Функция фон Мангольдта, обозначаемая Λ ( n ) , определяется как
Значения Λ ( n ) для первых девяти натуральных чисел (т.е. натуральных чисел) равны
который связан с (последовательность A014963 в OEIS ).
Сумматорная функция Мангольдта , ψ ( х ) , также известная как вторая функция Чебышева , определяются как
Фон Мангольдт предоставил строгое доказательство явной формулы для ψ ( x ), включающей сумму по нетривиальным нулям дзета-функции Римана . Это было важной частью первого доказательства теоремы о простых числах .
Характеристики
Функция фон Мангольдта удовлетворяет тождеству [1] [2]
Сумма берется по всем целым числам d, которые делят n . Это доказывается основной теоремой арифметики , поскольку члены, не являющиеся степенями простых чисел, равны 0 . Например, рассмотрим случай n = 12 = 2 2 × 3 . потом
в пределе y → 0 + . Принимая гипотезу Римана , они демонстрируют, что
В частности, эта функция является колебательной с расходящимися колебаниями : существует значение K > 0 такое, что оба неравенства
бесконечно часто в любой окрестности 0. График справа показывает, что это поведение сначала не является численно очевидным: колебания не видны четко, пока ряды не будут суммированы, превышающие 100 миллионов членов, и легко видны только тогда, когда y <10 −5 .
Здесь λ и δ - числа, характеризующие среднее значение Рисса. Нужно взять c > 1 . Сумма по р является суммой по нулям дзета-функции Римана, и
можно показать как сходящийся ряд при λ > 1 .
Аппроксимация дзета-нулями Римана
Первая дзета-волна Римана в сумме, которая аппроксимирует функцию фон Мангольдта
Существует явная формула сумматорной функции Мангольдта дано [8]
Если мы отделим тривиальные нули дзета-функции, которые являются отрицательными четными целыми числами, мы получим
Взяв производную от обеих сторон, игнорируя вопросы сходимости, мы получаем «равенство» распределений
(Слева) Функция фон Мангольдта, аппроксимированная дзета-нулевыми волнами. (Справа) Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с мнимыми частями дзета-нулей Римана в виде пиков на ординатах оси x .
Следовательно, следует ожидать, что сумма по нетривиальным дзета-нулям
пики на простых числах. Фактически, это так, как видно на соседнем графике, а также может быть проверено с помощью численных вычислений.
Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с пиками на ординатах, равными мнимым частям нулей дзета-функции Римана. Иногда это называют двойственностью.
^ Шредер, Манфред Р. (1997). Теория чисел в науке и коммуникации. С приложениями в криптографии, физике, цифровой информации, вычислениях и самоподобии . Серия Спрингера в области информационных наук. 7 (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-62006-0. Zbl 0997.11501 .
Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001
Харди, GH ; Райт, EM (2008) [1938]. Хит-Браун, доктор медицины ; Сильверман, JH (ред.). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921985-8. Руководство по ремонту 2445243 . Zbl 1159.11001 .
Тенебаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. 46 . Перевод CB Thomas. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001 .
Внешние ссылки
Аллан Гут, Некоторые замечания о дзета-распределении Римана (2005)
С.А. Степанов (2001) [1994], "Функция Мангольдта" , Энциклопедия математики , EMS Press
Крис Кинг, Primes из воздуха (2010)
Хайке, Как построить дзета-нулевой спектр Римана в системе Mathematica? (2012)