Сила двух

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны )

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Сила двух» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( июнь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Эта статья, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Июнь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эта статья содержит список разной информации . Пожалуйста, переместите любую соответствующую информацию в другие разделы или статьи. ( Июнь 2018 г. )

( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Визуализация степеней двойки от 1 до 1024 (от 2 ⁰ до 2 ¹⁰ )

Степень двойки - это число в форме $2 n,$ где $n$ - целое число , то есть результат возведения в степень с числом два в качестве основания и целым числом $n$ в качестве показателя степени .

В контексте, где рассматриваются только целые числа, $n$ ограничено неотрицательными значениями ^[1], поэтому мы умножаем 1, 2 и 2 на себя определенное количество раз. ^[2]

Поскольку два является основанием двоичной системы счисления , степени двойки широко используются в информатике . В двоичном формате степень двойки всегда имеет вид 100 ... 000 или 0,00 ... 001, как и степень 10 в десятичной системе.

Информатика [ править ]

Два в степени $n$ , записанное как $2 n$ , - это количество способов, которыми могут быть расположены биты в двоичном слове длины $n$ . Слово, интерпретируемое как целое число без знака , может представлять значения от 0 ( $000 ... 000 2$ ) до $2 n - 1$ ( $111 ... 111 2$ ) включительно. Соответствующие подписанные целые значения могут быть положительными, отрицательными и ноль; см. представление чисел со знаком. В любом случае, число на единицу меньше степени двойки часто является верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие, числа в этой форме часто появляются в компьютерных программах. Например, видеоигра, запущенная в 8-битной системе, может ограничить счет или количество предметов, которые игрок может держать, до 255 - результат использования байта длиной 8 бит для хранения числа, что дает максимальное значение $28 - 1 = 255$ . Например, в оригинальной Legend of Zelda главный герой ограничивался ношением 255 рупий (валюта игры) в любой момент времени, а в видеоигре Pac-Man, как известно, есть экран убийства на уровне 256.

Степень двойки часто используется для измерения памяти компьютера. Байты в настоящее время считается восемь бит (ым октетом , что приводит к возможностям 256 значений (2 ⁸ ). (Термин байтового один раз имел в виде (а в некоторых случаях, по- прежнему означает) а сбор бит , как правило , от 5 до 32 бит, а не только 8-битная единица.) Префикс килограмм в сочетании с байтом может быть и традиционно использовался для обозначения 1024 (2 ¹⁰ ). Однако в целом термин килограмм использовался в Международная система единиц означает 1000 (10 ³ ). Двоичные префиксы стандартизированы, напримеркиби (ки) означает 1024. Почти все регистры процессора имеют размеры, равные степени двойки, 32 или 64, что очень часто.

Степень двойки также встречается в ряде других мест. Для многих дисководов по крайней мере одно из размера сектора, количества секторов на дорожку и количества дорожек на поверхность является степенью двойки. Размер логического блока почти всегда равен степени двойки.

Числа, не являющиеся степенями двойки, встречаются в ряде ситуаций, таких как разрешения видео, но они часто являются суммой или произведением только двух или трех степеней двойки или степеней двойки минус один. Например, $640 = 32 \times 20$ и $480 = 32 \times 15$ . Другими словами, они имеют довольно регулярные битовые шаблоны.

Простые числа Мерсенна и Ферма [ править ]

Простое число , то есть один меньше , чем степень два, называется главным Мерсенны . Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна, потому что оно на 1 меньше 32 (2 ⁵ ). Точно так же простое число (например, 257 ), которое на единицу больше положительной степени двойки, называется простым числом Ферма - показатель степени равен степени двойки. Фракция , которая имеет силу два , как его знаменатель называется двоично - рациональной . Числа, которые могут быть представлены как суммы последовательных положительных целых чисел, называются вежливыми числами ; это именно те числа, которые не являются степенями двойки.

Евклида элементы , Книга IX [ править ]

Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (или, в двоичной системе счисления , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...) важна в теории чисел . Книга IX, Предложение 36 Элементов доказывает, что если сумма первых $n$ членов этой прогрессии является простым числом (и, таким образом, является простым числом Мерсенна, как упомянуто выше), то эта сумма, умноженная на $n-$ й член, является совершенным числом . Например, сумма первых 5 членов ряда 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, что является простым числом. Сумма 31, умноженная на 16 (пятый член в ряду), дает 496, что является идеальным числом.

Книга IX, Предложение 35, доказывает, что в геометрическом ряду, если первый член вычитается из второго и последнего члена в последовательности, тогда как избыток второго относится к первому, так и избыток последнего относится ко всем этим элементам. перед этим. (Это повторение нашей формулы для геометрического ряда сверху.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (которая получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31) , мы видим, что 62 минус 31 равно 31, поскольку 496 минус 31 равно сумме 31, 62, 124, 248. Таким образом, числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 складываются. до 496 и далее все числа, которые делят 496. Ибо предположим, что $p$ делит 496, а его нет среди этих чисел. Предположим, что $p q$ равно $16 \times 31.$ , или 31 относится к $q так же,$ как $p$ равно 16. Теперь $p$ не может делить 16, или это было бы среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Следовательно, 31 не может делить $q$ . А поскольку 31 не делит $q,$ а $q$ измеряет 496, основная теорема арифметики подразумевает, что $q$ должно делить 16 и находиться среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть $q$ равно 4, тогда $p$ должно быть 124, что невозможно, поскольку по предположению $p$ не входит в число 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

Таблица значений [ править ]

(последовательность A000079 в OEIS )

$п$	$2 п$	$п$	$2 п$	$п$	$2 п$	$п$	$2 п$
0	1	16	65 536	32	4 294 967 296	48	281 474 976 710 656
1	2	17	131 072	33	8,589,934,592	49	562 949 953 421 312
2	4	18	262 144	34	17 179 869 184	50	1 125 899 906 842 624
3	8	19	524 288	35 год	34 359 738 368	51	2 251 799 813 685 248
4	16	20	1 048 576	36	68 719 476 736	52	4 503 599 627 370 496
5	32	21 год	2,097,152	37	137 438 953 472	53	9 007 199 254 740 992
6	64	22	4 194 304	38	274 877 906 944	54	18 014 398 509 481 984
7	128	23	8 388 608	39	549 755 813 888	55	36 028 797 018 963 968
8	256	24	16 777 216	40	1 099 511 627 776	56	72 057 594 037 927 936
9	512	25	33 554 432	41 год	2,199,023,255,552	57	144 115 188 075 855 872
10	1,024	26 год	67 108 864	42	4 398 046 511 104	58	288 230 376 151 711 744
11	2 048	27	134 217 728	43 год	8 796 093 022 208	59	576 460 752 303 423 488
12	4096	28 год	268 435 456	44 год	17 592 186 044 416	60	1,152,921,504,606,846,976
13	8192	29	536 870 912	45	35 184 372 088 832	61	2 305 843 009 213 693 952
14	16 384	30	1 073 741 824	46	70 368 744 177 664	62	4 611 686 018 427 387 904
15	32 768	31 год	2 147 483 648	47	140 737 488 355 328	63	9 223 372 036 854 775 808

Начиная с 2 последняя цифра периодична с периодом 4, с циклом 2–4–8–6–, а начиная с 4 последние две цифры периодичны с периодом 20. Эти закономерности обычно верны для любой степени в отношении любая база . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку $2 k$ , а период является мультипликативным порядком 2 по модулю $5 k$ , что составляет $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). ^{[ необходима цитата ]}

Степень 1024 [ править ]

(последовательность A140300 в OEIS )

Первые несколько степеней 2 ¹⁰ немного больше, чем те же самые степени 1000 (10 ³ ):

2 ⁰	знак равно	1	= 1000 ⁰	(Отклонение 0%)
2 ¹⁰	знак равно	1 024	≈ 1000 ¹	(Отклонение 2,4%)
2 ²⁰	знак равно	1 048 576	≈ 1000 ²	(Отклонение 4,9%)
2 ³⁰	знак равно	1 073 741 824	≈ 1000 ³	(Отклонение 7,4%)
2 ⁴⁰	знак равно	1 099 511 627 776	≈ 1000 ⁴	(Отклонение 10,0%)
2 ⁵⁰	знак равно	1 125 899 906 842 624	≈ 1000 ⁵	(Отклонение 12,6%)
2 ⁶⁰	знак равно	1 152 921 504 606 846 976	≈ 1000 ⁶	(Отклонение 15,3%)
2 ⁷⁰	знак равно	1 180 591 620 717 411 303 424	≈ 1000 ⁷	(Отклонение 18,1%)
2 ⁸⁰	знак равно	1 208 925 819 614 629 174 706 176	≈ 1000 ⁸	(Отклонение 20,9%)
2 ⁹⁰	знак равно	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	≈ 1000 ⁹	(Отклонение 23,8%)
2 ¹⁰⁰	знак равно	1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376	≈ 1000 ¹⁰	(Отклонение 26,8%)
2 ¹¹⁰	знак равно	1 298 074 214 633 706 907 132 624 082 305024	≈ 1000 ¹¹	(Отклонение 29,8%)
2 ¹²⁰	знак равно	1 329 227 995 784 915 872 903 807 060 280 344 576	≈ 1000 ¹²	(Отклонение 32,9%)
2 ¹³⁰	знак равно	1 361 129 467 683 753 853 853 498 429 727 072 845 824	≈ 1000 ¹³	(Отклонение 36,1%)
2 ¹⁴⁰	знак равно	1 393 796 574 908 163 946 345 982 392040 522 594 123 776	≈ 1000 ¹⁴	(Отклонение 39,4%)
2 ¹⁵⁰	знак равно	1 427 247 692 705 959 881 058 285 969 449 495 136 382 746 624	≈ 1000 ¹⁵	(Отклонение 42,7%)

Степени двойки, экспонентами которых являются степени двойки [ править ]

Поскольку данные ( в частности , целые числа) и адрес данных хранятся с использованием тех же аппаратных средств, а также данные сохраняются в одном или несколько октетах ( $23$ ), двойной экспонент из двух является общим. Например,

$п$	$2 п$	$2 2 n$ (последовательность A001146 в OEIS )
0	1	2
1	2	4
2	4	16
3	8	256
4	16	65 536
5	32	4 294 967 296
6	64	18, 446, 744, 073, 709, 551, 616 (20 цифр)
7	128	340, 282, 366, 920, 938, 463, 463, 374, 607, 431, 768, 211, 456 (39 цифр)
8	256	115, 792, 089, 237, 316, 195, 423, 570, 985, 008, 687, 907, 853, 269, 984, 665, 640, 564, 039, 457, 584, 007, 913, 129, 639, 936 (78 цифр)
9	512	13, 407, 807, 929, 942, 597, 099, 574, 024, 998, 205, 846, 127, 479, 365, 820, 592, 393, 377, 723, 561, 443, 721, 764, 030, 073, 546, 976, 801, 874, 298, 166, 903, 427 , 690, 031, 858, 186, 486, 050, 853, 753, 882, 811, 946, 569, 946,433, 649, 006, 084, 096 (155 цифр)
10	1,024	179, 769, 313, 486, 231, 590, 772, 930, ..., 304, 835, 356, 329, 624, 224, 137, 216 (309 цифр)
11	2 048	32, 317, 006, 071, 311, 007, 300, 714, 8 ..., 193, 555, 853, 611, 059, 596, 230, 656 (617 цифр)
12	4096	1, 044, 388, 881, 413, 152, 506, 691, 75 ..., 243, 804, 708, 340, 403, 154, 190, 336 (1234 цифры)
13	8192	1, 090, 748, 135, 619, 415, 929, 462, 98 ..., 997, 186, 505, 665, 475, 715, 792, 896 (2467 цифр)
14	16 384	1, 189, 731, 495, 357, 231, 765, 085, 75 ..., 460, 447, 027, 290, 669, 964, 066, 816 (4933 цифры)
15	32 768	1, 415, 461, 031, 044, 954, 789, 001, 55 ..., 541, 122, 668, 104, 633, 712, 377, 856 (9865 цифр)
16	65 536	2, 003, 529, 930, 406, 846, 464, 979, 07 ..., 339, 445, 587, 895, 905, 719, 156, 736 (19729 цифр)
17	131 072	4, 014, 132, 182, 036, 063, 039, 166, 06 ..., 850, 665, 812, 318, 570, 934, 173, 696 (39 457 цифр)
18	262 144	16, 113, 257, 174, 857, 604, 736, 195, 7 ..., 753, 862, 605, 349, 934, 298, 300, 416 (78 914 цифр)

Некоторые из этих чисел представляют собой количество значений, которые можно представить с помощью обычных компьютерных типов данных . Например, 32-битное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять $232$ различных значения, которые могут рассматриваться либо как простые битовые шаблоны, либо чаще интерпретироваться как числа без знака от 0 до $232 - 1$ , или как диапазон чисел со $знаком$ от $-2$ $31$ до $231 - 1$ . Также см. Тетрацию и нижние гипероперации . Дополнительные сведения о представлении чисел со знаком см. В дополнении до двух .

В связи с нимберами эти числа часто называют 2-степенями Ферма .

Числа образуют последовательность иррациональности : для каждой последовательности из положительных целых чисел , то ряд ${\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}}}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$

{\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {2 ^ {i}} x_ {i}}} = {\ frac {1} {2x_ {0} }} + {\ frac {1} {4x_ {1}}} + {\ frac {1} {16x_ {2}}} + \ cdots}

сходится к иррациональному числу . Несмотря на быстрый рост этой последовательности, это самая медленно растущая из известных последовательностей иррациональности. ^[3]

Избранные степени двойки [ править ]

2 ⁸ = 256: Количество значений, представленных 8 битами в байте , более конкретно называемое октетом . (Термин « байт» часто определяется как совокупность битов, а не как строгое определение 8-битной величины, что демонстрируется термином килобайт .)
2 ¹⁰ = 1024: Двоичное приближение килограмма , или множителя 1000, которое вызывает изменение префикса. Например: 1024 байта = 1 килобайт (или кибибайт ).
2 ¹² = 4096: Размер аппаратной страницы процессора, совместимого с Intel x86 .
2 ¹⁵ = 32 768: Количество неотрицательных значений для подписанного 16-разрядного целого числа.
2 ¹⁶ = 65 536: Количество различных значений, представленных одним словом на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 . ^[4]; Максимальный диапазон коротких целочисленных переменных в языках программирования C # и Java . Максимальный диапазон переменной Word или Smallint в языке программирования Pascal .; Количество бинарных отношений в наборе из 4 элементов.
2 ²⁰ = 1 048 576: Двоичное приближение мега- или 1 000 000 множителей, вызывающее изменение префикса. Например: 1 048 576 байт = 1 мегабайт (или мибибайт ).
2 ²⁴ = 16 777 216: Количество уникальных цветов, которые могут отображаться в истинном цвете , который используется обычными компьютерными мониторами .; Это число является результатом использования трехканальной системы RGB с 8 битами для каждого канала или 24 битами всего.; Размер наибольшего беззнакового целого числа или адреса в компьютерах с 24-битными регистрами или шинами данных.
2 ²⁹ = 536 870 912: Наибольшая степень двойки с различными цифрами в базе десять. ^[5]
2 ³⁰ = 1 073 741 824: Двоичное приближение к гига- или 1 000 000 000 множителю, которое вызывает изменение префикса. Например, 1 073 741 824 байта = 1 гигабайт (или гибибайт ).
2 ³¹ = 2 147 483 648: Количество неотрицательных значений для подписанного 32-разрядного целого числа. Поскольку с 1 января 1970 года время Unix измеряется в секундах, оно закончится в 2147483647 секундах или 03:14:07 UTC во вторник, 19 января 2038 года, на 32-битных компьютерах под управлением Unix, проблема, известная как проблема 2038 года .
2 ³² = 4 294 967 296: Количество различных значений, представленных одним словом на 32-битном процессоре. ^[6] Или количество значений, представленных в двойном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 . ^[4]; Диапазон intпеременной в языках программирования Java и C # .; Диапазон значений переменной Cardinalили Integerв языке программирования Паскаль .; Минимальный диапазон длинных целочисленных переменных в языках программирования C и C ++ .; Общее количество IP-адресов в IPv4 . Хотя это, на первый взгляд, большое число, исчерпание адресов IPv4 неизбежно.; Количество бинарных операций с доменом равно любому набору из 4 элементов, например GF (4).
2 ⁴⁰ = 1 099 511 627 776: Двоичное приближение тера- , или 1 000 000 000 000 множителей, вызывающее изменение префикса. Например, 1 099 511 627 776 байт = 1 терабайт (или тебибайт ).
2 ⁵⁰ = 1 125 899 906 842 624: Двоичное приближение пета , или множителя 1 000 000 000 000 000. 1,125,899,906,842,624 байта = 1 петабайт (или пебибайт ).
2 ⁵³ = 9 007 199 254 740 992: Число, до которого все целочисленные значения могут быть точно представлены в формате IEEE с плавающей запятой двойной точности .
2 ⁵⁶ = 72 057 594 037 927 936: Количество различных возможных ключей в устаревшем 56-битном симметричном шифре DES .
2 ⁶⁰ = 1,152,921,504,606,846,976: Двоичное приближение exa- , или множитель 1,000,000,000,000,000,000. 1,152,921,504,606,846,976 байт = 1 эксабайт (или эксбибайт ).
2 ⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808: Количество неотрицательных значений для подписано 64-разрядное целое число.
2 ⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616: Количество различных значений, представленных одним словом на 64-битном процессоре. Или количество значений, представленных в двойном слове на 32-битном процессоре. Или количество значений, представленных в квадрослове на 16-разрядном процессоре, таком как исходные процессоры x86 . ^[4]; Диапазон длинной переменной в языках программирования Java и C # .; Диапазон переменной Int64 или QWord в языке программирования Pascal .; Общее количество IPv6-адресов, обычно предоставляемых одной локальной сети или подсети.; На единицу больше, чем количество рисовых зерен на шахматной доске, согласно старой истории , где первая клетка содержит одно рисовое зерно, а каждая последующая клетка вдвое больше, чем предыдущая. По этой причине число 2 ⁶⁴ - 1 известно как «шахматное число».; 2 ⁶⁴ - 1 - это также количество ходов, необходимых для завершения легендарной 64-дисковой версии Ханойской башни .
2 ⁶⁸ = 295 147 905 179 352 825 856: Первая степень двойки, содержащая все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS )
2 ⁷⁰ = 1,180,591,620,717,411,303,424: Двоичное приближение дзетта- , или множитель 1,000,000,000,000,000,000,000. 1,180,591,620,717,411,303,424 байта = 1 зеттабайт (или зебибайт ).
2 ⁸⁰ = 1,208,925,819,614,629,174,706,176: Двоичное приближение йотта- , или множителя 1,000,000,000,000,000,000,000,000. 1,208,925,819,614,629,174,706,176 байт = 1 йоттабайт (или йобибайт ).
2 ⁸⁶ = 77 371 252 455 336 267 181 195 264: Предполагается, что 2 ⁸⁶ является наибольшей степенью двойки, не содержащей десятичного нуля. ^[7]
2 ⁹⁶ = 79 228 162 514 264 337 593 543 950 336: Общее количество IPv6-адресов, обычно передаваемых в локальный Интернет-реестр . В нотации CIDR интернет-провайдерам дается / 32 , что означает, что для адресов доступно 128-32 = 96 бит (в отличие от обозначения сети). Таким образом, 2 ⁹⁶ адресов.
2 ¹⁰⁸ = 324 518 553 658 426 726 783 156 020 576 256: Наибольшая известная степень двойки, не содержащая десятичной дроби. (последовательность A035064 в OEIS )
2 ¹²⁶ = 85 070 591 730 234 615 865 843 651 857 942 052 864: Наибольшая известная степень двойки, не содержащая пары последовательных одинаковых цифр. (последовательность A050723 в OEIS )
2 ¹²⁸ = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456: Общее количество IP-адресов, доступных в IPv6 . Также количество различных универсально уникальных идентификаторов (UUID) .
2 ¹⁶⁸ = 374 144 419 156 711 147 060 143 317 175 368 453 031 918 731 001 856: Наибольшая известная степень двойки, не содержащая всех десятичных цифр (цифра 2 в этом случае отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS )
2 ¹⁹² = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896: Общее количество различных возможных ключей в 192-битном пространстве ключей AES (симметричный шифр).
2 ²²⁹ = 862,718,293,348,820,473,429,344,482,784,628,181,556,388,621,521,298,319,395,315,527,974,912: 2 ²²⁹ - это наибольшая известная степень двойки, содержащая наименьшее количество нулей относительно его степени. Метин Сарияр высказал предположение, что каждая цифра от 0 до 9 склонна появляться равное количество раз в десятичном разложении степени двойки по мере увеличения степени. (последовательность A330024 в OEIS )
2 ²⁵⁶ = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936: Общее количество различных возможных ключей в 256-битном пространстве ключей AES (симметричный шифр).
2 ³³³ = 17,498,005,798,264,095,394,980,017,816,940,970,922,825,355,447,145,699,491,406,164,851,279,623,993,595,007,385,788,105,416,184,430,592: Наименьшая степень 2 больше, чем гугол (10 ¹⁰⁰ ).
2 ¹⁰²⁴ = 179,769,313,486,231,590,772,931, ..., 304,835,356,329,624,224,137,216: Максимальное число, которое может поместиться в формате с плавающей запятой двойной точности IEEE , и, следовательно, максимальное число, которое может быть представлено многими программами, например Microsoft Excel .
2 ^82,589,933 - 1 = 148,894,445,742,041, ..., 210,325,217,902,591: Самое большое известное простое число по состоянию на декабрь 2018 года ^{[Обновить]}. В нем более 24 миллионов цифр. ^[8]

Другие свойства [ править ]

Сумма степеней двойки до заданной положительной целой степени на 1 меньше следующей степени двойки.

Сумма всех $n$ -выбранных биномиальных коэффициентов равна $2 n$ . Рассмотрим набор всех $n-$ значных двоичных целых чисел. Его мощность составляет $2 л$ . Это также суммы мощностей определенных подмножеств: подмножество целых чисел без единиц (состоящее из одного числа, записанного как $n$ 0), подмножество с одной единицей, подмножество с двумя единицами и т. Д. До подмножество с $n$ единицами (состоящее из числа, записанного как $n$ 1). Каждый из них, в свою очередь, равен биномиальному коэффициенту, индексированному $n$ и количество учитываемых единиц (например, есть двоичные числа из 10 вариантов выбора 3 с десятью цифрами, которые включают ровно три единицы).

В настоящее время единственные известные почти идеальные числа - это степени двойки .

Число вершин в качестве $п$ - мерного гиперкуба является $2 п$ . Аналогично, количество $(n - 1)$ -граний $n-$ мерного кросс-многогранника также равно $2 n,$ и формула для количества $x-$ граней, которые имеет $n$ -мерный кросс-многогранник, имеет следующий вид: ${\ displaystyle 2 ^ {x} {\ tbinom {n} {x}}.}$

Сумма обратных степеней двойки является 1 . Сумма обратных квадратов степеней двойки составляет 1/3.

Наименьшая естественная степень двойки, десятичное представление которой начинается с 7, равна ^[9]

{\ Displaystyle 2 ^ {46} = 70 \ 368 \ 744 \ 177 \ 664.}

Каждую степень двойки (исключая 1) можно записать как сумму четырех квадратных чисел 24 способами . Степени двойки - это натуральные числа больше 1, которые можно записать как сумму четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.

См. Также [ править ]

2048 (видеоигра)
Двоичное число
Геометрическая прогрессия
Последовательность Гулда
Песня Inchworm
Целочисленный двоичный логарифм
Octave (электроника)
Степень 10
Сила трех
Последовательность без суммирования

Ссылки [ править ]

^ Липшуц, Seymour (1982). Очерк теории и проблем фундаментальной компьютерной математики Шаума . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 3. ISBN 0-07-037990-4.
^ Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 78 . ISBN 0-19-851494-8.
^ Гай, Ричард К. (2004), "E24 Irradality последовательностей", Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , p. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058,11001 , архивируются с оригинала на 2016-04-28
^ a b c Хотя они различаются по размеру слова, все процессоры x86 используют термин «слово» для обозначения 16 бит; таким образом, 32-разрядный процессор x86 называет свой родной размер слова двойным словом.
^ Prime Curios !: 536870912 " Архивная копия" . Архивировано 5 сентября 2017 года . Проверено 5 сентября 2017 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
^ "Степени 2 Таблицы - - - - - - Резюме Вона" . www.vaughns-1-pagers.com . Архивировано из оригинального 12 августа 2015 года.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Ноль". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. «Архивная копия» . Архивировано 01.06.2013 . Проверено 29 мая 2013 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
^ "Мерсенн Прайм Дискавери - 2 ^ 82589933-1 это Прайм!" . www.mersenne.org .
^ Стшелецкий (1994). «O potęgach dwójki (О степени двойки)» (на польском языке). Дельта. Архивировано 9 мая 2016 года.

[1] Липшуц, Seymour (1982). Очерк теории и проблем фундаментальной компьютерной математики Шаума . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 3. ISBN 0-07-037990-4.

[2] Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 78 . ISBN 0-19-851494-8.

[3] Гай, Ричард К. (2004), "E24 Irradality последовательностей", Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , p. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058,11001 , архивируются с оригинала на 2016-04-28

[iword-4] Хотя они различаются по размеру слова, все процессоры x86 используют термин «слово» для обозначения 16 бит; таким образом, 32-разрядный процессор x86 называет свой родной размер слова двойным словом.

[5] Prime Curios !: 536870912 " Архивная копия" . Архивировано 5 сентября 2017 года . Проверено 5 сентября 2017 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )

[6] "Степени 2 Таблицы - - - - - - Резюме Вона" . www.vaughns-1-pagers.com . Архивировано из оригинального 12 августа 2015 года.

[7] Вайсштейн, Эрик В. "Ноль". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. «Архивная копия» . Архивировано 01.06.2013 . Проверено 29 мая 2013 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )

[8] "Мерсенн Прайм Дискавери - 2 ^ 82589933-1 это Прайм!" . www.mersenne.org .

[o_potegach_dwojki-9] Стшелецкий (1994). «O potęgach dwójki (О степени двойки)» (на польском языке). Дельта. Архивировано 9 мая 2016 года.

[1],