Функция Томая в , названной в честь Карла Йоханнес Томая , имеет много названий: в функцию попкорна , то функцию RainDrop , в счетную функции облака , в модифицированной функции Дирихля , то функции правителя , [1] в функцию Римана , или звезда над Вавилоном ( John Horton Конвей ). [2] Это реальная значной функцией действительного переменного может быть определена как: [3]
Поскольку каждое рациональное число имеет уникальное представление с взаимно простым (также называемым относительно простым) а также , функция определена корректно . Обратите внимание, что это единственный номер в это взаимно просто с
Это модификация функции Дирихле , которая равна 1 для рациональных чисел и 0 в других местах.
Характеристики
- Функция Тома является ограниченным и отображает все действительные числа на единицу интервала :
- является периодическим с периодомдля всех целых чисел n и всех действительных x .
Доказательство периодичности |
---|
Для всех у нас также есть и поэтому Для всех существуют а также такой, что а также Рассмотреть возможность . Если разделяет а также , он разделяет а также . Наоборот, если разделяет а также , он разделяет а также . Так, а также . |
Доказательство разрыва в рациональных числах |
---|
Позволять - произвольное рациональное число, причем а также а также coprime. Это устанавливает Позволять - любое иррациональное число и определим для всех Эти все иррациональны, и поэтому для всех Из этого следует а также Позволять , и учитывая позволять Для соответствующих у нас есть
что и есть определение разрыва в . |
- является непрерывным на все иррациональные числа , а также плотном в действительных числах.
Доказательство непрерывности при иррациональных аргументах |
---|
С периодичен с периодом а также достаточно проверить все иррациональные точки в Предположим сейчас а также Согласно архимедову свойству действительных существ, существует с участием и есть такой, что для у нас есть Минимальное расстояние его i -й нижней и верхней границам равно Мы определяем как минимум всего конечного числа
для всех а также То есть все эти рациональные числа находятся за пределами -окрестности Теперь позвольте с уникальным представлением где взаимно просты. Тогда обязательно и поэтому, Точно так же для всех иррациональных и, таким образом, если то любой выбор (достаточно малый) дает Следовательно, непрерывно на |
- это нигде не дифференцируема .
Доказательство того, что невозможно дифференцировать |
---|
|
- имеет строгий локальный максимум при каждом рациональном числе. [ необходима цитата ]
- См. Доказательства непрерывности и прерывности выше для построения соответствующих окрестностей , гдеимеет максимумы.
- является Риман на любом интервале и интегральное принимает значение по любому набору.
- Критерий Лебега интегрируемости состояний, ограниченная функция интегрируема по Риману тогда и только тогда , когда множество всех разрывов имеет меру нуль . [4] Каждое счетное подмножество действительных чисел, таких как рациональные числа, имеет нулевую меру, поэтому приведенное выше обсуждение показывает, что функция Тома интегрируема по Риману на любом интервале. Интеграл функции равен по любому множеству, поскольку функция почти всюду равна нулю .
Связанные распределения вероятностей
Эмпирические распределения вероятностей, связанные с функцией Тома, появляются при секвенировании ДНК . [5] Геном человека диплоидный , с двумя цепями на хромосому. При секвенировании генерируются небольшие фрагменты («чтения»): для каждого участка генома целое число считываний перекрывается с ним. Их соотношение является рациональным числом и обычно распределяется аналогично функции Тома.
Если пары натуральных чисел взяты из дистрибутива и используется для создания соотношений , это приводит к распределению о рациональных числах. Если целые числа независимы, распределение можно рассматривать как свертку по рациональным числам,. Решения в замкнутой форме существуют для степенных распределений с отсечкой. Если (где - функция полилогарифма ), то. В случае равномерного распределения на множестве , что очень похоже на функцию Тома. Оба их графика имеют фрактальную размерность 3/2. [5]
Функция линейки
Для целых чисел показатель наибольшей степени деления 2 дает 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, ... (последовательность A007814 в OEIS ). Если добавляется 1 или удаляются нули, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ... (последовательность A001511 в OEIS ). Значения напоминают деления на линейке с градуировкой 1/16 , отсюда и название. Эти значения соответствуют ограничению функции Тома диадическими рациональными числами : теми рациональными числами, знаменатели которых являются степенями двойки.
Связанные функции
Возникает естественный дополнительный вопрос: существует ли функция, непрерывная на рациональных числах и разрывная на иррациональных числах. Это оказывается невозможным; множество разрывов любой функции должно быть множеством F σ . Если бы такая функция существовала, то иррациональными числами было бы множество F σ . В иррациональности затем счетное объединение из замкнутых множеств , но поскольку иррациональные числа не содержат интервала, ни один из . Таким образом, каждый избыло бы нигде не плотно, и иррациональные числа были бы скудным набором . Из этого следовало бы, что действительные числа, представляющие собой объединение иррациональных и рациональных чисел (что, очевидно, является скудным), также будут скудным набором. Это противоречило бы теореме о категории Бэра : поскольку вещественные числа образуют полное метрическое пространство , они образуют пространство Бэра , которое само по себе не может быть скудным.
Вариант функции Тома может использоваться, чтобы показать, что любое подмножество F σ действительных чисел может быть множеством разрывов функции. Если является счетным объединением замкнутых множеств , определять
Тогда аргумент, аналогичный аргументу для функции Томаэ, показывает, что имеет A в качестве множества разрывов.
Общую конструкцию для произвольного метрического пространства см. В этой статье Kim, Sung Soo. «Характеристика множества точек непрерывности реальной функции». American Mathematical Monthly 106,3 (1999): 258-259.
Смотрите также
- Теорема Блумберга
- Функция Кантора
- Функция Дирихле
- Фруктовый сад Евклида - функцию Тома можно интерпретировать как перспективный рисунок сада Евклида.
- Функция Вольтерры
Заметки
- ^ «… Так называемая функция линейки , простой, но провокационный пример, который появился в работе Иоганнеса Карла Томае… График предлагает вертикальные отметки на линейке - отсюда и название». ( Данхэм 2008 , стр.149, глава 10)
- ^ Джон Конвей. «Тема: Происхождение функции» . Математический форум. Архивировано из оригинального 13 июня 2018 года.
- ^ Бинланд, Roberts & Stevenson 2009 , стр. 531
- Перейти ↑ Spivak 1965 , p. 53, теорема 3-8
- ^ а б Трифонов, Владимир; Паскуалуччи, Лаура; Далла-Фавера, Риккардо; Рабадан, Рауль (2011). «Фрактальные распределения по рациональным числам в высокопроизводительных биологических и клинических данных» . Научные отчеты . 1 (191). DOI : 10.1038 / srep00191 . PMC 3240948 . PMID 22355706 .
Рекомендации
- Эбботт, Стивен (2016), Understanding Analysis (перепечатка в мягкой обложке оригинального 2-го изд.), Нью-Йорк: Springer , ISBN 978-1-4939-5026-3
- Бартл, Роберт Дж .; Шерберт, Дональд Р. (1999), Введение в реальный анализ (3-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-32148-4 (Пример 5.1.6 (h))
- Бинленд, Кевин; Робертс, Джеймс У .; Стивенсон, Крэйг (2009), "Изменения функции Томае и дифференцируемости", Американский Математический Месячный , 116 (6): 531-535, DOI : 10,4169 / 193009709x470425 , JSTOR 40391145
- Данэм, Уильям (2008), Галерея исчисления: шедевры от Ньютона до Лебега (издание в мягкой обложке), Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13626-4
- Спивак, М. (1965), Исчисление на многообразиях , Perseus Books, ISBN 978-0-8053-9021-6
Внешние ссылки
- "Функция Дирихле" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Функция Дирихле» . MathWorld .