Функция подсчета простых чисел

В математике , то функция распределения простых чисел является функцией подсчета количества простых чисел меньше или равно некоторому вещественного числа х . ^[1]^[2] Обозначается $π$ ( x ) (не связано с числом $π$ ).

Значения

π

( n ) для первых 60 натуральных чисел

История [ править ]

Большой интерес в теории чисел представляет скорость роста функции счета простых чисел . ^[3]^[4] Было высказано предположение , в конце 18 - го века Гаусса и Лежандра , чтобы быть приблизительно

{\ displaystyle {\ frac {x} {\ ln (x)}}}

в том смысле, что

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1.

Это утверждение является теоремой о простых числах . Эквивалентное утверждение

\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1\!

где li - логарифмическая интегральная функция. Теорема о простых числах была впервые доказана в 1896 году Жаком Адамаром и Шарлем де ла Валле Пуссеном независимо друг от друга с использованием свойств дзета-функции Римана, введенной Риманом в 1859 году. Были найдены доказательства теоремы о простых числах без использования дзета-функции или комплексного анализа. около 1948 года Атле Сельберг и Пол Эрдёш (по большей части независимо). ^[5]

В 1899 г. де ла Валле Пуссен доказал, что (см. Также теорему 23 из ^[6] )

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty

для некоторой положительной постоянной $a$ . Здесь $O (...)$ является большим $O$ нотации .

Теперь известны более точные оценки . Например, в 2002 году Кевин Форд доказал, что ^[7] $\pi (x)\!$

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\ln x)^{\frac {3}{5}}(\ln \ln x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right)

.

В 2016 году Тим Труджян доказал явную верхнюю границу разницы между и : $\pi (x)$ $\operatorname {li} (x)$

{\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\ln x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\ln x}{6.455}}}\right)

для . ^[8] $x\geq 229$

Для большинства интересующих нас значений (т. Е. Когда оно не является необоснованно большим) больше, чем . Однако известно, что он меняет знак бесконечно много раз. Для обсуждения этого см. Число Скьюза . $x$ $x$ $\operatorname {li} (x)\!$ $\pi (x)\!$ $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$

Точная форма [ править ]

Крайне важно, что Бернхард Риман доказал, что функция подсчета простых чисел в точности равна ^[9]

\pi (x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })

куда

\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})

,

$μ (n)$ - функция Мёбиуса , $li (x)$ - логарифмическая интегральная функция , ρ индексирует каждый нуль дзета-функции Римана , а $li (x ρ / n)$ не вычисляется с разрезом ветви, а вместо этого рассматривается как $Ei (ρ / п ln x),$ где $Ei (x)$ - экспоненциальный интеграл . Эквивалентно, если тривиальные нули собраны и сумма берется только над нетривиальных нулей р о дзета - функции Римана , то $π (х)$ может быть записано

\pi (x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln {x}}}

.

Гипотеза Римана предполагает, что каждый такой нетривиальный нуль лежит вдоль $Re (s) = 1 / 2$ .

Таблица $π$ ( x ), x / ln x и li ( x ) [ править ]

В таблице показано, как три функции $π$ ( x ), x / ln x и li ( x ) сравниваются при степенях 10. См. Также ^[3]^[10]^[11] и ^[12]

Икс	$π$ ( х )	$π$ ( x ) - x / ln x	li ( x ) - $π$ ( x )	х / $π$ ( х )	x / ln x% Ошибка
10	4	-0,3	2.2	2,500	-7,5%
10 ²	25	3.3	5.1	4.000	13,20%
10 ³	168	23	10	5,952	13,69%
10 ⁴	1,229	143	17	8,137	11,64%
10 ⁵	9 592	906	38	10,425	9,45%
10 ⁶	78 498	6,116	130	12,740	7,79%
10 ⁷	664 579	44 158	339	15.047	6,64%
10 ⁸	5,761,455	332 774	754	17,357	5,78%
10 ⁹	50 847 534	2,592,592	1,701	19,667	5,10%
10 ¹⁰	455 052 511	20 758 029	3,104	21,975	4,56%
10 ¹¹	4,118,054,813	169 923 159	11 588	24 283	4,13%
10 ¹²	37 607 912 018	1,416,705,193	38 263	26 590	3,77%
10 ¹³	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28,896	3,47%
10 ¹⁴	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314 890	31,202	3,21%
10 ¹⁵	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1 052 619	33,507	2,99%
10 ¹⁶	279 238 341 033 925	7 804 289 844 393	3 214 632	35,812	2,79%
10 ¹⁷	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 281	7 956 589	38,116	2,63%
10 ¹⁸	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	21 949 555	40,420	2,48%
10 ¹⁹	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960	99 877 775	42,725	2,34%
10 ²⁰	2,220,819,602,560,918,840	49 347 193 044 659 701	222 744 644	45,028	2,22%
10 ²¹	21 127 269 486 018 731 928	446 579 871 578 168 707	597 394 254	47,332	2,11%
10 ²²	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994	1 932 355 208	49,636	2,02%
10 ²³	1,925,320,391,606,803,968,923	37 083 513 766 578 631 309	7,250,186,216	51,939	1,93%
10 ²⁴	18 435 599 767 349 200 867 866	339,996,354,713,708,049,069	17 146 907 278	54,243	1,84%
10 ²⁵	176 846 309 399 143 769 411 680	3 128 516 637 843 038 351 228	55 160 980 939	56,546	1,77%
10 ²⁶	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28 883 358 936 853 188 823 261	155 891 678 121	58,850	1,70%
10 ²⁷	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267 479 615 610 131 274 163 365	508 666 658 006	61,153	1,64%

График, показывающий отношение функции подсчета простых чисел

π

( x ) к двум ее приближениям, x / ln x и Li ( x ). По мере увеличения x (обратите внимание, что ось x является логарифмической), оба отношения стремятся к 1. Отношение для x / ln x сходится сверху очень медленно, в то время как отношение для Li ( x ) сходится быстрее снизу.

В On-Line Энциклопедии целочисленных последовательностей , то $π$ ( х столбец) последовательность OEIS : A006880 , $π$ ( х ) - х / перли й есть последовательность OEIS : A057835 , и Ли ( х ) - $π$ ( х ) является последовательность OEIS : A057752 .

Значение $π$ (10 ²⁴ ) было первоначально вычислено Дж. Бете, Дж. Франке , А. Йостом и Т. Кляйнджунгом в предположении гипотезы Римана . ^[13] Позже это было безоговорочно подтверждено расчетами DJ Platt. ^[14] Значение $π$ (10 ²⁵ ) принадлежит Дж. Бете, Дж. Франке , А. Йосту и Т. Кляйнджунгу. ^[15] Значение $π$ (10 ²⁶ ) было вычислено DB Staple. ^[16] Все предыдущие записи в этой таблице также были проверены в рамках этой работы.

Значение 10 ²⁷ было опубликовано в 2015 году Дэвидом Боугом и Ким Валиш. ^[17]

Алгоритмы вычисления $π$ ( x ) [ править ]

Простой способ найти , если оно не слишком велико, - использовать сито Эратосфена для получения простых чисел, меньших или равных, а затем их подсчета. $\pi (x)$ $x$ $x$

Более сложный способ поиска принадлежит Лежандру (с использованием принципа включения-исключения ): если даны различные простые числа, то количество целых чисел, меньших или равных которым делятся на нет, равно $\pi (x)$ $x$ $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ $x$ $p_{i}$

\lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots

(где обозначает функцию пола ). Следовательно, это число равно $\lfloor {x}\rfloor$

\pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1

когда числа являются простыми числами, меньшими или равными квадратному корню из . $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ $x$

Алгоритм Мейселя – Лемера [ править ]

В серии статей, опубликованных между 1870 и 1885 годами, Эрнст Мейсель описал (и использовал) практический комбинаторный способ оценки . Позвольте , быть первыми простыми числами и обозначать количество натуральных чисел не больше, чем которые делятся на нет . потом $\pi (x)$ $p_{1}$ $p_{2},\ldots ,p_{n}$ $n$ $\Phi (m,n)$ $m$ $p_{i}$

\Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).

Учитывая натуральное число , если и если , то $m$ $n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)$ $\mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n$

\pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right).

Используя этот подход, Мейсель вычислил для равных 5 × 10 ⁵ , 10 ⁶ , 10 ⁷ и 10 ⁸ . $\pi (x)$ $x$

В 1959 году Деррик Генри Лемер расширил и упростил метод Мейселя. Определите для действительных и натуральных чисел и , как количество чисел не больше m с ровно k простыми множителями, все больше чем . Кроме того, set . потом $m$ $n$ $k$ $P_{k}(m,n)$ $p_{n}$ $P_{0}(m,n)=1$

\Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)

где на самом деле сумма имеет лишь конечное число ненулевых членов. Позвольте обозначить целое число такое, что и установить . Тогда и при ≥ 3. Следовательно, $y$ ${\sqrt[{3}]{m}}\leq y\leq {\sqrt {m}}$ $n=\pi (y)$ $P_{1}(m,n)=\pi (m)-n$ $P_{k}(m,n)=0$ $k$

\pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)

Вычисление может быть получено следующим образом: $P_{2}(m,n)$

P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)

,

где сумма берется по простым числам.

С другой стороны, вычисление может быть выполнено с использованием следующих правил: $\Phi (m,n)$

$\Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor$
$\Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)$

Используя свой метод и IBM 701 , Лемер смог вычислить . $\pi \left(10^{10}\right)$

Дальнейшие усовершенствования этого метода внесли Лагариас, Миллер, Одлыжко, Делеглиз и Риват. ^[18]

Другие функции подсчета простых чисел [ править ]

Также используются другие функции подсчета простых чисел, поскольку с ними более удобно работать. Одна из них - функция счета простых чисел Римана, обычно обозначаемая как или . Он имеет скачки 1 / n для простых степеней p ⁿ , при этом он принимает значение посередине между двумя сторонами на разрывах. Эта дополнительная деталь используется, потому что тогда функция может быть определена с помощью обратного преобразования Меллина . Формально мы можем определить как $\Pi _{0}(x)$ $J_{0}(x)$ $\Pi _{0}(x)$

\Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}{\bigg (}\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}\ +\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}{\bigg )}

где p простое число.

Мы также можем написать

\Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\ln n}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Lambda (x)}{\ln x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}(x^{1/n})

где - функция фон Мангольдта, а $\Lambda (n)$

\pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.

Тогда формула обращения Мёбиуса дает

\pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi _{0}(x^{1/n})

Зная зависимость между логарифмом дзета - функции Римана и функции Мангольдта , и используя формулу перроновское мы имеем $\Lambda$

\ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,dx

Функция Чебышева взвешивает простые числа или степени простых чисел p ⁿ на ln ( p ):

\theta (x)=\sum _{p\leq x}\ln p

\psi (x)=\sum _{p^{n}\leq x}\ln p=\sum _{n=1}^{\infty }\theta (x^{1/n})=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).

Формулы для функций счета простых чисел [ править ]

Формулы для функций, считающих простые числа, бывают двух видов: арифметические формулы и аналитические формулы. Аналитические формулы для подсчета простых чисел были впервые использованы для доказательства теоремы о простых числах . Они происходят из работ Римана и фон Мангольдта и обычно известны как явные формулы . ^[19]

Имеем следующее выражение для ψ :

\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2}),

куда

\psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.

Здесь ρ - нули дзета-функции Римана в критической полосе, где действительная часть ρ находится между нулем и единицей. Формула действительна для значений x больше единицы, что является интересующей областью. Сумма по корням условно сходится, и ее следует брать в порядке увеличения абсолютного значения мнимой части. Обратите внимание, что та же сумма по тривиальным корням дает последнее вычитаемое в формуле.

Поскольку у нас есть более сложная формула $\Pi _{0}(x)$

\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\ln 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\ln t}}.

Явная формула Римана с использованием первых 200 нетривиальных нулей дзета-функции

Опять же, формула верна для x > 1, в то время как ρ - нетривиальные нули дзета-функции, упорядоченные в соответствии с их абсолютным значением, и, опять же, последний интеграл, взятый со знаком минус, представляет собой ту же сумму, но по тривиальные нули. Первый член li ( x ) - обычная логарифмическая интегральная функция ; выражение Li ( х ^ρ ) во втором члене следует рассматривать как Ei (ρ пер й ), где Е представляет собой аналитическое продолжение в экспоненциальной интегральной функции от отрицательных чисел на комплексную плоскость с разрезом вдоль ветви положительных чисел.

Таким образом, формула обращения Мёбиуса дает ^[20]

\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}

справедливо для x > 1, где

\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}

- R-функция Римана ^[21], а $μ$ ( n ) - функция Мёбиуса . Последняя серия известна как серия Грама . ^[22]^[23] Потому что для всех этот ряд сходится для всех положительных x по сравнению с рядом для . $\ln(x)<x$ $x>0$ $e^{x}$

Δ-функция (красная линия) в логарифмической шкале

Сумма по нетривиальным дзета-нулям в формуле для описывает флуктуации, в то время как остальные члены дают «гладкую» часть функции подсчета простых чисел ^[24], поэтому можно использовать $\pi _{0}(x)$ $\pi _{0}(x),$

\operatorname {R} (x)-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}

как лучшая оценка для x > 1. $\pi (x)$

Амплитуда "зашумленной" части эвристически близка, поэтому флуктуации распределения простых чисел могут быть четко представлены с помощью Δ-функции: ${\sqrt {x}}/\ln x,$

\Delta (x)=\left(\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x)+{\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}\right){\frac {\ln x}{\sqrt {x}}}.

Доступна обширная таблица значений Δ ( x ). ^[11]

Неравенства [ править ]

Вот несколько полезных неравенств для $π$ ( x ).

{\frac {x}{\ln x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\ln x}}

для x ≥ 17.

Левое неравенство выполняется при x ≥ 17, а правое неравенство выполняется при x> 1. Константа 1,25506 имеет 5 знаков после запятой, как и ее максимальное значение при x = 113. ^[25] ${\frac {30\ln 113}{113}}$ ${\frac {\pi (x)\ln x}{x}}$

Пьер Дюзар доказал в 2010 году:

{\frac {x}{\ln x-1}}<\pi (x)

для , и

x\geq 5393

\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-1.1}}

для . ^[26]

x\geq 60184

Вот несколько неравенств для n- го простого числа p _n . Верхняя граница получена Россером (1941) ^[27], нижняя - Дусартом (1999): ^[28]

$n(\ln(n\ln n)-1)<p_{n}<n{\ln(n\ln n)}\!$ для n ≥ 6.

Левое неравенство выполняется при n ≥ 2, а правое - при n ≥ 6.

Приближение n- го простого числа:

p_{n}=n(\ln(n\ln n)-1)+{\frac {n(\ln \ln n-2)}{\ln n}}+O\left({\frac {n(\ln \ln n)^{2}}{(\ln n)^{2}}}\right).

Рамануджан ^[29] доказал, что неравенство

\pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi {\bigg (}{\frac {x}{e}}{\bigg )}

выполняется для всех достаточно больших значений . $x$

В, ^[26] Dusart доказано (предложение 6.6) , что для , $n\geq 688383$

p_{n}\leq n\left(\ln n+\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n-2}{\ln n}}\right)

,

и (предложение 6.7) , что для , $n\geq 3$

p_{n}\geq n\left(\ln n+\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n-2.1}{\ln n}}\right)

.

Совсем недавно, Dusart ^[30] доказал (теорема 5.1) , что для , $x>1$

\pi (x)\leq {\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{\ln ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\ln ^{3}x}}\right)

,

и что, для , $x\geq 88789$

\pi (x)>{\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{\ln ^{2}x}}\right)

.

Гипотеза Римана [ править ]

Гипотеза Римана эквивалентна гораздо более жесткому ограничению ошибки в оценке и, следовательно, более регулярному распределению простых чисел, $\pi (x)$

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).

В частности, ^[31]

|\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.

См. Также [ править ]

Константа Фояса
Постулат Бертрана
Гипотеза Оппермана
Рамануджан премьер

Ссылки [ править ]

^ Бах, Эрик; Шаллит, Джеффри (1996). Алгоритмическая теория чисел . MIT Press. том 1 стр. 234 раздел 8.8. ISBN 0-262-02405-5.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Функция подсчета простых чисел" . MathWorld .
^ a b "Сколько здесь простых чисел?" . Крис К. Колдуэлл . Проверено 2 декабря 2008 .
^ Диксон, Леонард Юджин (2005). История теории чисел, Vol. I: Делимость и первичность . Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2.
^ Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1998). Классическое введение в современную теорию чисел (второе изд.). Springer. ISBN 0-387-97329-X.
↑ AE Ingham (2000). Распределение простых чисел . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-39789-8.
↑ Кевин Форд (ноябрь 2002 г.). "Интеграл Виноградова и оценки для дзета-функции Римана" (PDF) . Proc. Лондонская математика. Soc . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . DOI : 10.1112 / S0024611502013655 . S2CID 121144007 .
^ Тим Трудгиан (февраль 2016 г.). «Обновление члена ошибки в теореме о простых числах». Рамануджан Журнал . 39 (2): 225–234. arXiv : 1401.2689 . DOI : 10.1007 / s11139-014-9656-6 . S2CID 11013503 .
^ "Колебания функции счета простых чисел pi (x)" . www.primefan.ru . Дата обращения 17 мая 2019 .
^ "Таблицы значений пи (х) и пи2 (х)" . Томас Оливейра и Сильва . Проверено 14 сентября 2008 .
^ a b «Значения π ( x ) и Δ ( x ) для различных значений x » . Андрей Валерьевич Кульша . Проверено 14 сентября 2008 .
^ "Таблица значений пи (х)" . Ксавье Гурдон, Паскаль Себа, Патрик Демишель . Проверено 14 сентября 2008 .
^ «Условное вычисление числа пи (10 24 )» . Крис К. Колдуэлл . Проверено 3 августа 2010 .
^ Платт, Дэвид Дж. (2012). «Вычисление $π$ ( x ) аналитически)». arXiv : 1203,5712 [ math.NT ].
^ "Сколько простых чисел есть?" . J. Buethe . Проверено 1 сентября 2015 .
Перейти ↑ Staple, Douglas (19 августа 2015 г.). Комбинаторный алгоритм вычисления pi (x) (Диссертация). Университет Далхаузи . Проверено 1 сентября 2015 .
^ Walisch, Ким (6 сентября 2015). «Новая подтвержденная запись функции подсчета простых чисел числа пи (10 ^ 27)» . Форум Мерсенна .
^ Марк Делеглиз; Джоэл Риват (январь 1996 г.). «Вычисление π ( x ): метод Мейселя, Лемера, Лагариаса, Миллера, Одлызко» (PDF) . Математика вычислений . 65 (213): 235–245. DOI : 10.1090 / S0025-5718-96-00674-6 .
^ Titchmarsh, EC (1960). Теория функций, 2-е изд . Издательство Оксфордского университета.
^ Ризель, Ганс ; Гёль, Гуннар (1970). «Некоторые вычисления, связанные с формулой простых чисел Римана». Математика вычислений . Американское математическое общество. 24 (112): 969–983. DOI : 10.2307 / 2004630 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2004 630 . Руководство по ремонту 0277489 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Функция счета простых чисел Римана" . MathWorld .
^ Ризель, Ганс (1994). Простые числа и компьютерные методы факторизации . Успехи в математике. 126 (2-е изд.). Birkhäuser. С. 50–51. ISBN 0-8176-3743-5.
^ Weisstein, Эрик В. "Серия Грамм" . MathWorld .
^ "Кодирование простого распределения дзета-нулями" . Мэтью Уоткинс . Проверено 14 сентября 2008 .
^ Россер, Дж. Баркли ; Шенфельд, Лоуэлл (1962). «Приближенные формулы для некоторых функций от простых чисел» . Иллинойс J. Math . 6 : 64–94. DOI : 10.1215 / IJM / 1255631807 . ISSN 0019-2082 . Zbl 0122.05001 .
^ a b Дюзар, Пьер (2 февраля 2010 г.). «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442v1 [ math.NT ].
^ Россер, Баркли (1941). «Явные оценки некоторых функций от простых чисел». Американский журнал математики . 63 (1): 211–232. DOI : 10.2307 / 2371291 . JSTOR 2371291 .
^ Dusart, Пьер (1999). «K-е простое число больше k (lnk + lnlnk-1) для k> = 2» . Математика вычислений . 68 (225): 411–415. DOI : 10.1090 / S0025-5718-99-01037-6 .
^ Берндт, Брюс С. (2012-12-06). Записные книжки Рамануджана, часть IV . Springer Science & Business Media. С. 112–113. ISBN 9781461269328.
^ Dusart, Пьер (январь 2018). «Явные оценки некоторых функций над простыми числами». Рамануджан Журнал . 45 (1): 225–234. DOI : 10.1007 / s11139-016-9839-4 . S2CID 125120533 .
^ Schoenfeld, Лоуэлл (1976). «Более точные оценки для функций Чебышева θ ( x ) и ψ ( x ). II». Математика вычислений . Американское математическое общество. 30 (134): 337–360. DOI : 10.2307 / 2005976 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2005976 . Руководство по ремонту 0457374 .

Внешние ссылки [ править ]

Крис Колдуэлл, The Nth Prime Page на Prime Pages .
Томас Оливейра и Силва, Таблицы функций, считающих простые числа .

[Bach-1] Бах, Эрик; Шаллит, Джеффри (1996). Алгоритмическая теория чисел . MIT Press. том 1 стр. 234 раздел 8.8. ISBN 0-262-02405-5.

[mathworld_pcf-2] Вайсштейн, Эрик В. "Функция подсчета простых чисел" . MathWorld .

[Caldwell-3] "Сколько здесь простых чисел?" . Крис К. Колдуэлл . Проверено 2 декабря 2008 .

[Dickson-4] Диксон, Леонард Юджин (2005). История теории чисел, Vol. I: Делимость и первичность . Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2.

[Ireland-5] Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1998). Классическое введение в современную теорию чисел (второе изд.). Springer. ISBN 0-387-97329-X.

[6] AE Ingham (2000). Распределение простых чисел . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-39789-8.

[Ford-7] Кевин Форд (ноябрь 2002 г.). "Интеграл Виноградова и оценки для дзета-функции Римана" (PDF) . Proc. Лондонская математика. Soc . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . DOI : 10.1112 / S0024611502013655 . S2CID 121144007 .

[8] Тим Трудгиан (февраль 2016 г.). «Обновление члена ошибки в теореме о простых числах». Рамануджан Журнал . 39 (2): 225–234. arXiv : 1401.2689 . DOI : 10.1007 / s11139-014-9656-6 . S2CID 11013503 .

[9] "Колебания функции счета простых чисел pi (x)" . www.primefan.ru . Дата обращения 17 мая 2019 .

[Silva-10] "Таблицы значений пи (х) и пи2 (х)" . Томас Оливейра и Сильва . Проверено 14 сентября 2008 .

[Kulsha-11] «Значения π ( x ) и Δ ( x ) для различных значений x » . Андрей Валерьевич Кульша . Проверено 14 сентября 2008 .

[Gourdon-12] "Таблица значений пи (х)" . Ксавье Гурдон, Паскаль Себа, Патрик Демишель . Проверено 14 сентября 2008 .

[Franke-13] «Условное вычисление числа пи (10 24 )» . Крис К. Колдуэлл . Проверено 3 августа 2010 .

[PlattARXIV2012-14] Платт, Дэвид Дж. (2012). «Вычисление $π$ ( x ) аналитически)». arXiv : 1203,5712 [ math.NT ].

[Buethe-15] "Сколько простых чисел есть?" . J. Buethe . Проверено 1 сентября 2015 .

[Staple-16] Перейти ↑ Staple, Douglas (19 августа 2015 г.). Комбинаторный алгоритм вычисления pi (x) (Диссертация). Университет Далхаузи . Проверено 1 сентября 2015 .

[17] Walisch, Ким (6 сентября 2015). «Новая подтвержденная запись функции подсчета простых чисел числа пи (10 ^ 27)» . Форум Мерсенна .

[pix_comp-18] Марк Делеглиз; Джоэл Риват (январь 1996 г.). «Вычисление π ( x ): метод Мейселя, Лемера, Лагариаса, Миллера, Одлызко» (PDF) . Математика вычислений . 65 (213): 235–245. DOI : 10.1090 / S0025-5718-96-00674-6 .

[Titchmarsh-19] Titchmarsh, EC (1960). Теория функций, 2-е изд . Издательство Оксфордского университета.

[20] Ризель, Ганс ; Гёль, Гуннар (1970). «Некоторые вычисления, связанные с формулой простых чисел Римана». Математика вычислений . Американское математическое общество. 24 (112): 969–983. DOI : 10.2307 / 2004630 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2004 630 . Руководство по ремонту 0277489 .

[mathworld_r-21] Вайсштейн, Эрик В. "Функция счета простых чисел Римана" . MathWorld .

[Riesel94-22] Ризель, Ганс (1994). Простые числа и компьютерные методы факторизации . Успехи в математике. 126 (2-е изд.). Birkhäuser. С. 50–51. ISBN 0-8176-3743-5.

[mathworld_gram-23] Weisstein, Эрик В. "Серия Грамм" . MathWorld .

[Watkins-24] "Кодирование простого распределения дзета-нулями" . Мэтью Уоткинс . Проверено 14 сентября 2008 .

[25] Россер, Дж. Баркли ; Шенфельд, Лоуэлл (1962). «Приближенные формулы для некоторых функций от простых чисел» . Иллинойс J. Math . 6 : 64–94. DOI : 10.1215 / IJM / 1255631807 . ISSN 0019-2082 . Zbl 0122.05001 .

[Dusart2010-26] Дюзар, Пьер (2 февраля 2010 г.). «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442v1 [ math.NT ].

[27] Россер, Баркли (1941). «Явные оценки некоторых функций от простых чисел». Американский журнал математики . 63 (1): 211–232. DOI : 10.2307 / 2371291 . JSTOR 2371291 .

[28] Dusart, Пьер (1999). «K-е простое число больше k (lnk + lnlnk-1) для k> = 2» . Математика вычислений . 68 (225): 411–415. DOI : 10.1090 / S0025-5718-99-01037-6 .

[29] Берндт, Брюс С. (2012-12-06). Записные книжки Рамануджана, часть IV . Springer Science & Business Media. С. 112–113. ISBN 9781461269328.

[30] Dusart, Пьер (январь 2018). «Явные оценки некоторых функций над простыми числами». Рамануджан Журнал . 45 (1): 225–234. DOI : 10.1007 / s11139-016-9839-4 . S2CID 125120533 .

[31] Schoenfeld, Лоуэлл (1976). «Более точные оценки для функций Чебышева θ ( x ) и ψ ( x ). II». Математика вычислений . Американское математическое общество. 30 (134): 337–360. DOI : 10.2307 / 2005976 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2005976 . Руководство по ремонту 0457374 .

[1]