(Числовое значение ζ ′ (0)/ζ (0)есть log (2π) .) Здесь ρ пробегает нетривиальные нули дзета-функции, а ψ 0 то же самое, что ψ , за исключением того, что на его скачкообразных разрывах (степенях простых чисел) он принимает значение посередине между значениями слева и право:
Из ряда Тейлора для логарифма , последний член в явной формуле можно понимать как суммированиех ω/ωнад тривиальными нулями дзета-функции, ω = −2, −4, −6, ... , т.е.
Аналогично, первый член x =х 1/1, соответствует простому полюсу дзета-функции в 1. То, что полюс, а не ноль, означает противоположный знак члена.
Свойства [ править ]
Теорема Эрхарда Шмидта утверждает, что для некоторой явной положительной константы K существует бесконечно много натуральных чисел x таких, что
и бесконечно много натуральных чисел x таких, что
[5] [6]
В мало- о нотации , можно написать выше , как
Харди и Литтлвуд [7] доказывают более сильный результат:
Отношение к примориалам [ править ]
Первая функция Чебышева - это логарифм первичного числа x , обозначаемый x # :
Это доказывает , что primorial х # асимптотически равна е (1 + о (1)) х , где « О » является мало- о нотации (см большой O нотации ) и вместе с простым числом теорема устанавливает асимптотику п п # .
Связь с функцией подсчета простых чисел [ править ]
Функцию Чебышева можно связать с функцией счета простых чисел следующим образом. Определять
потом
Переход от П к функции прайм-счета , π , производится через уравнение
Конечно, π ( x ) ≤ x , поэтому для приближения это последнее соотношение можно переписать в виде
Гипотеза Римана [ править ]
Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть1/2. В этом случае | x ρ | = √ x , и можно показать, что
По сказанному выше это означает
Хорошее свидетельство того, что эта гипотеза может быть верной, исходит из факта, предложенного Аленом Конном и другими: если мы дифференцируем формулу фон Мангольдта по x, мы получаем x = e u . Манипулируя, мы имеем "формулу следа" для экспоненты гамильтонова оператора, удовлетворяющую
и
где «тригонометрическую сумму» можно рассматривать как след оператора ( статистическая механика ) e iuĤ , что верно только при ρ =1/2+ iE ( n ) .
Используя полуклассический подход, потенциал H = T + V удовлетворяет:
с Z ( u ) → 0 при u → ∞ .
решение этого нелинейного интегрального уравнения может быть получено (среди прочего) с помощью
чтобы получить обратную величину потенциала:
Функция сглаживания [ править ]
Разница сглаженной функции Чебышева и х 2/2 для x <10 6
Функция сглаживания определяется как
Можно показать, что
Вариационная формулировка [ править ]
Функция Чебышева, вычисленная при x = e t, минимизирует функционал
так
Заметки [ править ]
^ Россер, Дж. Баркли ; Шенфельд, Лоуэлл (1962). «Приближенные формулы для некоторых функций от простых чисел» . Иллинойс J. Math . 6 : 64–94.
^ Пьер Дюзар, "Оценки некоторых функций над простыми числами без RH". arXiv:1002.0442
^ Пьер Дюзар, "Более точные оценки дляψ,θ,π, p k ", Rapport de recherche no. 1998-06, Университет Лиможа. Сокращенная версия появилась как « k- е простое число больше k (ln k + ln ln k - 1)для k ≥ 2»,Mathematics of Computing, Vol. 68, № 225 (1999), стр. 411–415.
^ G .H. Харди и Дж. Литтлвуд, «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел»,Acta Mathematica,41(1916) стр. 119–196.
^ Давенпорт, Гарольд(2000). В теории мультипликативных чисел . Springer. п. 104.ISBN0-387-95097-4. Поиск книг Google.
Ссылки [ править ]
Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001
Внешние ссылки [ править ]
Вайсштейн, Эрик В. «Функции Чебышева» . MathWorld .