Полилогарифм

В математике , то полилогарифм (также известный как функции Jonquiere в , для Альфреда Jonquiere) является специальной функцией Li _сек ( г ) порядка s и аргумента г . Только для особых значений s полилогарифм сводится к элементарной функции, такой как натуральный логарифм или рациональные функции . В квантовой статистике функция полилогарифма появляется как замкнутая форма интегралов от распределения Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна., и также известен как интеграл Ферми – Дирака или интеграл Бозе – Эйнштейна . В квантовой электродинамике полилогарифмы положительного целого порядка возникают при вычислении процессов, представленных диаграммами Фейнмана более высокого порядка .

Функция полилогарифма эквивалентна дзета-функции Гурвица - любая функция может быть выражена через другую - и обе функции являются частными случаями трансцендента Лерха . Полилогарифмы не следует путать с полилогарифмическими функциями или с логарифмическим интегралом смещения, который имеет такое же обозначение, но с одной переменной.

• Различные функции полилогарифма на комплексной плоскости
• 

  Li ₋₃ ( z )

• 

  Li ₋₂ ( z )

• 

  Li ₋₁ ( z )

• 

  Li ₀ ( z )

• 

  Li ₁ ( z )

• 

  Li ₂ ( z )

• 

  Li ₃ ( z )

Функция полилогарифма определяется степенным рядом по z , который также является рядом Дирихле по s :

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {z ^ {k} \ over k ^ {s}} = z + {z ^ {2 } \ более 2 ^ {s}} + {z ^ {3} \ более 3 ^ {s}} + \ cdots}$

Это определение действительно для произвольного комплексного порядка s и для всех комплексных аргументов z с | z | <1; его можно расширить до | z | ≥ 1 в процессе аналитического продолжения . В частном случае s = 1 используется обычный натуральный логарифм Li ₁ ( z ) = −ln (1− z ), а в частных случаях s = 2 и s = 3 называется дилогарифмом (также называемым функцией Спенса) и трилогарифм соответственно. Название функции связано с тем, что ее также можно определить как повторяющийсянеотъемлемая часть самого себя:

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s + 1} (z) = \ int _ {0} ^ {z} {\ frac {\ operatorname {Li} _ {s} (t)} {t}} dt }$

таким образом, дилогарифм является интегралом функции, содержащей логарифм, и так далее. Для неположительных целых порядков s полилогарифм является рациональной функцией .

Свойства [ править ]

В случае, когда порядок полилогарифма является целым числом, он будет представлен (или если он отрицательный). Часто бывает удобно определить , где есть главная ветвь от комплекса логарифма , так что же, все экспоненцирование будет считать однозначными:${\ displaystyle s}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle -n}$${\ Displaystyle \ му = \ пер (г)}$${\ Displaystyle \ ln (г)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ln} (z)}$${\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} (\mu )\leq \pi .}$${\displaystyle z^{s}=\exp(s\ln(z)).}$

В зависимости от порядка полилогарифм может быть многозначным. Главная ветвь из берутся быть приведена для приведенного выше определения серии и взята быть непрерывными , кроме как на положительную вещественную оси, где разрез сделан из , чтобы таким образом, что ось размещена на нижней половине плоскости . В терминах это составляет . Прерывистость полилогарифма в зависимости от иногда может сбивать с толку.${\displaystyle s}$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle -\pi <\operatorname {arg} (-\mu )\leq \pi }$${\displaystyle \mu }$

Для действительного аргумента полилогарифм действительного порядка является действительным, если , а его мнимая часть для равна ( Wood 1992 , § 3):${\displaystyle z}$${\displaystyle s}$${\displaystyle z<1}$${\displaystyle z\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z)\right)=-{{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$

Если пересечь разрез, если ε бесконечно малое положительное действительное число, то:

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z+i\epsilon )\right)={{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$

Оба могут быть заключены из разложения ( см. Ниже ) в ряд Li _s ( e ^µ ) относительно µ = 0.

Производные полилогарифма следуют из определяющего степенного ряда:

${\displaystyle z{\partial \operatorname {Li} _{s}(z) \over \partial z}=\operatorname {Li} _{s-1}(z)}$

${\displaystyle {\partial \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu }) \over \partial \mu }=\operatorname {Li} _{s-1}(e^{\mu }).}$

Отношение квадратов видно из определения ряда и связано с формулой дублирования (см. Также Clunie (1954) , Schrödinger (1952) ):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-z)+\operatorname {Li} _{s}(z)=2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2}).}$

Функция Куммера подчиняется очень похожей формуле дублирования. Это частный случай формулы умножения для любого положительного целого числа p :

${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}\operatorname {Li} _{s}(ze^{2\pi im/p})=p^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{p}),}$

что может быть доказано с использованием определения полилогарифма рядами и ортогональности экспоненциальных членов (см., например, дискретное преобразование Фурье ).

Другое важное свойство, формула обращения, включает дзета-функцию Гурвица или полиномы Бернулли и находится в связи с другими функциями ниже.

Конкретные ценности [ править ]

В частных случаях полилогарифм может быть выражен через другие функции ( см. Ниже ). Таким образом, конкретные значения полилогарифма также могут быть найдены как конкретные значения этих других функций.

1. Для целых значений порядка полилогарифма следующие явные выражения получаются повторным применением z · ∂ / ∂ z к Li ₁ ( z ):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z(1+z) \over (1-z)^{3}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}.}$

Соответственно, полилогарифм сводится к соотношению многочленов от z и, следовательно, является рациональной функцией от z для всех неположительных целых порядков. Общий случай можно представить в виде конечной суммы:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z{\partial \over \partial z}\right)^{n}{z \over {1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({z \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots ),}$

где S ( n , k ) - числа Стирлинга второго рода . Эквивалентные формулы, применимые к отрицательным целым порядкам: ( Wood 1992 , § 6):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({{-1} \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$

и:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \over (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n \atop k}\right\rangle z^{n-k}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$

где - числа Эйлера . Все корни Li _{- n} ( z ) различны и действительны; они включают z = 0, в то время как остаток отрицательный и центрируется вокруг z = −1 в логарифмической шкале. По мере того как n становится большим, численная оценка этих рациональных выражений все больше страдает от отмены ( Wood 1992 , § 6); Однако полная точность может быть получена путем вычисления Li _{- n} ( z ) через общую связь с дзета-функцией Гурвица ( см. ниже ).${\displaystyle \scriptstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$

2. Некоторые конкретные выражения для полуцелых значений аргумента z :

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln 2)^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\zeta (3),}$

где ζ - дзета-функция Римана . Формулы этого типа для высших целочисленных порядков неизвестны ( Lewin 1991 , p. 2), но есть, например, ( Borwein, Borwein & Girgensohn 1995 ):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{4}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{360}}\pi ^{4}-{\tfrac {1}{24}}(\ln 2)^{4}+{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}(\ln 2)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}}),}$

который включает переменную двойную сумму

${\displaystyle \zeta ({\bar {3}},{\bar {1}})=\sum _{m>n>0}(-1)^{m+n}m^{-3}n^{-1}.}$

Обычно для целых порядков n ≥ 2 ( Broadhurst 1996 , p. 9):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},\left\{1\right\}^{n-2}),}$

где ζ ( s ₁ , ..., s _k ) - кратная дзета-функция ; Например:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{5}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},1,1,1).}$

3. Как прямое следствие определения ряда, значения полилогарифма в p- х комплексных корнях из единицы задаются суммой Фурье :

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi im/p})=p^{-s}\sum _{k=1}^{p}e^{2\pi imk/p}\zeta (s,{\tfrac {k}{p}})\qquad (m=1,2,\dots ,p-1),}$

где ζ - дзета-функция Гурвица . При Re ( s )> 1, где Li _s (1) конечно, соотношение также выполняется при m = 0 или m = p . Хотя эта формула не так проста, как это подразумевается более общей связью с дзета-функцией Гурвица, перечисленной ниже в связи с другими функциями , ее преимущество также заключается в применении к неотрицательным целым значениям s . Как обычно, отношение можно перевернуть, чтобы выразить ζ ( s , ^m ⁄ _p ) для любого m = 1, ..., p как сумму Фурье Li _s(exp (2 πi ^k ⁄ _p )) над k = 1, ..., p .

Связь с другими функциями [ править ]

• При z = 1 полилогарифм сводится к дзета-функции Римана

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$

• Полилогарифм связан с функцией эты Дирихля и Дирихлем беты - функцией :

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s),}$

где η ( s ) - эта-функция Дирихле. Для чисто мнимых аргументов мы имеем:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm i)=-2^{-s}\eta (s)\pm i\beta (s),}$

где β ( s ) - бета-функция Дирихле.

• Полилогарифм связан с полным интегралом Ферми – Дирака следующим образом:

${\displaystyle F_{s}(\mu )=-\operatorname {Li} _{s+1}(-e^{\mu }).}$

• Полилогарифм является частным случаем неполной функции полилогарифма

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\operatorname {Li} _{s}(0,z).}$

• Полилогарифм является частным случаем трансцендентного Лерха ( Erdélyi et al. 1981 , § 1.11-14)

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}$

• Полилогарифм связан с дзета-функцией Гурвица следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}-{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\right],}$

отношении которых, однако, признана недействительной в положительное целое число с помощью полюсов в гамма - функции Г (1- з ), а при х = 0 полюса обоих дзета - функций; вывод этой формулы приведен ниже в виде серий . С небольшой помощью функционального уравнения для дзета-функции Гурвица полилогарифм, следовательно, также связан с этой функцией посредством ( Jonquière 1889 ):

${\displaystyle i^{-s}\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi ix})+i^{s}\operatorname {Li} _{s}(e^{-2\pi ix})={(2\pi )^{s} \over \Gamma (s)}\zeta (1-s,x),}$

это соотношение выполняется для 0 ≤ Re ( x ) <1, если Im ( x ) ≥ 0, и для 0 <Re ( x ) ≤ 1, если Im ( x ) <0. Эквивалентно, для всех комплексных s и для комплексных z ∉] 0; 1] формула обращения имеет вид

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right),}$

и для всех комплексных s и комплексных z ∉] 1; ∞ [

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right).}$

Для z ∉] 0; ∞ [ln (- z ) = −ln (- ¹ ⁄ _z ), и оба выражения согласуются. Эти соотношения дают аналитическое продолжение полилогарифма за пределы круга сходимости | z | = 1 определяющего степенного ряда. (Соответствующее уравнение Жонкьера (1889 , уравнение 5) и Эрдейи и др. (1981 , § 1.11-16) неверно, если предположить, что главные ветви полилогарифма и логарифма используются одновременно.) См. Следующий item для упрощенной формулы, когда s - целое число.

• Для положительных целых порядков полилогарифма s дзета-функция Гурвица ζ (1− s , x ) сводится к многочленам Бернулли , ζ (1− n , x ) = −B _n ( x ) / n и формуле обращения Жонкьера для n = 1 , 2, 3, ... становится:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{2\pi ix})+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(e^{-2\pi ix})=-{(2\pi i)^{n} \over n!}B_{n}(x),}$

где снова 0 ≤ Re ( x ) <1, если Im ( x ) ≥ 0, и 0 <Re ( x ) ≤ 1, если Im ( x ) <0. При ограничении аргумента полилогарифма единичной окружностью, Im ( x ) = 0, левая часть этой формулы упрощается до 2 Re (Li _n ( e ^{2 πix} )), если n четно, и до 2 i Im (Li _n ( e ^{2 πix} )), если n нечетно. С другой стороны, для отрицательных целых порядков дивергенция Γ ( s ) влечет для всех z следующее ( Erdélyi et al. 1981 , § 1.11-17):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{-n}(1/z)=0\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$

В более общем случае для n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ...:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\qquad (z\not \in ]0;1]),}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right)\qquad (z\not \in ~]1;\infty [),}$

где оба выражения согласуются при z ∉] 0; ∞ [. (Соответствующее уравнение Жонкьера (1889 , уравнение 1) и Эрдейи и др. (1981 , § 1.11-18) снова неверно.)

• Полилогарифм с чисто мнимым μ может быть выражен через функции Клаузена Ci _s (θ) и Si _s (θ), и наоборот ( Lewin 1958 , Ch. VII § 1.4; Abramowitz & Stegun 1972 , § 27.8):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\pm i\theta })=Ci_{s}(\theta )\pm iSi_{s}(\theta ).}$

• Арктангенс интеграл Ti _сек ( г ) ( Левин 1958 . Ч. VII , § 1.2) может быть выражено в терминах полилогарифмов:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{s}(z)={1 \over 2i}\left[\operatorname {Li} _{s}(iz)-\operatorname {Li} _{s}(-iz)\right].}$

Отношение, в частности, подразумевает:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{0}(z)={z \over 1+z^{2}},\quad \operatorname {Ti} _{1}(z)=\arctan z,\quad \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\arctan t \over t}dt,\quad \ldots ~\quad \operatorname {Ti} _{n+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Ti} _{n}(t)}{t}}dt,}$

что объясняет название функции.

• Функция хи Лежандра χ _s ( z ) ( Lewin 1958 , Ch. VII § 1.1; Boersma & Dempsey 1992 ) может быть выражена в терминах полилогарифмов:

${\displaystyle \chi _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{s}(z)-\operatorname {Li} _{s}(-z)\right].}$

• Полилогарифм целого порядка можно выразить как обобщенную гипергеометрическую функцию :

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=z_{n+1}F_{n}(1,1,\dots ,1;2,2,\dots ,2;z)\qquad (n=0,1,2,\ldots ),}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=z_{n}F_{n-1}(2,2,\dots ,2;1,1,\dots ,1;z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )~.}$

• В терминах неполных дзета-функций или « функций Дебая » ( Abramowitz & Stegun 1972 , § 27.1):

${\displaystyle Z_{n}(z)={1 \over (n-1)!}\int _{z}^{\infty }{t^{n-1} \over e^{t}-1}dt\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$

полилогарифм Li _n ( z ) для положительного целого n может быть выражен в виде конечной суммы ( Wood 1992 , § 16):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })=\sum _{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu ){\mu ^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$

Замечательно похожее выражение связывает «функции Дебая» Z _n ( z ) с полилогарифмом:

${\displaystyle Z_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(e^{-z}){z^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$

Интегральные представления [ править ]

Любое из следующих интегральных представлений дает аналитическое продолжение полилогарифма за пределы круга сходимости | z | = 1 определяющего степенного ряда.

1. Полилогарифм можно выразить через интеграл от распределения Бозе – Эйнштейна :

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}dt.}$

Это сходится для Re ( s )> 0 и всех z, кроме вещественных z и ≥ 1. Полилогарифм в этом контексте иногда называют интегралом Бозе, но чаще интегралом Бозе – Эйнштейна . ^[1] Аналогично полилогарифм можно выразить через интеграл от распределения Ферми – Дирака :

${\displaystyle -\operatorname {Li} _{s}(-z)={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}dt.}$

Это сходится для Re ( s )> 0 и всех z, кроме вещественных z и ≤ −1. Полилогарифм в этом контексте иногда называют интегралом Ферми или интегралом Ферми – Дирака ^[2] ( GSL 2010 ). Эти представления легко проверяются разложением Тейлора подынтегрального выражения по z и почленным интегрированием. В работах Дингла содержатся подробные исследования обоих типов интегралов.

Полилогарифм также связан с интегралом от распределения Максвелла – Больцмана :

${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{z}}={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1}e^{-t}}dt=1.}$

Это также дает асимптотику полилогарифма в окрестности начала координат.

2. Дополнительное интегральное представление применяется к Re ( s ) <0 и ко всем z, кроме z real и ≥ 0:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\int _{0}^{\infty }{t^{-s}\sin[s\pi /2-t\ln(-z)] \over \sinh(\pi t)}dt.}$

Этот интеграл следует из общей связи полилогарифма с дзета-функцией Гурвица ( см. Выше ) и знакомого интегрального представления последней.

3. Полилогарифм в самом общем виде может быть представлен контурным интегралом Ганкеля ( Whittaker & Watson 1927 , § 12.22, § 13.13), который расширяет представление Бозе – Эйнштейна до отрицательных порядков s . Пока полюс t = μ подынтегрального выражения не лежит на неотрицательной действительной оси и s 1, 2, 3, ..., мы имеем:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }-1}}dt}$

где H представляет собой контур Ганкеля. Подынтегральная функция имеет разрез по действительной оси от нуля до бесконечности, причем ось принадлежит нижней полуплоскости t . Интегрирование начинается в + ∞ в верхней полуплоскости (Im ( t )> 0), обходит начало координат, не охватывая ни один из полюсов t = µ + 2 kπi , и заканчивается в + ∞ в нижней полуплоскости (Im ( t ) <0). Для случая, когда µ вещественное и неотрицательное, мы можем просто вычесть вклад заключенного в него полюса t = µ :

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }}-1}dt-2\pi iR}$

где R - вычет полюса:

${\displaystyle R={i \over 2\pi }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}.}$

4. Когда формула Абеля – Плана применяется к определяющему ряду полилогарифма, получается интегральное представление типа Эрмита , которое справедливо для всех комплексных z и для всех комплексных s :

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{\Gamma (1-s,-\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}}+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi t}-1)}}dt}$

где Γ - верхняя неполная гамма-функция . Все (но не часть) ln ( z ) в этом выражении можно заменить на −ln ( ¹ ⁄ _z ). Соответствующее представление, которое также верно для всех комплексных s ,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan t-t\ln(-z)]}{(1+t^{2})^{s/2}\sinh(\pi t)}}dt,}$

избегает использования неполной гамма-функции, но этот интеграл не выполняется для z на положительной вещественной оси, если Re ( s ) ≤ 0. Это выражение находится путем записи 2 ^s Li _s (- z ) / (- z ) = Φ ( z ² , s , ¹ ⁄ ₂ ) - z Φ ( z ² , s , 1), где Φ - трансцендент Лерха , и применение формулы Абеля – Планы к первому ряду Φ и дополнительной формулы, включающей 1 / ( e ^{2 πt} + 1) вместо 1 / ( e ^2πt - 1) ко второму ряду Φ.

5. Как указано в ^[3], мы можем выразить интеграл для полилогарифма, интегрируя обычный геометрический ряд почленно для как${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)={\frac {z\cdot (-1)^{s}}{s!}}\int _{0}^{1}{\frac {\log ^{s}(t)}{1-tz}}dt.}$

Представления серий [ править ]

1. Как отмечалось выше под интегральными представлениями , интегральное представление полилогарифма Бозе – Эйнштейна может быть расширено до отрицательных порядков s с помощью контурного интегрирования Ганкеля :

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{\Gamma (1-s) \over 2\pi i}\oint _{H}{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu }-1}dt,}$

где H - контур Ганкеля, s 1, 2, 3, ..., а полюс t = μ подынтегрального выражения не лежит на неотрицательной действительной оси. Контур может быть изменен так , что он окружает полюса подынтегральной при т - μ = 2 kπi , а интеграл может быть оценена как сумма остатков ( Wood 1992 , § 12, 13; Gradshteyn & Рыжик +1980 , § 9.553 ): harvnb error: no target: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (help)

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }(2k\pi i-\mu )^{s-1}.}$

Это будет справедливо для Re ( s ) <0 и всех μ, кроме случаев, когда e ^μ = 1. Для 0 <Im ( µ ) ≤ 2 π сумма может быть разделена на:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}+(2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+1-{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}\right],}$

где две серии теперь можно отождествить с дзета-функцией Гурвица :

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}~\zeta \left(1-s,~{\mu \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,~1-{\mu \over {2\pi i}}\right)\right]\qquad (0<\operatorname {Im} (\mu )\leq 2\pi ).}$

Это соотношение, которое уже было дано в связи с другими функциями выше, выполняется для всех комплексных s ≠ 0, 1, 2, 3, ... и впервые было получено в ( Jonquière 1889 , уравнение 6).

2. Чтобы представить полилогарифм в виде степенного ряда относительно µ = 0, запишем ряд, полученный из контурного интеграла Ганкеля, как:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\Gamma (1-s)\sum _{h=1}^{\infty }\left[(-2h\pi i-\mu )^{s-1}+(2h\pi i-\mu )^{s-1}\right].}$

Когда биномиальные степени в сумме разложены до µ = 0 и порядок суммирования меняется на противоположный, сумма по h может быть выражена в замкнутой форме:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}.}$

Этот результат верен для | µ | <2 π и, благодаря аналитическому продолжению, обеспечиваемому дзета-функциями , для всех s ≠ 1, 2, 3, .... Если порядок является положительным целым числом, s = n , и член с k = n - 1, и гамма-функция становятся бесконечными, хотя их сумма - нет. Получается ( Wood 1992 , § 9; Gradshteyn & Ryzhik 1980 , § 9.554 ): harvnb error: no target: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (help)

${\displaystyle \lim _{s\to k+1}\left[{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}+\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\right]={\mu ^{k} \over k!}\left[\sum _{h=1}^{k}{1 \over h}-\ln(-\mu )\right],}$

где сумма по h обращается в нуль, если k = 0. Итак, для положительных целых порядков и для | μ | <2 π имеем ряд:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })={\mu ^{n-1} \over (n-1)!}\left[H_{n-1}-\ln(-\mu )\right]+\sum _{k=0,k\neq n-1}^{\infty }{\zeta (n-k) \over k!}\mu ^{k},}$

где H _n обозначает номер n- й гармоники :

${\displaystyle H_{n}=\sum _{h=1}^{n}{1 \over h},\qquad H_{0}=0.}$

Члены задачи теперь содержат −ln (- μ ), которое при умножении на μ ^{n −1} будет стремиться к нулю при μ → 0, за исключением n = 1. Это отражает тот факт, что Li _s ( z ) имеет истинный логарифмический особенность при s = 1 и z = 1, поскольку:

${\displaystyle \lim _{\mu \to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}=0\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$

Для s, близкого, но не равного положительному целому числу, можно ожидать , что расходящиеся члены в разложении около µ = 0 вызовут вычислительные трудности ( Wood 1992 , § 9). Соответствующее разложение Эрдейи ( Erdélyi et al.1981, § 1.11-15) по степеням ln ( z ) неверно, если предположить, что главные ветви полилогарифма и логарифма используются одновременно, поскольку ln ( ¹ ⁄ _z ) равно не равно равномерно −ln ( z ).

Для неположительных целочисленных значений s дзета-функция ζ ( s - k ) в разложении µ = 0 сводится к числам Бернулли : ζ (- n - k ) = −B _{1+ n + k} / (1 + n + k ). Численная оценка Li _{- n} ( z ) с помощью этого ряда не страдает от эффектов сокращения, которые конечные рациональные выражения, приведенные при определенных значениях выше, демонстрируют для больших n .

3. Используя идентификационные данные

${\displaystyle 1={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0),}$

интегральное представление полилогарифма Бозе – Эйнштейна ( см. выше ) можно представить в виде:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{z \over 2\Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\coth {t-\ln z \over 2}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0).}$

Замена гиперболического котангенса на двусторонний ряд,

${\displaystyle \coth {t-\ln z \over 2}=2\sum _{k=-\infty }^{\infty }{1 \over 2k\pi i+t-\ln z},}$

затем меняя порядок интеграла и суммы и, наконец, отождествляя слагаемые с интегральным представлением верхней неполной гамма-функции , получаем:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\Gamma (1-s,2k\pi i-\ln z) \over (2k\pi i-\ln z)^{1-s}}.}$

Как для двустороннего ряда этого результата, так и для гиперболического котангенса симметричные частичные суммы от - k _max до k _max безусловно сходятся при k _max → ∞. При условии, что суммирование выполняется симметрично, этот ряд для Li _s ( z ), таким образом, выполняется для всех комплексных s, а также для всех комплексных z .

4. Вводя явное выражение для чисел Стирлинга второго рода в конечную сумму для полилогарифма неположительного целого порядка ( см. Выше ), можно записать:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\sum _{k=0}^{n}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{n}\qquad (n=0,1,2,\ldots ).}$

Бесконечный ряд, полученный простым продолжением внешнего суммирования до ∞ ( Guillera & Sondow 2008 , теорема 2.1):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}~\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{-s},}$

оказывается сходящимся к полилогарифму для всех комплексных s и комплексных z с Re ( z ) < ¹ ⁄ ₂ , что можно проверить для | ^{- z} ⁄ _{(1− z )} | < ¹ ⁄ ₂ , изменив порядок суммирования и используя:

${\displaystyle \sum _{k=j}^{\infty }{k \choose j}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}=\left[\left({-z \over 1-z}\right)^{-1}-1\right]^{-j-1}=(-z)^{j+1}.}$

Внутренние коэффициенты этих рядов могут быть выражены формулами, относящимися к числу Стирлинга, с использованием обобщенных гармонических чисел . Например, см. Преобразования производящей функции, чтобы найти доказательства (ссылки на доказательства) следующих тождеств:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\operatorname {Li} _{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}.\end{aligned}}}$

Для других аргументов с Re ( z ) < ¹ ⁄ ₂ результат следует аналитическим продолжением . Эта процедура эквивалентна применению преобразования Эйлера к ряду по z , определяющему полилогарифм.

Асимптотические разложения [ править ]

Для | z | 1 полилогарифм можно разложить в асимптотический ряд по ln (- z ):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\pm i\pi \over \Gamma (s)}[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-1}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(1-2^{1-2k})(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$

где B _{2 k} - числа Бернулли . Обе версии верны для всех s и для любого arg ( z ). Как правило, суммирование должно быть прекращено, когда члены начинают расти по величине. Для отрицательного целого s разложения полностью исчезают; для целого неотрицательного s они прерываются после конечного числа членов. Вуд (1992 , § 11) описывает метод получения этих рядов из интегрального представления Бозе – Эйнштейна (его уравнение 11.2 для Li _s ( e ^µ ) требует −2 π <Im ( µ ) ≤ 0).

Ограничивающее поведение [ править ]

Фактическая точность этого раздела оспаривается . Соответствующее обсуждение можно найти в Обсуждении: Полилогарифм . Пожалуйста, помогите обеспечить надежный источник спорных утверждений . ( Январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Следующие ограничения являются результатом различных представлений полилогарифма ( Wood 1992 , § 22):

${\displaystyle \lim _{|z|\to 0}\operatorname {Li} _{s}(z)=z}$

${\displaystyle \lim _{|\mu |\to 0}\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (\operatorname {Re} (s)<1)}$

${\displaystyle \lim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{\mu ^{s} \over \Gamma (s+1)}\qquad (s\neq -1,-2,-3,\ldots )}$

${\displaystyle \lim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }\operatorname {Li} _{-n}(e^{\mu })=-(-1)^{n}e^{-\mu }\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$

${\displaystyle \lim _{\operatorname {Re} (s)\to \infty }\operatorname {Li} _{s}(z)=z}$

${\displaystyle \lim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (-\pi <\operatorname {Im} (\mu )<\pi )}$

${\displaystyle \lim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\operatorname {Li} _{s}(-e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-\mu -i\pi )^{s-1}+(-\mu +i\pi )^{s-1}\right]\qquad (\operatorname {Im} (\mu )=0)}$

Первый предел Вуда для Re ( µ ) → ∞ был скорректирован в соответствии с его уравнением 11.3. Предел для Re ( s ) → −∞ следует из общей связи полилогарифма с дзета-функцией Гурвица ( см. Выше ).

Дилогарифм [ править ]

Дилогарифм - это полилогарифм порядка s = 2. Альтернативным интегральным выражением дилогарифма для произвольного комплексного аргумента z является ( Abramowitz & Stegun 1972 , § 27.7):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-t) \over t}dt=-\int _{0}^{1}{\ln(1-zt) \over t}dt.}$

Источник путаницы состоит в том, что некоторые системы компьютерной алгебры определяют дилогарифм как dilog ( z ) = Li ₂ (1 - z ).

В случае действительного z ≥ 1 первое интегральное выражение для дилогарифма можно записать как

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\int _{1}^{z}{\ln(t-1) \over t}dt-i\pi \ln z}$

откуда, разлагая ln ( t −1) и интегрируя почленно, получаем

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}-\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k^{2}z^{k}}-i\pi \ln z\qquad (z\geq 1).}$

Абель идентичность для дилогарифма дается формулой ( Abel 1881 )

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x}{1-y}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y}{1-x}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {xy}{(1-x)(1-y)}}\right)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)+\ln(1-x)\ln(1-y)}$

${\displaystyle (\operatorname {Re} (x)\leq {\tfrac {1}{2}}\wedge \operatorname {Re} (y)\leq {\tfrac {1}{2}}\vee \operatorname {Im} (x)>0\wedge \operatorname {Im} (y)>0\vee \operatorname {Im} (x)<0\wedge \operatorname {Im} (y)<0\vee \ldots ).}$

Сразу видно, что это справедливо либо для x = 0, либо для y = 0, и, исходя из общих соображений, легко проверить дифференцированием ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y . Для у = 1- х тождество сводится к Эйлеру «с отражением формулы

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(x\right)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-x\right)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}-\ln(x)\ln(1-x),}$

где Li ₂ (1) = ζ (2) = ¹ ⁄ ₆ π ² , а x может принимать любое комплексное значение.

В терминах новых переменных u = x / (1 - y ), v = y / (1 - x ) тождество Абеля имеет вид

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(u)+\operatorname {Li} _{2}(v)-\operatorname {Li} _{2}(uv)=\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {u-uv}{1-uv}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {v-uv}{1-uv}}\right)+\ln \left({\frac {1-u}{1-uv}}\right)\ln \left({\frac {1-v}{1-uv}}\right),}$

что соответствует тождеству пятиугольника, приведенному в ( Rogers 1907 ).

Из тождества Абеля для x = y = 1 - z и квадратного соотношения мы получаем тождество Ландена

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}\qquad (z\not \in ~]-\infty ;0]),}$

и применяя формулу отражения к каждому дилогарифму, мы находим формулу обращения

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}[\ln(-z)]^{2}\qquad (z\not \in [0;1[),}$

а для действительного z ≥ 1 также

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln z)^{2}-i\pi \ln z.}$

В нижеприведенной таблице собраны известные оценки дилогарифма в закрытой форме при определенных аргументах. Аргументы в первом столбце связаны отражением x ↔ 1− x или инверсией x ↔ ¹ ⁄ _x либо с x = 0, либо с x = −1; все аргументы в третьем столбце связаны между собой этими операциями.

Максимон (2003) обсуждает ссылки 17-19 веков. Формула отражения уже была опубликована Ланденом в 1760 году до того, как она появилась в книге Эйлера 1768 года ( Maximon 2003 , § 10); эквивалент личности Абеля был уже опубликован Спенсом в 1809 году, до того, как Абель написал свою рукопись в 1826 году ( Zagier 1989 , § 2). Обозначение « билогарифмическая функция» было введено Карлом Йоханом Даниэльссоном Хиллом (профессором из Лунда, Швеция) в 1828 году ( Maximon 2003 , § 10). Дон Загир  ( 1989 ) заметил, что дилогарифм - единственная математическая функция, обладающая чувством юмора.

Особые значения дилогарифма

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)}$
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle -\phi }$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1/\phi }$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{15}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}2}$	${\displaystyle 1/\phi ^{2}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle 1/\phi }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}-\pi i\ln 2}$	${\displaystyle \phi }$	${\displaystyle {\tfrac {11}{15}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}(-1/\phi )}$
		${\displaystyle \phi ^{2}}$	${\displaystyle -{\tfrac {11}{15}}\pi ^{2}-\ln ^{2}(-\phi )}$

Здесь обозначает золотое сечение .${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

Полилогарифмовые лестницы [ править ]

Леонард Левин открыл замечательное и широкое обобщение ряда классических соотношений полилогарифма для особых значений. Теперь они называются лестницами полилогарифма . Определите как величину, обратную золотому сечению . Тогда два простых примера лестниц дилогарифма:${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho ^{6})=4\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{3})+3\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{2})-6\operatorname {Li} _{2}(\rho )+{\tfrac {7}{30}}\pi ^{2}}$

данные Coxeter  ( 1935 ) и

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho )={\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\rho }$

дано Ланденом . Полилогарифмовые лестницы естественным образом и глубоко используются в K-теории и алгебраической геометрии . Полилогарифмовые лестницы служат основой для быстрых вычислений различных математических констант с помощью алгоритма BBP ( Bailey, Borwein & Plouffe 1997 ).

Монодромия [ править ]

Полилогарифм имеет две точки ветвления ; одна при z = 1 и другая при z = 0. Вторая точка ветвления при z = 0 не видна на основном листе полилогарифма; он становится видимым только тогда, когда функция аналитически продолжается на другие ее листы. Группа монодромии полилогарифма состоит из гомотопических классов петель, которые наматываются вокруг двух точек ветвления. Обозначив эти два числа m ₀ и m ₁ , группа монодромии имеет групповое представление

${\displaystyle \langle m_{0},m_{1}\vert w=m_{0}m_{1}m_{0}^{-1}m_{1}^{-1},wm_{1}=m_{1}w\rangle .}$

В частном случае дилогарифма wm ₀ = m ₀ w , и группа монодромии становится группой Гейзенберга (отождествляя m ₀ , m ₁ и w с x , y , z ) ( Vepstas 2008 ).

Ссылки [ править ]

• Абель, Н.Х. (1881) [1826]. "Note sur la fonction " ψ x = x + x 2 2 2 + x 3 3 2 + ⋯ + x n n 2 + ⋯ {\displaystyle \scriptstyle \psi x=x+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n^{2}}}+\cdots } (PDF) . In Sylow, L .; Ли, С. (ред.). Uvres complete de Niels Henrik Abel - Nouvelle édition, Tome II (на французском языке). Христиания [Осло]: Grøndahl & Søn. С. 189–193. (Эта рукопись 1826 года была опубликована только посмертно.)
• Abramowitz, M .; Стегун, И.А. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Апостол, TM (2010), «Полилогарифм» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248CS1 maint: ref=harv (link)
• Бейли, DH ; Borwein, PB ; Plouffe, S. (апрель 1997 г.). «О быстром вычислении различных полилогарифмических констант» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 903–913. Bibcode : 1997MaCom..66..903B . DOI : 10.1090 / S0025-5718-97-00856-9 .
• Бейли, DH; Бродхерст, ди-джей (20 июня 1999 г.). "Полилогарифмовая лестница семнадцатого порядка". arXiv : math.CA/9906134 .
• Берндт, BC (1994). Записные книжки Рамануджана, часть IV . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 323–326. ISBN 978-0-387-94109-7.
• Boersma, J .; Демпси, JP (1992). «Об оценке хи-функции Лежандра» . Математика вычислений . 59 (199): 157–163. DOI : 10.2307 / 2152987 . JSTOR  2152987 .
• Борвейн, Д .; Borwein, JM ; Гиргенсон, Р. (1995). «Явное вычисление сумм Эйлера» (PDF) . Труды Эдинбургского математического общества . Серия 2. 38 (2): 277–294. DOI : 10.1017 / S0013091500019088 .
• Borwein, JM; Брэдли, DM; Бродхерст, диджей; Лисонек, П. (2001). «Особые значения кратных полилогарифмов». Труды Американского математического общества . 353 (3): 907–941. arXiv : math / 9910045 . DOI : 10.1090 / S0002-9947-00-02616-7 .
• Бродхерст, ди-джей (21 апреля 1996 г.). «О перечислении неприводимых k-кратных сумм Эйлера и их роли в теории узлов и теории поля». arXiv : hep-th / 9604128 .
• Клуни, Дж. (1954). «О функциях Бозе-Эйнштейна». Труды физического общества . Серия А. 67 (7): 632–636. Bibcode : 1954PPSA ... 67..632C . DOI : 10.1088 / 0370-1298 / 67/7/308 .
• Cohen, H .; Lewin, L .; Загир, Д. (1992). «Полилогарифмовая лестница шестнадцатого порядка» (PS) . Экспериментальная математика . 1 (1): 25–34.
• Кокстер, HSM (1935). «Функции Шлефли и Лобачефского». Ежеквартальный журнал математики (Оксфорд) . 6 (1): 13–29. Bibcode : 1935QJMat ... 6 ... 13C . DOI : 10.1093 / qmath / os-6.1.13 . JFM  61.0395.02 .
• Cvijovic, D .; Клиновский, Дж. (1997). «Разложения в непрерывную дробь для дзета-функции Римана и полилогарифмы» (PDF) . Труды Американского математического общества . 125 (9): 2543–2550. DOI : 10.1090 / S0002-9939-97-04102-6 .
• Цвийович, Д. (2007). «Новые интегральные представления функции полилогарифма». Труды Королевского общества А . 463 (2080): 897–905. arXiv : 0911.4452 . Bibcode : 2007RSPSA.463..897C . DOI : 10.1098 / rspa.2006.1794 .
• Erdélyi, A .; Magnus, W .; Оберхеттингер, Ф .; Трикоми, Ф.Г. (1981). Высшие трансцендентные функции, Vol. 1 (PDF) . Малабар, Флорида: RE Krieger Publishing. ISBN 978-0-89874-206-0. (это перепечатка оригинала Макгроу – Хилла 1953 года.)
• Fornberg, B .; Кёльбиг, KS (1975). «Комплексные нули функции Жонкьера или полилогарифма» . Математика вычислений . 29 (130): 582–599. DOI : 10.2307 / 2005579 . JSTOR  2005 579 .
• Научная библиотека GNU (2010). «Справочное руководство» . Проверено 13 июня 2010 .
• Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «9.553.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. стр. 1050. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276 .
• Guillera, J .; Сондоу, Дж. (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Журнал Рамануджана . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT / 0506319 . DOI : 10.1007 / s11139-007-9102-0 .
• Хайн, РМ (25 марта 1992 г.). «Классические полилогарифмы». arXiv : alg-geom / 9202022 .
• Jahnke, E .; Эмде, Ф. (1945). Таблицы функций с формулами и кривыми (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
• Жонкьер, А. (1889). "Note sur la série " ∑ n = 1 ∞ x n n s {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{s}}}} (PDF) . Bulletin de la Société Mathématique de France (на французском языке). 17 : 142–152. DOI : 10,24033 / bsmf.392 . JFM  21.0246.02 .
• Kölbig, KS; Mignaco, JA; Ремидди, Э. (1970). «Об обобщенных полилогарифмах Нильсена и их численном расчете» . БИТ . 10 : 38–74. DOI : 10.1007 / BF01940890 .
• Кириллов, АН (1995). «Дилогарифм тождеств». Приложение "Прогресс теоретической физики" . 118 : 61–142. arXiv : hep-th / 9408113 . Bibcode : 1995PThPS.118 ... 61K . DOI : 10.1143 / PTPS.118.61 .
• Левин, Л. (1958). Дилогарифмы и связанные с ними функции . Лондон: Макдональд. Руководство по ремонту  0105524 .
• Левин, Л. (1981). Полилогарифмы и связанные с ними функции . Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-444-00550-2.
• Левин, Л., изд. (1991). Структурные свойства полилогарифмов . Математические обзоры и монографии. 37 . Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. ISBN 978-0-8218-1634-9.
• Маркман, Б. (1965). «Дзета-функция Римана». БИТ . 5 : 138–141.
• Максимон, LC (2003). «Функция дилогарифма для сложного аргумента». Труды Королевского общества А . 459 (2039): 2807–2819. Bibcode : 2003RSPSA.459.2807M . DOI : 10.1098 / rspa.2003.1156 .
• McDougall, J .; Стоунер, EC (1938). «Вычисление функций Ферми-Дирака» . Философские труды Королевского общества А . 237 (773): 67–104. Bibcode : 1938RSPTA.237 ... 67M . DOI : 10,1098 / rsta.1938.0004 . JFM  64.1500.04 .
• Нильсен, Н. (1909). "Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen. Eine Monographie". Nova Acta Leopoldina (на немецком языке). Галле - Лейпциг, Германия: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher. XC (3): 121–212. JFM  40.0478.01 .
• Прудников АП; Маричев О.И.; Брычков, Ю.А. (1990). Интегралы и ряды. 3: Дополнительные специальные функции . Ньюарк, Нью-Джерси: Гордон и Брич. ISBN 978-2-88124-682-1. (см. п. 1.2, «Обобщенная дзета-функция, многочлены Бернулли, многочлены Эйлера и полилогарифмы», стр. 23.)
• Робинсон, Дж. Э. (1951). «Замечание об интегральных функциях Бозе-Эйнштейна». Физический обзор . Серия 2. 83 (3): 678–679. Bibcode : 1951PhRv ... 83..678R . DOI : 10.1103 / PhysRev.83.678 .
• Роджерс, LJ (1907). «О функциональных теоремах о суммах, связанных с рядом » ∑ n = 1 ∞ x n n 2 {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}} . Труды Лондонского математического общества (2) . 4 (1): 169–189. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-4.1.169 . JFM  37.0428.03 .
• Шредингер, Э. (1952). Статистическая термодинамика (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
• Трусделл, К. (1945). «О функции, встречающейся в теории строения полимеров». Анналы математики . Вторая серия. 46 (1): 144–157. DOI : 10.2307 / 1969153 . JSTOR  1969 153 .
• Вепстас, Л. (2008). «Эффективный алгоритм для ускорения сходимости колебательного ряда, полезный для вычисления полилогарифма и дзета-функций Гурвица». Численные алгоритмы . 47 (3): 211–252. arXiv : math.CA/0702243 . Bibcode : 2008NuAlg..47..211V . DOI : 10.1007 / s11075-007-9153-8 .
• Whittaker, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.(это издание много раз переиздавалось, в мягкой обложке 1996 года есть ISBN 0-521-09189-6 .) 
• Wirtinger, W. (1905). "Über eine besondere Dirichletsche Reihe". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке). 1905 (129): 214–219. DOI : 10,1515 / crll.1905.129.214 . JFM  37.0434.01 .
• Вуд, округ Колумбия (июнь 1992 г.). «Вычисление полилогарифмов. Технический отчет 15-92 *» (PS) . Кентербери, Великобритания: Компьютерная лаборатория Кентского университета . Проверено 1 ноября 2005 .
• Загир, Д. (1989). «Функция дилогарифма в геометрии и теории чисел». Теория чисел и смежные вопросы: доклады , представленные на Рамануджан коллоквиума, Бомбей, 1988 . Исследования по математике. 12 . Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата и издательство Оксфордского университета. С. 231–249. ISBN 0-19-562367-3.(также появился как «Замечательный дилогарифм» в Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), стр. 131–145, и как Глава I ( Zagier 2007 ).)
• Загир, Д. (2007). «Функция дилогарифма» (PDF) . В Cartier, ЧП; и другие. (ред.). Границы теории чисел, физики и геометрии II - О конформных теориях поля, дискретных группах и перенормировке . Берлин: Springer-Verlag. С. 3–65. ISBN 978-3-540-30307-7.