Диадический рациональный

Диадические рациональные числа в интервале от 0 до 1.

В математике двоичное рациональное число - это число, которое может быть выражено в виде дроби , знаменатель которой равен степени двойки . Например, 1/2, 3/2 и 3/8 являются диадическими рациональными числами, а 1/3 - нет. Эти числа важны в информатике, потому что только они имеют конечное двоичное представление ; у них также есть применение в измерениях и весах, а также в музыкальных размерах.

Аналогично, когда любое простое число , то р -адические фракции или р -адические рациональных чисел являются рациональное число , что, когда выражается в простых словах, есть знаменатель , который является сила из . То есть это числа вида где и являются целыми числами . Это именно те числа, которые при написании в базе имеют конечное расширение.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a / p ^ {b}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle p}$

Арифметика [ править ]

Сумма , произведение , или разность любых двух двоично рациональных чисел является само другой диадический рационально:

${\ displaystyle {\ frac {a} {2 ^ {b}}} + {\ frac {c} {2 ^ {d}}} = {\ frac {2 ^ {d- \ min (b, d)} a + 2 ^ {b- \ min (b, d)} c} {2 ^ {\ max (b, d)}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {2 ^ {b}}} - {\ frac {c} {2 ^ {d}}} = {\ frac {2 ^ {db} ac} {2 ^ {d} }} \ quad (d \ geq b)}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {2 ^ {b}}} - {\ frac {c} {2 ^ {d}}} = {\ frac {a-2 ^ {bd} c} {2 ^ { б}}} \ quad (d <b)}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {2 ^ {b}}} \ times {\ frac {c} {2 ^ {d}}} = {\ frac {a \ times c} {2 ^ {b + d }}}.}$

Те же формулы, вместо 2, применяются для -адических дробей. Однако результат деления одной двоичной дроби на другую не обязательно является двоичной дробью, а результат деления одной -адической фракции на другую не обязательно является -адической дробью.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

Дополнительные свойства [ править ]

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Клеммное кольцо ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer p -ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Основание - круговое кольцо p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • База - p целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • p -адические рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • База - p вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • p -адические целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -адический соленоид ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

Поскольку они замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, но не деления, p -адические дроби являются кольцом, но не полем . В качестве кольца, то р -адических фракций являются Подкольцом из рациональных чисел Q , и надкольцо из целых чисел Z . Алгебраически это подкольцо является локализацией целых чисел Z относительно множества степеней числа p .

Множество всех p -адических дробей плотно в вещественной прямой : любое действительное число x может быть сколь угодно точно аппроксимировано диадическими рациональными числами вида . По сравнению с другими плотными подмножествами вещественной прямой, такими как рациональные числа, p -адические рациональные числа в некотором смысле являются относительно «небольшим» плотным множеством, поэтому они иногда встречаются в доказательствах. (См., Например , лемму Урысона о диадических рациональных числах.)${\displaystyle \left\lfloor 2^{i}x\right\rfloor /2^{i}}$

В р -адические фракции в точности те числа , имеющие конечные base- р разложения. Их BASE - р разложение не является уникальным; существует одно конечное и одно бесконечное представление каждого p -адического рационального, кроме 0 (без учета конечных нулей). Например, в двоичном ( ) 0,1 ₂  = 0,0111 ... ₂  = 1/4 + 1/8 + 1/16 +… = 1/2. Кроме того, 0,11 ₂  = 0,10111 ... ₂  = 3/4.${\displaystyle p=2}$

Сложение по модулю 1 образует группу; это p-группа Прюфера . (Это то же самое, принимая фактор группу из р -адических рациональных чисел целых чисел.)

Двойная группа [ править ]

Рассмотрение только операций сложения и вычитания p -адических рациональных чисел дает им структуру аддитивной абелевой группы . Двойная группа из группы состоит из ее символов , группы гомоморфизмов в мультипликативную группу комплексных чисел , и в духе двойственности Понтрягина двойной группу добавки р -адических также рациональные числа можно рассматривать как топологическую группу . Он называется p -адическим соленоидом и является примером группы соленоидов и проторуса .

В р -адический являются рациональным прямым пределом из бесконечных циклических подгрупп рациональных чисел,

${\displaystyle \varinjlim \left\{p^{-i}\mathbb {Z} \mid i=0,1,2,\dots \right\}}$

и их двойственная группа может быть построена как обратный предел группы единичного круга при повторяющемся отображении

${\displaystyle \zeta \mapsto \zeta ^{p}.}$

Элемент p -адического соленоида может быть представлен как бесконечная последовательность комплексных чисел q ₀ , q ₁ , q _p , ..., со свойствами, что каждый q _i лежит на единичной окружности и что для всех i  > 0, q _я ^п  знак  равно q _{я - 1} . Групповая операция над этими элементами умножает любые две последовательности покомпонентно. Каждому элементу диадического соленоида соответствует характер p -адических рациональных чисел, который отображает a / p ^b в комплексное число q _b ^a. С другой стороны , каждый символ χ из р -адического Rationals соответствует элементу р -адического соленоида , заданному д _я  =  χ (1 / р ^я ).

Как топологическое пространство p -адический соленоид является соленоидом и неразложимым континуумом . ^[1]

Связанные конструкции [ править ]

В сюрреалистические числа генерируются итерированного принцип строительства , который начинается, генерируя все конечные двоичные дроби, а затем идет на создание новых и странных видов бесконечных, бесконечно малых и других чисел.

Двоичная последовательность Ван дер Корпута представляет собой равнораспределенную перестановку положительных диадических рациональных чисел.

Приложения [ править ]

В метрологии [ править ]

Дюйма принято подразделяются на диадическом , а не десятичной дроби; аналогично, обычное деление галлона на полгаллоны, кварты и пинты является диадическим. Древние египтяне также использовали двоичные дроби для измерения со знаменателем до 64. ^[2]

В музыке [ править ]

Размеры в западной музыкальной нотации традиционно состоят из двоичных дробей (например: 2/2, 4/4, 6/8 ...), хотя недиадические размеры были введены композиторами в двадцатом веке (например: 2 / . , который буквально означает , 2/ ³ / ₈ ). Недиадические размеры называются иррациональными в музыкальной терминологии, но это использование не соответствует иррациональным числам в математике, потому что они по-прежнему состоят из отношений целых чисел. Иррациональные размеры в математическом смысле очень редки, но один пример ( √ 42/1 ) появляется у Конлона Нанкарроу.«S этюдов для фортепиано игрока .

В вычислениях [ править ]

В качестве типа данных, используемого компьютерами, числа с плавающей запятой часто определяются как целые числа, умноженные на положительную или отрицательную степень двойки, и, таким образом, все числа, которые могут быть представлены, например, двоичными типами данных с плавающей запятой IEEE, являются двоичными рациональными числами. То же самое верно для большинства типов данных с фиксированной точкой , которые также неявно используют степень двойки в большинстве случаев.

Топология [ править ]

В общей топологии двоичные дроби можно использовать в доказательстве леммы Урысона , которая обычно считается одной из самых важных теорем в топологии.

См. Также [ править ]

• Полуцелое число , диадическое рациональное число , образованное делением нечетного числа на два.
• p -адическое число , система счисления, которая расширяет p -адические рациональные числа
• Десятичные дроби или 10-адические рациональные числа

Ссылки [ править ]