Серия Дирихле

В математике рядом Дирихле называется любой ряд вида

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}},}$

где s является сложным , и представляет собой сложную последовательность . Это частный случай общего ряда Дирихле .${\ displaystyle a_ {n}}$

Ряды Дирихле играют важную роль в аналитической теории чисел . Наиболее часто встречающееся определение дзета-функции Римана - это ряд Дирихле, как и L-функции Дирихле . Предполагается, что класс рядов Сельберга подчиняется обобщенной гипотезе Римана . Сериал назван в честь Питера Густава Лежена Дирихле .

Комбинаторное значение [ править ]

Ряд Дирихле может использоваться как производящий ряд для подсчета взвешенных наборов объектов по отношению к весу, который мультипликативно комбинируется при взятии декартовых произведений.

Предположим, что A - множество с функцией w : A → N, назначающей вес каждому из элементов A , и предположим дополнительно, что слой над любым натуральным числом с этим весом является конечным множеством. (Мы называем такое расположение ( A , w ) взвешенным множеством.) Предположим дополнительно, что a _n - количество элементов A с весом n . Затем определим формальный производящий ряд Дирихле для A по w следующим образом:

${\ displaystyle {\ mathfrak {D}} _ {w} ^ {A} (s) = \ sum _ {a \ in A} {\ frac {1} {w (a) ^ {s}}} = \ сумма _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}$

Обратите внимание, что если A и B являются непересекающимися подмножествами некоторого взвешенного множества ( U , w ), то ряд Дирихле для их (непересекающегося) объединения равен сумме их рядов Дирихле:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D}}_{w}^{B}(s).}$

Более того, если ( A , u ) и ( B , v ) - два взвешенных множества, и мы определяем весовую функцию w : A × B → N следующим образом:

${\displaystyle w(a,b)=u(a)v(b),}$

для всех a в A и b в B , то мы имеем следующее разложение для ряда Дирихле декартова произведения:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\times B}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{A}(s)\cdot {\mathfrak {D}}_{v}^{B}(s).}$

В конечном итоге это следует из того простого факта, что ${\displaystyle n^{-s}\cdot m^{-s}=(nm)^{-s}.}$

Примеры [ править ]

Самый известный пример серии Дирихле -

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

аналитическим продолжением которого (кроме простого полюса в ) является дзета-функция Римана .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle s=1}$

При условии, что f является действительным знаком при всех натуральных числах n , соответствующие действительная и мнимая части ряда Дирихле F имеют известные формулы, в которых мы пишем : ${\displaystyle s\equiv \sigma +\imath t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {Re}}[\,F(s)\,]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\cos(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\\{\mathfrak {Im}}[\,F(s)\,]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\sin(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\,.\end{aligned}}}$

Рассматривая их пока как формальные ряды Дирихле, чтобы иметь возможность игнорировать вопросы сходимости, обратите внимание, что мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&={\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\mathbb {N} }(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}}(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}\}}(s)\\&=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{(p^{n})^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }\left({\frac {1}{p^{s}}}\right)^{n}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\end{aligned}}}$

поскольку каждое натуральное число имеет уникальное мультипликативное разложение по степеням простых чисел. Именно эта часть комбинаторики вдохновляет формулу произведения Эйлера .

Другой:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

где μ ( n ) - функция Мёбиуса . Эту и многие из следующих серий можно получить, применяя обращение Мёбиуса и свертку Дирихле к известным рядам. Например, для характера Дирихле χ ( n ) имеем

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

где L ( χ , s ) - L-функция Дирихле .

Если арифметическая функция f имеет обратную функцию Дирихле , т. Е. Существует такая обратная функция, что свертка Дирихле функции f с ее обратной дает мультипликативное тождество , то DGF обратной функции задается обратной функцией F : ${\displaystyle f^{-1}(n)}$${\displaystyle \sum _{d|n}f(d)f^{-1}(n/d)=\delta _{n,1}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f^{-1}(n)}{n^{s}}}=\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)^{-1}.}$

Другие личности включают

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$

где - общая функция ,${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}}$

где J _k - функция Жордана , а

${\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}\end{aligned}}}$

где σ _a ( n ) - функция делителя . По специализации на функцию делителей d  =  σ ₀ имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{2}(s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.\end{aligned}}}$

Логарифм дзета-функции определяется выражением

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

Точно так же у нас есть

${\displaystyle -\zeta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\log(n)}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

Здесь Λ ( n ) - функция фон Мангольдта . Тогда логарифмическая производная равна

${\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Эти последние три являются частными случаями более общего соотношения для производных ряда Дирихле, приведенного ниже.

Для функции Лиувилля λ ( n ) имеем

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Еще один пример связан с суммой Рамануджана :

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.}$

Другая пара примеров связана с функцией Мёбиуса и простой омега-функцией : ^[1]

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}.}$

У нас есть, что ряд Дирихле для простой дзета-функции , которая является аналогом дзета-функции Римана, суммированной только по индексам n, которые являются простыми, задается суммой по функции Мебиуса и логарифмам дзета-функции:

${\displaystyle P(s):=\sum _{p\quad {\text{prime}}}p^{-s}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns).}$

Большой табличный каталог с перечнем других примеров сумм, соответствующих известным представлениям ряда Дирихле, находится здесь .

Примеры DGF рядов Дирихле, соответствующих аддитивной (а не мультипликативной) f , приведены здесь для простых омега-функций и , которые соответственно подсчитывают количество различных простых делителей n (с кратностью или без). Например, DGF первой из этих функций выражается как произведение дзета-функции Римана и простой дзета-функции для любого комплекса s с :${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot P(s),\Re (s)>1.}$

Если f - мультипликативная функция такая, что ее DGF F сходится абсолютно для всех , и если p - любое простое число , мы имеем, что ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle \left(1+f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)}{n^{s}}}=\left(1-f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)\mu (\gcd(p,n))}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f},}$

где - функция Мебиуса . Другая уникальная идентичность ряда Дирихле генерирует сумматорную функцию некоторой арифметической f, вычисляемой на входах GCD, заданных формулой ${\displaystyle \mu (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}f(\gcd(k,n))\right){\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f}+1.}$

У нас также есть формула между DGF двух арифметических функций f и g, связанных обращением Мебиуса . В частности, если , то по инверсии Мебиуса мы имеем это . Следовательно, если F и G являются двумя соответствующими DGF для f и g , то мы можем связать эти два DGF по формулам: ${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$${\displaystyle f(n)=(g\ast \mu )(n)}$

${\displaystyle F(s)={\frac {G(s)}{\zeta (s)}},\Re (s)>\max(\sigma _{a,f},\sigma _{a,g}).}$

Известна формула экспоненты ряда Дирихле. Если - DGF некоторой арифметической f с , то DGF G выражается суммой ${\displaystyle F(s)=\exp(G(s))}$${\displaystyle f(1)\neq 0}$

${\displaystyle G(s)=\log(f(1))+\sum _{n\geq 2}{\frac {(f^{\prime }\ast f^{-1})(n)}{\log(n)\cdot n^{s}}},}$

где является обратным по Дирихле к f, а арифметическая производная от f задается формулой для всех натуральных чисел .${\displaystyle f^{-1}(n)}$${\displaystyle f^{\prime }(n)=\log(n)\cdot f(n)}$${\displaystyle n\geq 2}$

Аналитические свойства [ править ]

Учитывая последовательность комплексных чисел, мы пытаемся рассмотреть значение${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

как функция комплексной переменной s . Чтобы это имело смысл, нам нужно рассмотреть свойства сходимости указанного выше бесконечного ряда:

Если - ограниченная последовательность комплексных чисел, то соответствующий ряд Дирихле f абсолютно сходится на открытой полуплоскости Re ( s )> 1. В общем случае, если a _n = O ( n ^k ), ряд сходится абсолютно пополам. самолет Re ( s )>  k  + 1.${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

Если набор сумм

${\displaystyle a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{n+k}}$

ограничено при n и k ≥ 0, то указанный бесконечный ряд сходится на открытой полуплоскости s, такой что Re ( s )> 0.

В обоих случаях f - аналитическая функция на соответствующей открытой полуплоскости.

В общем случае это абсцисса сходимости ряда Дирихле, если он сходится при и расходится при. Это аналог ряда Дирихле радиуса сходимости для степенного ряда . Однако случай рядов Дирихле более сложен: абсолютная сходимость и равномерная сходимость могут иметь место в различных полуплоскостях.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$${\displaystyle \Re (s)<\sigma .}$

Во многих случаях аналитическая функция, связанная с рядом Дирихле, имеет аналитическое расширение на большую область.

Абсцисса схождения [ править ]

Предполагать

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}}$

сходится для некоторых ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} ,\Re (s_{0})>0.}$

Предложение 1. ${\displaystyle A(N):=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=o(N^{s_{0}}).}$

Доказательство. Обратите внимание, что:

${\displaystyle (n+1)^{s}-n^{s}=\int _{n}^{n+1}sx^{s-1}\,dx={\mathcal {O}}(n^{s-1}).}$

и определить

${\displaystyle B(N)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}=\ell +o(1)}$

куда

${\displaystyle \ell =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}.}$

По суммированием по частям мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}A(N)&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}n^{s_{0}}\\&=B(N)N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}B(n)\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=(B(N)-\ell )N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}(B(n)-\ell )\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=o(N^{s_{0}})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {o}}(n^{s_{0}-1})\\&=o(N^{s_{0}})\end{aligned}}}$

Предложение 2. Определить

${\displaystyle L={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}&{\text{If convergent}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Потом:

${\displaystyle \sigma =\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {\ln |A(N)-L|}{\ln N}}=\inf _{\sigma }\left\{A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma })\right\}}$

- абсцисса сходимости ряда Дирихле.

Доказательство. Из определения

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\qquad A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon })}$

так что

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}&=A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=(A(N)-L)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}(A(n)-L)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon -s})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {O}}(n^{\sigma +\varepsilon -s-1})\end{aligned}}}$

который сходится, как всякий раз, следовательно, для каждого такого, что расходится, мы имеем, и это завершает доказательство.${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle \Re (s)>\sigma .}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$${\displaystyle \sigma \geq \Re (s),}$

Предложение 3. Если сходится, то как и там, где он мероморфен, не имеет полюсов на${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle f(\sigma +it)=o\left({\tfrac {1}{\sigma }}\right)}$${\displaystyle \sigma \to 0^{+}}$${\displaystyle f(s)}$${\displaystyle \Re (s)=0.}$

Доказательство. Обратите внимание, что

${\displaystyle n^{-s}-(n+1)^{-s}=sn^{-s-1}+O(n^{-s-2})}$

и суммируя по частям, для${\displaystyle A(N)-f(0)\to 0}$${\displaystyle \Re (s)>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\\&=\lim _{N\to \infty }A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}+\underbrace {{\mathcal {O}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-2}\right)} _{={\mathcal {O}}(1)}\end{aligned}}}$

Теперь найти N такое , что при п  >  N ,${\displaystyle |A(n)-f(0)|<\varepsilon }$

${\displaystyle s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}=\underbrace {sf(0)\zeta (s+1)+s\sum _{n=1}^{N}(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{={\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {s\sum _{n=N+1}^{\infty }(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{<\varepsilon |s|\int _{N}^{\infty }x^{-\Re (s)-1}\,dx}}$

и, следовательно, для каждого существует такой, что для : ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle |f(\sigma +it)|<C+\varepsilon |\sigma +it|{\frac {1}{\sigma }}.}$^[2]

Формальная серия Дирихле [ править ]

Формальному ряду Дирихле над кольцом R соответствует функция a от натуральных чисел до R

${\displaystyle D(a,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}\ }$

со сложением и умножением, определяемым

${\displaystyle D(a,s)+D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a+b)(n)n^{-s}\ }$

${\displaystyle D(a,s)\cdot D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a*b)(n)n^{-s}\ }$

куда

${\displaystyle (a+b)(n)=a(n)+b(n)\ }$

- поточечная сумма, а

${\displaystyle (a*b)(n)=\sum _{k\mid n}a(k)b(n/k)\ }$

является сверткой Дирихля из и б .

Формальный ряд Дирихле образует кольцо Ω, на самом деле R -алгебру, с нулевой функцией в качестве аддитивного нулевого элемента и функцией δ, определенной формулой δ (1) = 1, δ ( n ) = 0 для n  > 1 как мультипликативной единицей. Элемент этого кольца обратим , если (1) обратим в R . Если R коммутативно, то и Ω; если R - область целостности , то Ω тоже. Ненулевые мультипликативные функции образуют подгруппу группы единиц Ω.

Кольцо формальных рядов Дирихле над C изоморфно кольцу формальных степенных рядов от счетного числа переменных. ^[3]

Производные [ править ]

Данный

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

можно показать, что

${\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}$

предполагая, что правая часть сходится. Для полностью мультипликативной функции ƒ ( n ) и предполагая, что ряд сходится при Re ( s )> σ ₀ , то имеем

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

сходится при Re ( s )> σ ₀ . Здесь Λ ( n ) - функция фон Мангольдта .

Продукты [ править ]

Предполагать

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

и

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}$

Если и F ( s ), и G ( s ) абсолютно сходятся при s > a и s > b, то имеем

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Если a = b и ƒ ( n ) = g ( n ), имеем

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Инверсия коэффициентов (интегральная формула) [ править ]

Для всех положительных целых чисел , функция F при х , может быть извлечен из DGF F из F (или ряда Дирихле над F ) с помощью следующей интегральной формулы всякий раз , когда , то абсцисса абсолютной сходимости в DGF F ^[4]${\displaystyle x\geq 1}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \sigma >\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +\imath t}F(\sigma +\imath t)dt.}$

Также возможно инвертировать преобразование Меллина сумматорной функции f, которая определяет DGF F функции f, чтобы получить коэффициенты ряда Дирихле (см. Раздел ниже). В этом случае мы приходим к сложной формуле контурного интеграла, связанной с теоремой Перрона . На практике скорость сходимости приведенной выше формулы в зависимости от T является переменной, и если ряд Дирихле F чувствителен к смене знака как медленно сходящийся ряд, может потребоваться очень большое T для аппроксимации коэффициентов F с использованием этого формула без формального ограничения.

Интегральные и серийные преобразования [ править ]

Обратное преобразование Меллина из ряда Дирихля, деленный на S, даются формулой Перрона . Кроме того, если - (формальная) обычная производящая функция последовательности , то интегральное представление для ряда Дирихле последовательности производящих функций,, дается формулой ^[5]${\displaystyle F(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}$${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle \{f_{n}z^{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}z^{n}}{(n+1)^{s}}}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt,\ s\geq 1.}$

Другой класс связанных производных и последовательных преобразований производящей функции для обычной производящей функции последовательности, которая эффективно производит левостороннее разложение в предыдущем уравнении, соответственно определены в ^{[6] [7].}

Отношение к степенным рядам [ править ]

Последовательность a _n, порожденная производящей функцией ряда Дирихле, соответствующей:

${\displaystyle \zeta (s)^{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

где ζ ( s ) - дзета-функция Римана , имеет обычную производящую функцию:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=x+{m \choose 1}\sum _{a=2}^{\infty }x^{a}+{m \choose 2}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }x^{ab}+{m \choose 3}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }x^{abc}+{m \choose 4}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }x^{abcd}+\cdots }$

Связь с суммирующей функцией арифметической функции через преобразования Меллина [ править ]

Если f - арифметическая функция с соответствующей DGF F , а суммирующая функция f определяется как

${\displaystyle S_{f}(x):={\begin{cases}\sum _{n\leq x}f(n),&x\geq 1;\\0,&0<x<1,\end{cases}}}$

то мы можем выразить F самого Меллина функции сумматорной в . А именно у нас есть то ${\displaystyle -s}$

${\displaystyle F(s)=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}}}dx,\Re (s)>\sigma _{a,f}.}$

Для и любых натуральных чисел у нас также есть приближение к DGF F функции f, задаваемое формулой ${\displaystyle \sigma :=\Re (s)>0}$${\displaystyle N\geq 1}$

${\displaystyle F(s)=\sum _{n\leq N}f(n)n^{-s}-{\frac {S_{f}(N)}{N^{s}}}+s\cdot \int _{N}^{\infty }{\frac {S_{f}(y)}{y^{s+1}}}dy.}$

См. Также [ править ]

• Генерал Дирихле
• Регуляризация дзета-функции
• Произведение Эйлера
• Свертка Дирихле

Ссылки [ править ]

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту  0434929 , Zbl  0335.10001
• Харди, GH ; Рис, Марсель (1915). Общая теория рядов Дирихле . Кембриджские трактаты по математике. 18 . Издательство Кембриджского университета.
• Общая теория рядов Дирихле Г. Х. Харди. Исторические математические монографии библиотеки Корнельского университета. {Перепечатано} Электронными коллекциями библиотеки Корнельского университета
• Гулд, Генри В .; Шонива, Темба (2008). «Каталог интересных серий Дирихле» . Мисс J. Math. Sci . 20 (1). Архивировано из оригинала на 2011-10-02.<-ссылка мертва
• Матар, Ричард Дж. (2011). «Обзор рядов Дирихле по мультипликативным арифметическим функциям». arXiv : 1106,4038 [ math.NT ].
• Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. 46 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-41261-7. Zbl  0831.11001 .
• «Серия Дирихле» . PlanetMath .