Сила закона

Пример степенного графика, демонстрирующего рейтинг популярности. Справа - длинный хвост , а слева - несколько доминирующих (также известное как правило 80–20 ).

В статистике , А степенной закон является функциональной зависимостью между двумя величинами, когда относительное изменение в одном приводят количества в пропорциональном относительном изменении в другом количестве, не зависят от начального размера этих величин: одна величины изменяется как мощность другого. Например, если рассматривать площадь квадрата с точки зрения длины его стороны, если длина увеличивается вдвое, площадь умножается в четыре раза. ^[1]

Эмпирические примеры [ править ]

Распределение большого количества разнообразных физических, биологических и антропогенных явлений приблизительно следует степенному закону в широком диапазоне величин: они включают размеры кратеров на Луне и солнечных вспышек , ^[2] характер кормодобывания различных видов, ^[3] размеров моделей активности популяций нейронов, ^[4] частоты слов в большинстве языков, частот фамилий , богатства видов в кладах организмов, ^[5] размеров перебоев в подаче электроэнергии , уголовных обвинений за осужденный, извержения вулканов, ^[6]человеческие суждения об интенсивности стимула ^{[7] [8]} и многих других величинах. ^[9] Некоторые эмпирические распределения соответствуют степенному закону для всех своих значений, а скорее подчиняются степенному закону в хвосте. Акустическое затухание подчиняется степенным законам частоты в широких полосах частот для многих сложных сред. Законы аллометрического масштабирования для отношений между биологическими переменными являются одними из самых известных степенных функций в природе.

Свойства [ править ]

Масштабная инвариантность [ править ]

Одним из атрибутов степенных законов является их масштабная инвариантность . Для данного отношения масштабирование аргумента с помощью постоянного коэффициента вызывает только пропорциональное масштабирование самой функции. Это,${\displaystyle f(x)=ax^{-k}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!}$

где означает прямую пропорциональность . То есть масштабирование на константу просто умножает исходное степенное отношение на константу . Таким образом, следует, что все степенные законы с определенным показателем масштабирования эквивалентны с точностью до постоянных множителей, поскольку каждый является просто масштабированной версией других. Такое поведение создает линейную зависимость, когда логарифмируются оба значения и , а прямая линия на графике логарифмически часто называется сигнатурой.${\displaystyle \propto }$${\displaystyle c}$${\displaystyle c^{-k}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$степенного закона. Для реальных данных такая прямолинейность является необходимым, но не достаточным условием для данных, подчиняющихся степенной зависимости. Фактически, есть много способов генерировать конечные объемы данных, которые имитируют это поведение сигнатуры, но в их асимптотическом пределе не являются истинными степенными законами (например, если процесс генерации некоторых данных следует логнормальному распределению ). ^{[ необходима цитата ]} Таким образом, точное соответствие и проверка моделей степенного закона является активной областью исследований в статистике; см. ниже.

Отсутствие четко определенного среднего значения [ править ]

Степенной имеет четко определенные среднее течение , только если и имеет конечную дисперсию только тогда ; Большинство выявленных степенных законов в природе имеют такие экспоненты, что среднее значение четко определено, а дисперсия - нет, что означает, что они способны к поведению черного лебедя . ^[2] Это можно увидеть в следующем мысленном эксперименте: ^[10] представьте себе комнату с друзьями и оцените средний ежемесячный доход в этой комнате. А теперь представьте, что в комнату входит самый богатый человек в мире с ежемесячным доходом около 1 миллиарда долларов США. Что происходит со средним доходом в комнате? Доход распределяется согласно степенному закону, известному как${\displaystyle x^{-k}}$${\displaystyle x\in [1,\infty )}$${\displaystyle k>2}$${\displaystyle k>3}$Распределение Парето (например, чистая стоимость активов американцев распределяется по степенному закону с показателем 2).

С одной стороны, это делает неправильным применение традиционной статистики, основанной на дисперсии и стандартном отклонении (например, регрессионного анализа ). ^{[ необходима цитата ]} С другой стороны, это также позволяет проводить рентабельные вмешательства. ^[10] Например, учитывая, что выхлопные газы распределяются между автомобилями по степенному закону (очень мало автомобилей вносят наибольший вклад в загрязнение), будет достаточно убрать эти очень немногие автомобили с дороги, чтобы существенно снизить общий выхлоп. ^[11]

Однако медиана существует: для степенного закона x ^{- k} с показателем степени она принимает значение 2 ^{1 / ( k - 1)} x _min , где x _min - минимальное значение, для которого выполняется степенной закон. ^[12]${\displaystyle k>1}$

Универсальность [ править ]

Эквивалентность степенных законов с конкретным масштабным показателем может иметь более глубокое происхождение в динамических процессах, которые порождают степенное отношение. В физике, например, фазовые переходы в термодинамических системах связаны с возникновением степенных распределений некоторых величин, показатели которых называются критическими показателями системы. С помощью теории ренормгруппы можно показать, что различные системы с одинаковыми критическими показателями, то есть демонстрирующие идентичное масштабное поведение по мере приближения к критичности , обладают одной и той же фундаментальной динамикой. Например, поведение воды и CO ₂при их точках кипения попадают в один и тот же класс универсальности, поскольку имеют одинаковые критические показатели. ^{[ необходима цитата ] [ требуется разъяснение ]} Фактически, почти все материальные фазовые переходы описываются небольшим набором классов универсальности. Подобные наблюдения, хотя и не столь исчерпывающие, были сделаны для различных самоорганизующихся критических систем, в которых критическая точка системы является аттрактором . Формально такая совместная динамика называется универсальностью , и системы с точно такими же критическими показателями считаются принадлежащими к одному и тому же классу универсальности .

Функции степенного закона [ править ]

Научный интерес к степенным отношениям частично проистекает из легкости, с которой определенные общие классы механизмов порождают их. ^[13] Демонстрация степенной зависимости в некоторых данных может указывать на определенные виды механизмов, которые могут лежать в основе рассматриваемого природного явления, и может указывать на глубокую связь с другими, казалось бы, несвязанными системами; ^[14] см. Также универсальность выше. Повсеместное распространение степенных отношений в физике частично связано с размерными ограничениями , в то время как в сложных системах степенные законы часто считаются признаками иерархии или определенных случайных процессов . Несколько ярких примеров степенных законов - закон Парето.распределения доходов, структурного самоподобия фракталов и законов масштабирования в биологических системах . Исследование истоков степенных отношений и попытки их наблюдения и подтверждения в реальном мире являются активной темой исследований во многих областях науки, включая физику , информатику , лингвистику , геофизику , нейробиологию , систематику , социологию и т. Д. экономика и многое другое.

Однако значительная часть недавнего интереса к степенным законам проистекает из изучения вероятностных распределений : распределения самых разнообразных величин, кажется, следуют форме степенного закона, по крайней мере, в их верхнем хвосте (большие события). Поведение этих крупных событий связывает эти величины с изучением теории больших отклонений (также называемой теорией экстремальных значений ), которая рассматривает частоту чрезвычайно редких событий, таких как крах фондового рынка и крупные стихийные бедствия . В первую очередь при изучении статистических распределений используется название «степенной закон».

В эмпирическом контексте приближение к степенному закону часто включает член отклонения , который может представлять неопределенность наблюдаемых значений (возможно, ошибки измерения или выборки) или обеспечивать простой способ отклонения наблюдений от степенной функции (возможно, для стохастические причины):${\displaystyle o(x^{k})}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle y=ax^{k}+\varepsilon .\!}$

Математически строгий закон власти не может быть распределением вероятностей, но распределение, является усеченной степенной функция можно: для где показателя (греческая буква альфа , не следует путать с коэффициентом масштабирования , используемым выше) больше 1 ( в противном случае tail имеет бесконечную площадь), необходимо минимальное значение, иначе распределение будет иметь бесконечную площадь, когда x приближается к 0, а константа C является коэффициентом масштабирования, чтобы гарантировать, что общая площадь равна 1, как требуется распределением вероятностей. Чаще используется асимптотический степенной закон - закон, истинный только в пределе; см. степенные распределения вероятностей${\displaystyle p(x)=Cx^{-\alpha }}$${\displaystyle x>x_{\text{min}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle a}$${\displaystyle x_{\text{min}}}$подробности ниже. Обычно показатель степени попадает в диапазон , но не всегда. ^[9]${\displaystyle 2<\alpha <3}$

Примеры [ править ]

Более сотни степенных распределений были определены в физике (например, песчаные лавины), биологии (например, вымирание видов и масса тела) и социальных науках (например, размеры городов и доход). ^[15] Среди них:

Астрономия [ править ]

• Третий закон Кеплера
• Начальная функция масс звезд
• Дифференциальный энергетический спектр ядер космических лучей
• Отношение M-сигма

Криминология [ править ]

• количество обвинений на одного преступника ^[16]

Физика [ править ]

• Показатель Ангстрема в аэрозольной оптике
• Частотная зависимость акустического затухания в сложных средах
• Психофизический степенной закон Стивенса
• Закон Стефана – Больцмана.
• Кривые входного напряжения и выходного тока полевых транзисторов и электронных ламп аппроксимируют квадратичную зависимость, что является фактором « лампового звука ».
• Закон квадрата-куба (отношение площади поверхности к объему)
• Закон 3/2-сила может быть найдена в пластинчатых характеристических кривых на триодах .
• В обратных квадратов законов о ньютоновской гравитации и электростатике , о чем свидетельствует гравитационный потенциал и электростатический потенциал соответственно.
• Самоорганизованная критичность с критической точкой в качестве аттрактора
• Модель силы Ван-дер-Ваальса
• Сила и потенциал в простом гармоническом движении
• Гамма-коррекция, связывающая интенсивность света с напряжением
• Поведение вблизи фазовых переходов второго рода с участием критических показателей
• Область безопасной работы , связанная с максимальным одновременным током и напряжением в силовых полупроводниковых приборах.
• Сверхкритическое состояние вещества и сверхкритических жидкостей , например сверхкритические показатели теплоемкости и вязкости . ^[17]
• Закон Кюри-фон Швайдлера в диэлектрических реакциях на входное ступенчатое напряжение постоянного тока.
• Зависимость демпфирующей силы от скорости в расчете антисейсмических демпферов
• Свернутые экспонированные растворителем участки поверхности центрированных аминокислот в сегментах белковой структуры ^[18]

Биология [ править ]

• Закон Клейбера, связывающий метаболизм животных с размером и аллометрические законы в целом
• Степенный закон двух третей, связывающий скорость с кривизной в двигательной системе человека . ^[19]
• Закон Тейлора, связывающий средний размер популяции и дисперсию размеров популяций в экологии
• Нейрональные лавины ^[4]
• Видовое богатство (количество видов) клад пресноводных рыб ^[20]
• Эффект Харлоу-Кнаппа, при котором подмножество киназ, обнаруженных в организме человека, составляет большинство опубликованных исследований ^[21]

Метеорология [ править ]

• Размер ячеек дождевого ливня, ^[22] рассеивание энергии в циклонах ^[23] и диаметры пылевых дьяволов на Земле и Марсе ^[24]

Общая наука [ править ]

• Экспоненциальный рост и случайное наблюдение (или убийство) ^[25]
• Прогресс за счет экспоненциального роста и экспоненциального распространения инноваций ^[26]
• Оптимизированный допуск
• Предлагаемая форма эффектов кривой опыта
• Розовый шум
• Закон количества ручьев и закон длины ручья ( законы Хортона , описывающие речные системы) ^[27]
• Население городов ( закон Гибрата ) ^{[ необходима цитата ]}
• Библиограммы и частоты встречаемости слов в тексте ( закон Ципфа ) ^[28]
• Принцип 90–9–1 на вики (также называемый правилом 1% ) ^{[29] [30]}
• Закон Ричардсона о жестокости конфликтов (войны и терроризм) ^{[31] [32]}
• Взаимосвязь между размером кэша ЦП и количеством промахов кэша следует степенному закону промахов кэша .
• Спектральная плотность весовых матриц глубоких нейронных сетей ^[33]

Математика [ править ]

• Фракталы
• Распределение Парето и принцип Парето также называется «80-20»
• Закон Ципфа в анализе корпуса и распределении населения среди прочего, где частота элемента или события обратно пропорциональна его частотному рангу (т.е. второй по частоте элемент / событие происходит вдвое реже, чем самый частый элемент, третий по частоте элемент / событие происходит в три раза чаще, чем наиболее частый элемент, и так далее).
• Дзета-распределение (дискретное)
• Распределение Юла – Саймона (дискретное)
• T-распределение Стьюдента (непрерывное), частным случаем которого является распределение Коши
• Закон Лотки
• Безмасштабная сетевая модель

Экономика [ править ]

• Размер населения городов в регионе или городской сети, закон Ципфа .

• Распределение художников по средней цене их работ. ^[34]

• Распределение доходов в рыночной экономике.

• Распределение ученых степеней в банковских сетях.

Финансы [ править ]

• Среднее абсолютное изменение логарифмической средней цены ^[35]
• Количество отсчетов тиков с течением времени
• Размер максимального ценового движения
• Среднее время ожидания смены направления ^[36]
• Среднее время ожидания выброса

Варианты [ править ]

Нарушенный степенной закон [ править ]

Нарушенный степенной закон - это кусочная функция , состоящая из двух или более степенных законов в сочетании с порогом. Например, с двумя степенными законами: ^[37]

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha _{1}}}$ для ${\displaystyle x<x_{\text{th}},}$

${\displaystyle f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}}$.

Степенный закон с экспоненциальным обрезанием [ править ]

Степенный закон с экспоненциальным отсечением - это просто степенной закон, умноженный на экспоненциальную функцию: ^[38]

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha }e^{\beta x}.}$

Изогнутый степенной закон [ править ]

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha +\beta x}}$^[39]

Распределения вероятностей по степенному закону [ править ]

В некотором смысле слабее, степенное распределение вероятностей является распределением, функция плотности (или функция масс в дискретном случае) имеет вид, при больших значениях , ^[40]${\displaystyle x}$

${\displaystyle P(X>x)\sim L(x)x^{-(\alpha -1)}}$

где , и - медленно меняющаяся функция , которая является любой функцией, удовлетворяющей любому положительному множителю . Это свойство непосредственно следует из требования асимптотической масштабной инвариантности; таким образом, форма управляет только формой и конечной протяженностью нижнего хвоста. Например, если - постоянная функция, то у нас есть степенной закон, который выполняется для всех значений . Во многих случаях удобно предполагать нижнюю границу, из которой выполняется закон. Комбинируя эти два случая, и где - непрерывная переменная, степенной закон имеет вид${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\mathrm {min} }}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha },}$

где предварительный фактор - нормирующая постоянная . Теперь мы можем рассмотреть несколько свойств этого распределения. Например, его моменты даются${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$

${\displaystyle \langle x^{m}\rangle =\int _{x_{\min }}^{\infty }x^{m}p(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\alpha -1}{\alpha -1-m}}x_{\min }^{m}}$

который хорошо определен только для . То есть все моменты расходятся: когда , среднее значение и все моменты более высокого порядка бесконечны; когда среднее значение существует, но дисперсия и моменты более высокого порядка бесконечны и т. д. Для выборок конечного размера, взятых из такого распределения, такое поведение подразумевает, что оценки центрального момента (такие как среднее и дисперсия) для расходящихся моментов никогда не будут сходятся - по мере накопления данных они продолжают расти. Эти степенные распределения вероятностей также называются распределениями типа Парето , распределениями с хвостами Парето или распределениями с правильно меняющимися хвостами.${\displaystyle m<\alpha -1}$${\displaystyle m\geq \alpha -1}$${\displaystyle \alpha \leq 2}$${\displaystyle 2<\alpha <3}$

Модификация, которая не удовлетворяет приведенному выше общему виду, с экспоненциальным обрезанием, ^[9] - это

${\displaystyle p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}.}$

В этом распределении член экспоненциального затухания в конечном итоге превосходит степенное поведение при очень больших значениях . Это распределение не масштабируется и, следовательно, не является асимптотическим как степенной закон; тем не менее, он приближенно масштабируется по конечной области до обрезания. Приведенная выше чистая форма является подмножеством этого семейства с . Это распределение является общей альтернативой асимптотическому степенному распределению, поскольку оно естественным образом учитывает эффекты конечного размера.${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\lambda x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda =0}$

Распределения Твиди - это семейство статистических моделей, характеризующихся замыканием при аддитивной и репродуктивной свертке, а также при масштабном преобразовании. Следовательно, все эти модели выражают степенную зависимость между дисперсией и средним значением. Эти модели играют фундаментальную роль в качестве фокусов математической сходимости, подобно той роли, которую нормальное распределение играет в центральной предельной теореме . Этот эффект сходимости объясняет, почему степенной закон дисперсии к среднему так широко проявляется в естественных процессах, например, в законе Тейлора в экологии и при масштабировании флуктуаций ^[41]в физике. Также можно показать, что этот степенной закон дисперсии к среднему, продемонстрированный методом расширения интервалов , подразумевает наличие шума 1 / f и что шум 1 / f может возникать как следствие этого эффекта сходимости Твиди . ^[42]

Графические методы идентификации [ править ]

Хотя были предложены более сложные и надежные методы, наиболее часто используемые графические методы определения степенных распределений вероятностей с использованием случайных выборок - это графики квантилей Парето (или графики Q – Q Парето ), ^{[ цитата необходима ]} графики среднего остаточного срока службы ^{[ 43] [44]} и логарифмические графики . Другой, более надежный графический метод использует связки остаточных функций квантилей. ^[45](Имейте в виду, что степенные распределения также называются распределениями типа Парето.) Здесь предполагается, что случайная выборка получается из распределения вероятностей, и мы хотим знать, следует ли хвост распределения степенному закону (другими словами, мы хотим знать, есть ли у распределения «хвост Парето»). Здесь случайная выборка называется «данными».

Графики Парето Q – Q сравнивают квантили логарифмически преобразованных данных с соответствующими квантилями экспоненциального распределения со средним значением 1 (или с квантилями стандартного распределения Парето) путем построения графика первого по сравнению со вторым. Если полученная диаграмма рассеяния предполагает, что нанесенные на график точки «асимптотически сходятся» к прямой линии, то следует подозревать степенное распределение. Ограничением графиков Парето Q – Q является то, что они плохо себя ведут, когда индекс хвоста (также называемый индексом Парето) близок к 0, потому что графики Парето Q – Q не предназначены для идентификации распределений с медленно меняющимися хвостами. ^[45]${\displaystyle \alpha }$

С другой стороны, в своей версии для определения степенных распределений вероятностей график среднего остаточного ресурса состоит из сначала логарифмического преобразования данных, а затем построения среднего значения тех логарифмически преобразованных данных, которые выше, чем i-й порядок. статистика по сравнению со статистикой i-го порядка для i  = 1, ...,  n , где n - размер случайной выборки. Если полученная диаграмма рассеяния предполагает, что нанесенные на график точки имеют тенденцию «стабилизироваться» относительно горизонтальной прямой линии, то следует подозревать степенное распределение. Поскольку график среднего остаточного ресурса очень чувствителен к выбросам (он не является надежным), он обычно дает графики, которые трудно интерпретировать; по этой причине такие сюжеты обычно называют сюжетами ужасов холмов.^[46]

Логарифмические графики - это альтернативный способ графического исследования хвоста распределения с использованием случайной выборки. Однако следует проявлять осторожность, поскольку график логарифмически необходим, но недостаточное доказательство наличия степенной зависимости, так как многие распределения, не являющиеся степенными, будут отображаться в виде прямых линий на графике логарифмически. ^{[47] [48]}Этот метод состоит из построения графика логарифма оценки вероятности того, что определенное число распределения встречается в зависимости от логарифма этого конкретного числа. Обычно эта оценка представляет собой долю раз, когда число встречается в наборе данных. Если точки на графике имеют тенденцию «сходиться» к прямой линии для больших чисел по оси x, то исследователь приходит к выводу, что распределение имеет степенной хвост. Опубликованы примеры использования этих типов сюжетов. ^[49] Недостатком этих графиков является то, что для получения надежных результатов они требуют огромных объемов данных. Кроме того, они подходят только для дискретных (или сгруппированных) данных.

Предложен другой графический метод идентификации степенных распределений вероятностей с использованием случайных выборок. ^[45] Эта методология состоит из построения пакета для логарифмически преобразованной выборки . Первоначально предложенная в качестве инструмента для исследования существования моментов и функции генерации моментов с использованием случайных выборок, методология связок основана на функциях квантилей невязки (RQF), также называемых функциями процентилей невязки, ^{[50] [51] [52] [53 ] ] [54] [55] [56]}которые обеспечивают полную характеристику поведения хвостов многих хорошо известных распределений вероятностей, включая степенные распределения, распределения с другими типами тяжелых хвостов и даже распределения с не тяжелыми хвостами. Групповые диаграммы не имеют недостатков диаграмм Парето Q – Q, диаграмм среднего остаточного ресурса и диаграмм логарифмического анализа, упомянутых выше (они устойчивы к выбросам, позволяют визуально идентифицировать степенные законы с небольшими значениями и не требуют сбора большого количества данных). данные). ^{[ необходима цитата ]} Кроме того, другие типы поведения хвоста могут быть идентифицированы с помощью связных графиков.${\displaystyle \alpha }$

Построение степенных распределений [ править ]

Как правило, степенные распределения наносятся на дважды логарифмические оси , что подчеркивает верхнюю часть хвоста. Самый удобный способ сделать это через (комплементарный) кумулятивное распределение (CCDF) то есть, функция выживания , ,${\displaystyle P(x)=\mathrm {Pr} (X>x)}$

${\displaystyle P(x)=\Pr(X>x)=C\int _{x}^{\infty }p(X)\,\mathrm {d} X={\frac {\alpha -1}{x_{\min }^{-\alpha +1}}}\int _{x}^{\infty }X^{-\alpha }\,\mathrm {d} X=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha +1}.}$

Cdf также является степенной функцией, но с меньшим масштабным показателем. Для данных эквивалентной формой cdf является частотно-ранговый подход, в котором мы сначала сортируем наблюдаемые значения в порядке возрастания и наносим их на график относительно вектора .${\displaystyle n}$${\displaystyle \left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]}$

Хотя может быть удобно регистрировать данные или иным образом напрямую сглаживать функцию плотности вероятности (массы), эти методы вносят неявный сдвиг в представление данных, и поэтому их следует избегать. ^{[57] [58]} Функция выживания, с другой стороны, более устойчива к (но не без) таким смещениям в данных и сохраняет линейную сигнатуру на дважды логарифмических осях. Хотя представление функции выживания предпочтительнее, чем представление в формате PDF, при подгонке степенного закона к данным с помощью линейного метода наименьших квадратов, оно не лишено математической неточности. Таким образом, при оценке показателей степенного распределения рекомендуется использовать оценку максимального правдоподобия.

Оценка экспоненты на основе эмпирических данных [ править ]

Есть много способов оценить значение показателя масштабирования для степенного хвоста, однако не все из них дают несмещенные и последовательные ответы . Некоторые из самых надежных методов часто основаны на методе максимального правдоподобия . Альтернативные методы часто основаны на выполнении линейной регрессии либо логарифмически логарифмической вероятности, либо логарифмической кумулятивной функции распределения, либо логарифмических данных, но этих подходов следует избегать, поскольку все они могут привести к сильно смещенным оценкам масштабный показатель. ^[9]

Максимальная вероятность [ править ]

Для действительных, независимых и одинаково распределенных данных мы подбираем степенное распределение вида

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$

к данным , где коэффициент включен, чтобы гарантировать, что распределение нормализовано . При выборе для функция правдоподобия журнала принимает следующий вид:${\displaystyle x\geq x_{\min }}$${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$${\displaystyle x_{\min }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\alpha )=\log \prod _{i=1}^{n}{\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$

Максимум этой вероятности находится путем дифференцирования по параметру , устанавливая результат равным нулю. После перестановки это дает уравнение оценки:${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=1+n\left[\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right]^{-1}}$

где точки данных . ^{[2] [59]} Эта оценка демонстрирует небольшое смещение порядка конечного размера выборки , которое мало, когда n  > 100. Кроме того, стандартная ошибка оценки равна . Эта оценка эквивалентна популярным ^{[ править ]} Hill оценки от количественных финансов и теории экстремальных значений . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$${\displaystyle O(n^{-1})}$${\displaystyle \sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})}$

Для набора из n целочисленных точек данных , где каждая , показатель максимального правдоподобия является решением трансцендентного уравнения${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$

${\displaystyle {\frac {\zeta '({\hat {\alpha }},x_{\min })}{\zeta ({\hat {\alpha }},x_{\min })}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}}$

где - неполная дзета-функция . Неопределенность этой оценки определяется той же формулой, что и для непрерывного уравнения. Однако два уравнения для не эквивалентны, и непрерывная версия не должна применяться к дискретным данным, и наоборот.${\displaystyle \zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

Кроме того, обе эти оценки требуют выбора . Для функций с нетривиальной функцией выбор слишком малого приводит к значительному смещению , а выбор слишком большого увеличивает неопределенность и снижает статистическую мощность нашей модели. В общем, лучший выбор сильно зависит от конкретной формы нижнего хвоста, представленной выше.${\displaystyle x_{\min }}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle x_{\min }}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle x_{\min }}$${\displaystyle L(x)}$

Подробнее об этих методах и условиях, при которых они могут использоваться, можно найти в. ^[9] Кроме того, в этой всеобъемлющей обзорной статье представлен код, пригодный для использования (Matlab, Python, R и C ++) для процедур оценки и тестирования степенных распределений.

Оценка Колмогорова – Смирнова [ править ]

Другой метод для оценки степенного показателя, который не принимает на себя независимые и одинаково распределенные данных (IID), использует минимизацию статистики Колмогорова-Смирнов , между кумулятивными функциями распределения данных и степенным законом:${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\underset {\alpha }{\operatorname {arg\,min} }}\,D_{\alpha }}$

с участием

${\displaystyle D_{\alpha }=\max _{x}|P_{\mathrm {emp} }(x)-P_{\alpha }(x)|}$

где и обозначают cdfs данных и степенной закон с показателем соответственно. Поскольку этот метод не предполагает данных iid, он предоставляет альтернативный способ определения показателя степени для наборов данных, в которых нельзя игнорировать временную корреляцию. ^[4]${\displaystyle P_{\mathrm {emp} }(x)}$${\displaystyle P_{\alpha }(x)}$${\displaystyle \alpha }$

Метод двухточечной подгонки [ править ]

Этот критерий ^{[ требуется пояснение ]} может применяться для оценки степенного показателя в случае безмасштабных распределений и обеспечивает более сходящуюся оценку, чем метод максимального правдоподобия. ^{[ необходима цитата ]} Он был применен для изучения вероятностных распределений отверстий трещин. ^{[ необходима цитата ]} В некоторых контекстах распределение вероятностей описывается, а не кумулятивной функцией распределения , совокупной частотой свойства X , определяемой как количество элементов на метр (или единицу площади, секунду и т. д.), для которой X  >  Иксприменяется, где x - переменное действительное число. В качестве примера ^{[ необходима цитата ]} кумулятивное распределение апертуры трещины X для выборки из N элементов определяется как «количество трещин на метр, имеющее апертуру больше, чем x . Использование кумулятивной частоты имеет некоторые преимущества, например, это позволяет наносить на одну и ту же диаграмму данные, собранные из выборочных линий разной длины в разных масштабах (например, из обнажения и с микроскопа).

Проверка степенных законов [ править ]

Хотя степенные отношения привлекательны по многим теоретическим причинам, демонстрация того, что данные действительно следуют степенному закону, требует большего, чем просто подгонка конкретной модели к данным. ^[26] Это важно для понимания механизма, который приводит к распределению: внешне похожие распределения могут возникать по существенно разным причинам, а разные модели дают разные прогнозы, такие как экстраполяция.

Например, распределение логнормального часто ошибочно принимает за распределения степенных: ^[60] набор данных взят из распределения логнормального будет приблизительно линейным при больших значениях ( что соответствует верхним хвостовой части логнормального быть близко к степенному закону) ^{[ требуется пояснение ]} , но для малых значений логнормальная величина будет значительно уменьшаться (наклон вниз), что соответствует малости нижнего хвоста логнормальной нормы (в степенном законе очень мало маленьких значений, а не много маленьких значений). ^{[ необходима цитата ]}

Например, закон Гибрата о процессах пропорционального роста дает логнормальные распределения, хотя их логарифмические графики выглядят линейными в ограниченном диапазоне. Это объясняется тем, что, хотя логарифм логарифмической функции плотности является квадратичным по логарифму ( x ) , что дает «искривленную» форму на логарифмическом графике, если квадратичный член мал относительно линейного члена, то результат может быть кажутся почти линейными, а логнормальное поведение видно только при преобладании квадратичного члена, что может потребовать значительно большего количества данных. Следовательно, график логарифмически слегка «изогнутый» вниз может отражать логарифмически нормальное распределение, а не степенной закон.

В общем, многие альтернативные функциональные формы могут в некоторой степени следовать степенной форме. ^[61] Стампф ^[62] предложил построить эмпирическую кумулятивную функцию распределения в логарифмической области и утверждал, что степенной закон кандидата должен охватывать как минимум два порядка величины. Кроме того, исследователи обычно сталкиваются с проблемой определения того, следует ли реальное распределение вероятностей степенному закону. В качестве решения этой проблемы Диас ^[45]предложила графическую методологию, основанную на случайных выборках, которые позволяют визуально различать разные типы поведения хвоста. В этой методологии используются наборы остаточных функций квантилей, также называемые процентильными функциями остаточного срока службы, которые характеризуют множество различных типов хвостов распределения, включая как тяжелые, так и нетяжелые хвосты. Однако Штумпф ^[62] заявил о необходимости как статистических, так и теоретических основ для поддержки степенного закона в базовом механизме, управляющем процессом генерации данных.

Один из методов проверки степенной зависимости проверяет множество ортогональных предсказаний конкретного механизма генерации на основе данных. Простая подгонка степенного отношения к определенному типу данных не считается рациональным подходом. Таким образом, подтверждение степенных требований остается очень активной областью исследований во многих областях современной науки. ^[9]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Заметки

Библиография

• Бак, Пер (1997) Как работает природа , ISBN Oxford University Press 0-19-850164-1 
• Clauset, A .; Шализи, ЧР; Ньюман, MEJ (2009). «Степенные распределения в эмпирических данных». SIAM Обзор . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Bibcode : 2009SIAMR..51..661C . DOI : 10.1137 / 070710111 . S2CID  9155618 .
• Laherrère, J .; Сорнетт, Д. (1998). «Растянутые экспоненциальные распределения в природе и хозяйстве:« толстые хвосты »с характерными масштабами». Европейский физический журнал B . 2 (4): 525–539. arXiv : cond-mat / 9801293 . Bibcode : 1998EPJB .... 2..525L . DOI : 10.1007 / s100510050276 . S2CID  119467988 .
• Митценмахер М. (2004). «Краткая история генеративных моделей для степенного закона и логнормальных распределений» (PDF) . Интернет-математика . 1 (2): 226–251. DOI : 10.1080 / 15427951.2004.10129088 . S2CID  1671059 .
• Александр Сайчев, Янник Малевернь и Дидье Сорнетт (2009) Теория закона Ципфа и за его пределами , Лекционные заметки по экономике и математическим системам, том 632, Springer (ноябрь 2009 г.), ISBN 978-3-642-02945-5 
• Саймон, HA (1955). «Об одном классе функций косого распределения». Биометрика . 42 (3/4): 425–440. DOI : 10.2307 / 2333389 . JSTOR  2333389 .
• Сорнетт, Дидье (2006). Критические явления в естествознании: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок: концепции и инструменты . Серия Спрингера в синергетике (2-е изд.). Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-30882-9.
• Марк Бьюкенен (2000) Ubiquity , Вайденфелд & Николсон ISBN 0-297-64376-2 
• Штумпф, миль / ч; Портер, Массачусетс (2012). «Критические истины о степенных законах». Наука . 335 (6069): 665–6. Bibcode : 2012Sci ... 335..665S . DOI : 10.1126 / science.1216142 . PMID  22323807 . S2CID  206538568 .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме законов о власти .

• Ципф, степенные законы и Парето - руководство по ранжированию
• Морфометрия потока и законы Хортона
• Бенуа Мандельброт и Нассим Николас Талеб «Как финансовые гуру рискуют совершенно неправильно» . Форчун , 11 июля 2005 г.
• «Мюррей на миллион долларов» : степенное распределение бездомности и других социальных проблем; пользователя Malcolm Gladwell . The New Yorker , 13 февраля 2006 г.
• Бенуа Мандельброт и Ричард Хадсон: Плохое поведение рынков (2004)
• Филип Болл: Критическая масса: как одно ведет к другому (2005)
• Тирания закона власти из блога Econophysics
• Итак, вы думаете, что у вас есть степенной закон - ну, разве это не особенное? из Трёхпалого ленивца , блога Космы Шализи , профессора статистики Университета Карнеги-Меллона.
• Простой скрипт MATLAB, который объединяет данные для иллюстрации степенного распределения (если есть) в данных.
• Сервер веб-графа Erds визуализирует распределение степеней веб-графа на странице загрузки .