируемая .
Ссылки [ править ]
- ^ Lejeune Dirichlet, Питер Густав (1829). "Sur la congence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction armitraire entre des limites données" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 4 : 157–169.
Внешние ссылки [ править ]
- "Функция Дирихле" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Функция Дирихле - из MathWorld
- Измененная функция Дирихле, заархивированная 2 мая 2019 г. в Wayback Machine Джорджем Беком, The Wolfram Demonstrations Project .
