В математике , то интегральный логарифм или интеграл логарифм Li ( х ) представляет собой специальную функцию . Это актуально в задачах физики и имеет теоретико-числовое значение. В частности, согласно теореме Зигеля-Вальфиса, это очень хорошее приближение к функции подсчета простых чисел , которая определяется как количество простых чисел, меньших или равных заданному значению .
Интегральное представление [ править ]
Логарифмический интеграл имеет интегральное представление, определяемое для всех положительных действительных чисел x 1 определенным интегралом
Здесь ln обозначает натуральный логарифм . Функция 1 / (ln t ) имеет особенность при t = 1 , а интеграл для x > 1 интерпретируется как главное значение Коши ,
Смещение логарифмического интеграла [ править ]
Смещения логарифмический интеграл или Эйлерово логарифмический интеграл определяется как
Таким образом, интегральное представление имеет то преимущество, что позволяет избежать сингулярности в области интегрирования.
Особые значения [ править ]
Функция li ( x ) имеет единственный положительный нуль; это происходит при x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930 ... OEIS : A070769 ; это число известно как постоянная Рамануджана – Зольднера .
−Li (0) = li (2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151 ... OEIS : A069284
Вот где находится неполная гамма-функция . Его следует понимать как главное значение функции Коши .
Представление серии [ править ]
Функция li ( x ) связана с экспоненциальным интегралом Ei ( x ) уравнением
что справедливо для x > 0. Это тождество дает представление li ( x ) в виде ряда
где γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... OEIS : A001620 - постоянная Эйлера – Маскерони . Более быстро сходящийся ряд Рамануджана [1] имеет вид
Асимптотическое разложение [ править ]
Асимптотика при x → ∞ равна
где есть большое обозначение O . Полное асимптотическое разложение имеет вид
или же
Это дает следующую более точную асимптотику:
В качестве асимптотического разложения этот ряд не сходится : это разумное приближение, только если ряд усекается до конечного числа членов и используются только большие значения x . Это разложение следует непосредственно из асимптотического разложения для экспоненциального интеграла .
Это означает, например, что мы можем заключить li в скобки как:
для всех .
Теоретико-числовое значение [ править ]
Логарифмический интеграл важен в теории чисел , так как он появляется в оценках количества простых чисел, меньших заданного значения. Например, теорема о простых числах утверждает, что:
где обозначает количество простых чисел, меньших или равных .
Принимая гипотезу Римана , мы становимся еще сильнее: [2]
См. Также [ править ]
- Йорген Педерсен Грам
- Число Скьюза
Ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Логарифмический интеграл» . MathWorld .
- ^ Абрамовиц и Стегун, стр. 230, 5.1.20
- Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 5» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 228. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Темме, Н.М. (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусные интегралы» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248