Шриниваса Рамануджан

Шриниваса Рамануджан ФРС
Родившийся	( 1887-12-22 )22 декабря 1887 г. Эроде , президентство Мадраса , Британская Индия
Умер	26 апреля 1920 г. (1920-04-26)(32 года) Кумбаконам , президентство в Мадрасе , Британская Индия
Другие имена	Шриниваса Рамануджан Айянгар
Гражданство	Британский Радж
Образование	Государственный колледж искусств (без диплома) Колледж Пачайаппы (без степени) Тринити-колледж, Кембридж (бакалавр гуманитарных наук, 1916 г.)
Известен	Постоянная Ландау – Рамануджана Мок-тета-функции Гипотеза Рамануджана Рамануджан премьер Константа Рамануджана – Зольднера Рамануджан тета-функция Сумма Рамануджана Роджерс-Рамануджан идентичности Основная теорема Рамануджана Рамануджан – Сато серия
Награды	Член Королевского общества
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Тринити-колледж, Кембридж
Тезис	Сильно составные числа  (1916)
Академические консультанты	Г. Х. Харди Дж. Э. Литтлвуд
Влияния	GS Carr
Под влиянием	Г. Х. Харди
Подпись

Сриниваса Рамануйян FRS ( / ы т ɪ п ɪ об ɑː с г ɑː м ɑː п ʊ dʒ ən / ; ^[1] родился Сринивас Рамануйян Aiyangar ; 22 декабря 1887 - 26 апреля 1920) ^{[2] [3]} был индийским математик , живший во времена британского правления в Индии. Хотя у него почти не было формального образования в области чистой математики , он внес существенный вклад в математический анализ и теорию чисел., бесконечные ряды и цепные дроби , включая решения математических задач, которые тогда считались неразрешимыми. Рамануджан изначально развивал свое собственное математическое исследование изолированно: по словам Ганса Айзенка : «Он пытался заинтересовать ведущих профессиональных математиков своей работой, но по большей части потерпел неудачу. То, что он должен был им показать, было слишком новым, слишком незнакомым и, кроме того, представлены необычным образом; их нельзя было беспокоить ". ^[4] Ищу математиков , которые могли бы лучше понять его работу, в 1913 году началось почтовое сотрудничество с английским математиком GH Харди в Кембриджском университете , Англия. Признав работу Рамануджана выдающейся, Харди организовал для него поездку в Кембридж. В своих заметках Харди отметил, что Рамануджан создал революционные новые теоремы , в том числе те, которые «полностью победили меня; я никогда не видел ничего похожего на них раньше» ^[5], а также некоторые недавно доказанные, но весьма продвинутые результаты.

За свою короткую жизнь Рамануджан независимо собрал около 3900 результатов (в основном отождествлений и уравнений ). ^[6] Многие были совершенно новыми; его оригинальные и весьма нетрадиционные результаты, такие как простое число Рамануджана, тета-функция Рамануджана , формулы разбиения и имитация тета-функций , открыли совершенно новые области работы и вдохновили на огромное количество дальнейших исследований. ^[7] Почти все его утверждения теперь подтвердились. ^[8] Ramanujan Journal , научный журнал , был создан для публикации работ по всем областям математики, на которые повлиял Рамануджан,^[9] и его записные книжки - содержащие резюме опубликованных и неопубликованных результатов - анализировались и изучались на протяжении десятилетий после его смерти как источник новых математических идей. Уже в 2011 году, а затем в 2012 году исследователи продолжали обнаруживать, что простые комментарии в его работах о «простых свойствах» и «аналогичных результатах» для определенных открытий сами по себе были глубокими и тонкими результатами теории чисел, о которых не подозревали почти столетие после его смерти. . ^{[10] [11]} Он стал одним из самых молодых членов Королевского общества и только вторым индийским членом и первым индийцем, избранным членом Тринити-колледжа в Кембридже.. В своих оригинальных письмах Харди заявил, что достаточно одного взгляда, чтобы показать, что они могли быть написаны только математиком высочайшего уровня, сравнивая Рамануджана с такими математическими гениями, как Эйлер и Якоби .

В 1919 году плохое здоровье - теперь считается, что это печеночный амебиаз (осложнение после эпизодов дизентерии много лет назад) - заставило Рамануджана вернуться в Индию, где он умер в 1920 году в возрасте 32 лет. Его последние письма Харди, написанные на Январь 1920 г. показывает, что он все еще продолжал создавать новые математические идеи и теоремы. Его « потерянная тетрадь », содержащая открытия последнего года его жизни, вызвала большое волнение среди математиков, когда она была открыта заново в 1976 году.

Глубоко религиозный индус , ^[12] Ramanujan приписывают его значительные математические способности к божественности , и сказал , что математические знания он показал ему открылось его семьи богини Namagiri Thayar . Однажды он сказал: «Уравнение для меня не имеет смысла, если оно не выражает мысль о Боге ». ^[13]

Ранние годы

Ramanujan (буквально, «младший брат Рамы », индус божество ^{[14] : 12} ) родился 22 декабря 1887 года в тамильский брахман Айенгара семьи в Ирода , Мадрас Президентство (ныне Тамил Наду, Индия ), в резиденции его бабушка и дедушка по материнской линии. ^{[14] : 11} Его отец, Куппусвами Шриниваса Айенгар, родом из района Танджавур , работал продавцом в магазине сари . ^{[14] : 17–18 [15]} Его мать, Комалатаммал, была домохозяйкой и пела в местном храме. ^[16]Они жили в небольшом традиционном доме на улице Сарангапани Санниди в городе Кумбаконам . ^[17] Семейный дом теперь музей. Когда Рамануджану было полтора года, его мать родила сына Садагопана, который умер менее чем через три месяца. В декабре 1889 года Рамануджан заразился оспой , но выздоровел, в отличие от 4000 других, которые умерли в плохой год в районе Танджавур примерно в это время. Он переехал со своей матерью в дом ее родителей в Канчипураме , недалеко от Мадраса (ныне Ченнаи ). Его мать родила еще двоих детей в 1891 и 1894 годах, оба из которых умерли до своего первого дня рождения. ^{[14] : 12}

1 октября 1892 года Рамануджан был зачислен в местную школу. ^{[14] : 13} После того, как его дед по материнской линии потерял работу судебного чиновника в Канчипураме, ^{[14] : 19} Рамануджан и его мать вернулись в Кумбаконам, и он был зачислен в начальную школу Кангаяна. ^{[14] : 14} Когда его дед по отцовской линии умер, его отправили обратно к бабушке и дедушке по материнской линии, которые тогда жили в Мадрасе. Он не любил школу в Мадрасе и старался ее не посещать. Его семья заручилась поддержкой местного констебля, чтобы убедиться, что он посещает школу. Через шесть месяцев Рамануджан вернулся в Кумбаконам. ^{[14] : 14}

Поскольку отец Рамануджана был на работе большую часть дня, его мать заботилась о мальчике, и у них были близкие отношения. От нее он узнал о традициях и пуранах , о том, как петь религиозные песни, посещать пуджи в храме и поддерживать определенные пищевые привычки - все это часть культуры браминов . ^{[14] : 20} Рамануджан хорошо учился в начальной школе Кангаяна. Незадолго до того, как ему исполнилось 10 лет, в ноябре 1897 года, он сдал начальные экзамены по английскому, тамильскому , географии и арифметике с лучшими в округе оценками. ^{[14] : 25 В} том же году Рамануджан поступил в городскую среднюю школу., где он впервые столкнулся с формальной математикой. ^{[14] : 25}

Вундеркинд от 11 лет, он исчерпал математическое знание двух студентов колледжа , которые были квартирантами в его доме. Позже ему одолжили книгу, написанную С.Л. Лони по продвинутой тригонометрии. ^{[18] [19]} Он овладел этим к 13 годам, открывая сложные теоремы самостоятельно. К 14 годам он получил почетные грамоты и академические награды, которые продолжались на протяжении всей его школьной карьеры, и он помог школе распределить 1200 учеников (каждый с разными потребностями) примерно к 35 учителям. ^{[14] : 27} Он сдал экзамены по математике за половину отведенного времени и показал знакомство с геометрией и бесконечными рядами.. Рамануджану показали, как решать кубические уравнения в 1902 году; он разработал свой собственный метод решения квартики . В следующем году он попытался решить квинтику , не зная, что радикалы не решат ее .

В 1903 году, когда ему было 16 лет, Рамануджан получил от друга библиотечный экземпляр « Краткого обзора элементарных результатов в чистой и прикладной математике» , собрания Г.С. Карра из 5000 теорем. ^{[14] : 39 [20]} Сообщается, что Рамануджан подробно изучил содержание книги. ^[21] Книга обычно считается ключевым элементом в пробуждении его гения. ^[21] В следующем году Рамануджан независимо разработал и исследовал числа Бернулли и вычислил константу Эйлера – Маскерони с точностью до 15 десятичных знаков. ^{[14] : 90}Его сверстники в то время говорили, что «редко понимали его» и «испытывали к нему почтительный трепет». ^{[14] : 27}

Когда он окончил городскую среднюю школу в 1904 году, Рамануджан был удостоен премии имени К. Ранганатхи Рао по математике от директора школы Кришнасвами Айера. Айер представил Рамануджана как выдающегося ученика, который заслужил оценки выше максимума. ^[14] Он получил стипендию для обучения в Государственном колледже искусств, Кумбаконам , ^{[14] : 28 [14] : 45,} но был настолько увлечен математикой, что не мог сосредоточиться ни на каких других предметах и ​​провалил большинство из них, потеряв стипендию. в процессе. ^{[14] : 47} В августе 1905 года Рамануджан убежал из дома, направившись в Вишакхапатнам , и остался вРаджамандри ^[22] около месяца. ^{[14] : 47–48} Позже он поступил в колледж Пачаяппы в Мадрасе. Там он сдал экзамен по математике, выбирая только те вопросы, которые ему нравились, и оставлял остальные без ответа, но плохо успевал по другим предметам, таким как английский, физиология и санскрит. ^[23] Ramanujan провалил членом искусства экзамена в декабре 1906 года и еще раз через год. Не имея степени FA, он бросил колледж и продолжил независимые исследования в области математики, живя в крайней бедности и часто на грани голодной смерти. ^{[14] : 55–56}

В 1910 году, после встречи 23-летней Рамануджане и основателя индийского математического общества , В. Рамасв Айера , Ramanujan начал получать признание в Мадрасе игровых математических кругов, что привел к его включению в качестве исследователя в Университете Мадраса . ^[24]

Взрослая жизнь в Индии

14 июля 1909 года Рамануджан женился на Джанаки (Джанакиаммал; 21 марта 1899 - 13 апреля 1994), ^[25] девушке, которую его мать выбрала для него годом ранее, и которой было десять лет, когда они поженились. ^{[14] : 71 [26] [27]} Тогда не было ничего необычного в том, что браки заключались с девушками в раннем возрасте. Джанаки был из Раджендрама, деревни недалеко от железнодорожного вокзала Марудур ( район Карур ). Отец Рамануджана не участвовал в церемонии бракосочетания. ^[28] Как было принято в то время, Джанаки продолжала оставаться в материнском доме в течение трех лет после замужества, пока не достигла половой зрелости. В 1912 году она и мать Рамануджана присоединились к Рамануджану в Мадрасе. ^[29]

После женитьбы у Рамануджана развилось гидроцеле яичка . ^{[14] : 72} Состояние можно было вылечить с помощью обычной хирургической операции, которая высвободит заблокированную жидкость в мошонке, но его семья не могла позволить себе операцию. В январе 1910 года врач вызвался сделать операцию бесплатно. ^[30]

После успешной операции Рамануджан искал работу. Он останавливался в доме друга, пока ходил от двери к двери по Мадрасу в поисках канцелярской должности. Чтобы заработать деньги, он обучал студентов Президентского колледжа, которые готовились к экзамену FA. ^{[14] : 73}

В конце 1910 года Рамануджан снова заболел. Он опасался за свое здоровье и посоветовал своему другу Р. Радакришне Айер «передать [свои тетради] профессору Сингаравелу Мудальяру [профессору математики в колледже Пачайяппы] или британскому профессору Эдварду Б. Россу из Христианского колледжа Мадраса . " ^{[14] : 74–75} После того, как Рамануджан обнаружил и забрал свои записные книжки у Айера, он сел на поезд из Кумбаконама в Виллупурам , город под французским контролем. ^{[31] [32]} В 1912 году Рамануджан переехал со своей женой и матерью в дом на улице Шайва Мутаиа Мудали, Джорджтаун , Мадрас , где они прожили несколько месяцев. ^[33]В мае 1913 года, получив должность исследователя в Мадрасском университете, Рамануджан вместе с семьей переехал в Трипликан . ^[34]

Стремление к карьере в математике

В 1910 году Рамануджан встретился с заместителем коллекционера В. Рамасвами Айером , который основал Индийское математическое общество. ^{[14] : 77} Желая получить работу в налоговом отделе, где работал Айер, Рамануджан показал ему свои тетради по математике. Как позже вспоминал Айер:

Меня поразили выдающиеся математические результаты, содержащиеся в [тетрадях]. Я не собирался задушить его гений назначением на низшие ступени финансового отдела. ^[35]

Айер отправил Рамануджана с рекомендательными письмами своим друзьям-математикам в Мадрас. ^{[14] : 77} Некоторые из них посмотрели на его работу и передали рекомендательные письма Р. Рамачандре Рао , районному коллекционеру Неллора и секретарю Индийского математического общества. ^{[36] [37] [38]} Рао был впечатлен исследованием Рамануджана, но сомневался, что это его собственная работа. Рамануджан упомянул о своей переписке с профессором Салдханой, известным бомбейским математиком, в которой Салдхана выразил непонимание его работы, но пришел к выводу, что он не мошенник. ^{[14] : 80}Друг Рамануджана К.В. Раджагопалачари попытался развеять сомнения Рао в академической честности Рамануджана. Рао согласился дать ему еще один шанс и слушал, как Рамануджан обсуждает эллиптические интегралы , гипергеометрические ряды и свою теорию расходящихся рядов , что, по словам Рао, в конечном итоге убедило его в гениальности Рамануджана. ^{[14] : 80} Когда Рао спросил его, чего он хочет, Рамануджан ответил, что ему нужна работа и финансовая поддержка. Рао согласился и отправил его в Мадрас. Он продолжил свои исследования при финансовой помощи Рао. С помощью Айера работа Рамануджана была опубликована в Журнале Индийского математического общества. ^{[14] : 86}

Одной из первых задач, которые он поставил в журнале, было определение ценности:

${\ displaystyle {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}.}$

Он ждал предложения решения по трем вопросам в течение шести месяцев, но не получил ни одного. В конце концов, Рамануджан сам предложил решение проблемы. На странице 105 своей первой записной книжки он сформулировал уравнение, которое можно было использовать для решения проблемы бесконечно вложенных радикалов .

${\ displaystyle x + n + a = {\ sqrt {ax + (n + a) ^ {2} + x {\ sqrt {a (x + n) + (n + a) ^ {2} + (x + n) ) {\ sqrt {\ cdots}}}}}}}$

Используя это уравнение, ответ на вопрос, заданный в Журнале, был просто 3, полученным путем установки x = 2 , n = 1 и a = 0 . ^{[14] : 87} Ramanujan написал свою первую официальную бумагу для журнала о свойствах чисел Бернулли . Одно из обнаруженных им свойств заключалось в том, что знаменатели (последовательность A027642 в OEIS ) дробей чисел Бернулли всегда делятся на шесть. Он также разработал метод вычисления B _n на основе предыдущих чисел Бернулли. Один из этих методов следующий:

Можно заметить, что если n четно, но не равно нулю,

1. B _n - дробь, а числительB _n/п в самом низком смысле - простое число,
2. знаменатель B _n содержит каждый из множителей 2 и 3 один раз и только один раз,
3. 2 ^п (2 ^п - 1)B _n/пявляется целым числом, а 2 (2 ⁿ - 1) B _n, следовательно, является нечетным целым числом.

В своей 17-страничной статье «Некоторые свойства чисел Бернулли» (1911) Рамануджан дал три доказательства, два следствия и три гипотезы. ^{[14] : 91} Первоначально в его письмах было много недостатков. Как заметил редактор журнала М.Т. Нараяна Айенгар:

Методы г-на Рамануджана были настолько краткими и новаторскими, а его изложения настолько нечеткими и точными, что рядовой [математический читатель], не привыкший к такой интеллектуальной гимнастике, едва ли мог за ним последовать. ^[39]

Рамануджан позже написал еще одну статью и также продолжал публиковать проблемы в журнале . ^[40] В начале 1912 года он получил временную работу в офисе главного бухгалтера Мадраса с ежемесячной зарплатой в 20 рупий. Он продержался всего несколько недель. ^[41] Ближе к концу этого задания он подал заявку на должность главного бухгалтера Мадрасского портового фонда .

В письме от 9 февраля 1912 года Рамануджан писал:

Сэр,
 насколько я понимаю, в вашем офисе есть вакансия клерка, и прошу подать заявление на то же самое. Я сдал экзамен на аттестат зрелости и учился до FA, но мне помешали продолжить учебу из-за нескольких неблагоприятных обстоятельств. Однако я все свое время посвящал математике и развитию предмета. Я могу сказать, что совершенно уверен, что смогу отдать должное своей работе, если меня назначат на эту должность. Поэтому я прошу вас проявить достаточно любезности, чтобы назначить мне встречу. ^[42]

К его заявлению была приложена рекомендация профессора математики Президентского колледжа Э. У. Миддлмаста , который написал, что Рамануджан был «молодым человеком с весьма выдающимися способностями в математике». ^[43] Через три недели после подачи заявления, 1 марта, Рамануджан узнал, что его приняли бухгалтером класса III и IV, зарабатывая 30 рупий в месяц. ^{[14] : 96} В своем офисе Рамануджан легко и быстро выполнил порученную ему работу и проводил свободное время, занимаясь математическими исследованиями. Босс Рамануджана, сэр Фрэнсис Спринг , и С. Нараяна Айер, коллега, который также был казначеем Индийского математического общества, поощряли Рамануджана в его математических занятиях.

Связь с британскими математиками

Весной 1913 года Нараяна Айер, Рамачандра Рао и Э. У. Миддлмаст попытались представить работу Рамануджана британским математикам. MJM Hill из Университетского колледжа Лондона отметил, что в документах Рамануджана много дыр. ^{[14] : 105} Он сказал, что, хотя Рамануджан «имел вкус к математике и некоторые способности», ему не хватало необходимого образования и основы, чтобы быть принятым математиками. ^[44] Хотя Хилл не предлагал взять Рамануджана в ученики, он дал обстоятельные и серьезные профессиональные советы по его работе. С помощью друзей Рамануджан писал письма ведущим математикам Кембриджского университета. ^{[14] : 106}

Первые два профессора, Х. Ф. Бейкер и Э. У. Хобсон , вернули статьи Рамануджана без комментариев. ^{[14] : 170–171} 16 января 1913 года Рамануджан написал Г. Х. Харди . ^[45] Эти девять страниц математики, написанные неизвестным математиком, заставили Харди первоначально рассматривать рукописи Рамануджана как возможную подделку. ^[46] Харди узнал некоторые формулы Рамануджана, но другим «казалось, что в это трудно поверить». ^{[47] : 494} Одна из поразительных теорем, которую нашел Харди, находится внизу третьей страницы (действительна для 0 < a < b +1/2):

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\times {\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+2)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}\times \cdots \,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+1)}{\Gamma (a)\Gamma \left(b+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(b-a+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$

Харди также был впечатлен некоторыми другими работами Рамануджана, относящимися к бесконечным сериям:

${\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {2}{\pi }}}$

${\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {2{\sqrt {2}}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.}$

Первый результат уже был получен Г. Бауэром в 1859 году. Второй результат был новым для Харди и был получен из класса функций, называемых гипергеометрическими рядами , который впервые был исследован Эйлером и Гауссом. Харди нашел эти результаты «гораздо более интригующими», чем работа Гаусса по интегралам. ^{[14] : 167} Увидев теоремы Рамануджана о непрерывных дробях на последней странице рукописей, Харди сказал, что эти теоремы «полностью победили меня; я никогда раньше не видел ничего подобного им», ^{[14] : 168} и что они «должно быть правдой, потому что, если бы они не были правдой, ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их».^{[14] :168} Харди попросил своего коллегу, Дж. Э. Литтлвуда , взглянуть на документы. Литтлвуд был поражен гением Рамануджана. Обсудив документы с Литтлвудом, Харди пришел к выводу, что письма были «безусловно самыми замечательными, которые я получал» и что Рамануджан был «математиком высочайшего качества, человеком совершенно исключительной оригинальности и силы». ^{[47] : 494–495} Один из коллег, Э. Х. Невилл , позже заметил, что «ни одна [теорема] не могла быть установлена ​​в самом продвинутом математическом исследовании в мире». ^[40]

8 февраля 1913 года Харди написал Рамануджану письмо, в котором выразил интерес к его работе, добавив, что «очень важно, чтобы я увидел доказательства некоторых из ваших утверждений». ^[48] Прежде, чем его письмо прибыло в Мадрас в течение третьей недели февраля, Харди связался с индийским офисом, чтобы спланировать поездку Рамануджана в Кембридж. Секретарь Консультативного комитета индийских студентов Артур Дэвис встретился с Рамануджаном, чтобы обсудить заграничную поездку. ^[49] В соответствии со своим браминским воспитанием Рамануджан отказался покинуть свою страну, чтобы «отправиться в чужую страну». ^{[14] : 185} Тем временем он отправил Харди письмо, набитое теоремами, в котором писал: «Я нашел в вас друга, который сочувственно относится к моему труду». ^[50]

В дополнение к одобрению Харди Гилберт Уокер , бывший преподаватель математики в Тринити-колледже в Кембридже , взглянул на работу Рамануджана и выразил удивление, призвав молодого человека провести время в Кембридже. ^{[14] : 175} В результате поддержки Уолкера Б. Хануманта Рао, профессор математики инженерного колледжа, пригласил коллегу Рамануджана Нараяну Айер на заседание Совета по математике, чтобы обсудить, «что мы можем сделать для С. Рамануджан ". ^[51] Правление согласилось предоставить Рамануджану ежемесячную исследовательскую стипендию в размере 75 рупий в течение следующих двух лет в Университете Мадраса . ^[52]Пока он был студентом-исследователем, Рамануджан продолжал отправлять статьи в Журнал Индийского математического общества. В одном случае Айер представил в журнал некоторые из теорем Рамануджана о суммировании рядов, добавив: «Следующая теорема принадлежит С. Рамануджану, студенту-математику Мадрасского университета». Позже в ноябре британский профессор Эдвард Б. Росс из Христианского колледжа Мадраса , с которым Рамануджан познакомился несколько лет назад, ворвался в его класс однажды с горящими глазами и спросил своих студентов: «Знает ли Рамануджан польский?» Причина заключалась в том, что в одной статье Рамануджан предвосхитил работу польского математика, чья статья только что пришла дневной почтой. ^[53]В своих ежеквартальных статьях Рамануджан сформулировал теоремы, упрощающие решение определенных интегралов. Отрабатывая интегральную теорему Джулиано Фруллани 1821 года, Рамануджан сформулировал обобщения, которые можно было сделать для вычисления ранее неподатливых интегралов. ^{[14] : 183}

Переписка Харди с Рамануджаном испортилась после того, как Рамануджан отказался приехать в Англию. Харди пригласил своего коллегу, читающего лекции в Мадрасе, Э. Х. Невилла, чтобы он наставником и привез Рамануджана в Англию. ^{[14] : 184} Невилл спросил Рамануджана, почему он не поедет в Кембридж. Рамануджан, по-видимому, принял это предложение; Невилл сказал: «Рамануджан не нуждался в обращении», и «сопротивление его родителей было снято». ^[40] По-видимому, матери Рамануджана приснился яркий сон, в котором семейная богиня, божество Намагири , приказала ей «больше не стоять между ее сыном и выполнением цели его жизни». ^[40] Рамануджан отправился в Англию на корабле, оставив жену, чтобы остаться с родителями в Индии.

Жизнь в Англии

Рамануджан вылетел из Мадраса на борту SS Nevasa 17 марта 1914 года. ^{[14] : 196} Когда он высадился в Лондоне 14 апреля, Невилл ждал его с машиной. Четыре дня спустя Невилл отвез его в свой дом на Честертон-роуд в Кембридже. Рамануджан немедленно начал свою работу с Литтлвудом и Харди. Через шесть недель Рамануджан переехал из дома Невилла и поселился на Уэвеллс-Корт, в пяти минутах ходьбы от комнаты Харди. ^{[14] : 202} Харди и Литтлвудначал смотреть в записные книжки Рамануджана. Харди уже получил 120 теорем от Рамануджана в первых двух письмах, но в записных книжках было гораздо больше результатов и теорем. Харди увидел, что одни ошибались, другие уже были обнаружены, а остальные были новыми открытиями. ^[54] Рамануджан произвел глубокое впечатление на Харди и Литтлвуда. Литтлвуд прокомментировал: «Я верю, что он, по крайней мере, Якоби » ^{[55], в} то время как Харди сказал, что «может сравнивать его только с Эйлером или Якоби». ^[56]

Рамануджан провел почти пять лет в Кембридже, сотрудничая с Харди и Литтлвудом, и опубликовал там часть своих открытий. Харди и Рамануджан имели очень разные личности. Их сотрудничество было столкновением разных культур, верований и стилей работы. В предыдущие несколько десятилетий основы математики были поставлены под сомнение, и необходимость в математически строгихдоказательства признаны. Харди был атеистом и апостолом доказательств и математической строгости, тогда как Рамануджан был глубоко религиозным человеком, который очень сильно полагался на свою интуицию и проницательность. Харди изо всех сил старался восполнить пробелы в образовании Рамануджана и наставлять его в необходимости формальных доказательств, подтверждающих его результаты, не препятствуя его вдохновению - конфликт, который не был легким.

Рамануджан был удостоен степени бакалавра гуманитарных наук ^{[57] [58]} (предшественник степени доктора философии) в марте 1916 г. за свою работу над составными числами , первая часть которой была опубликована в предыдущем году в Труды Лондонского математического общества . Статья объемом более 50 страниц доказывала различные свойства таких чисел. Харди не любил эту тематическую область, но заметил, что, хотя она связана с тем, что он назвал «затонувшей математикой», в ней Рамануджан продемонстрировал «необычайное мастерство в алгебре неравенств». ^[59] 6 декабря 1917 года Рамануджан был избран членом Лондонского математического общества. 2 мая 1918 г. он был избранЧлен Королевского общества , ^[60] второй индийский признали, после Ардейсир Керсетжи в 1841 году в возрасте 31 Ramanujan был один из самых молодых стипендиатов в истории Королевского общества. Он был избран «за исследования в области эллиптических функций и теории чисел». 13 октября 1918 года он был первым индейцем, избранным членом Тринити-колледжа в Кембридже . ^{[14] : 299–300}

Болезнь и смерть

Рамануджан всю жизнь страдал от проблем со здоровьем. Его здоровье ухудшилось в Англии; возможно, он также был менее устойчивым из-за трудностей с соблюдением строгих диетических требований его религии там и из-за нормирования военного времени в 1914-1918 годах. Ему поставили диагноз туберкулез, тяжелый авитаминоз и поместили в санаторий . В 1919 году он вернулся в Кумбаконам , президентство Мадраса , и в 1920 году умер в возрасте 32 лет. После его смерти его брат Тирунараянан составил оставшиеся рукописные заметки Рамануджана, состоящие из формул для единичных модулей, гипергеометрических рядов и непрерывных дробей. ^[29]

Вдова Рамануджана, Smt. Джанаки Аммал переехал в Бомбей ; в 1931 году она вернулась в Мадрас и поселилась в Трипликане , где содержала себя на пенсию Мадрасского университета и доход от портного. В 1950 году она усыновила сына У. Нараянана, который со временем стал сотрудником Государственного банка Индии и вырастил семью. В более поздние годы ей была предоставлена ​​пожизненная пенсия от бывшего работодателя Рамануджана, Madras Port Trust, и пенсии, в том числе от Индийской национальной академии наук и правительств штатов Тамил Наду , Андхра-Прадеш и Западной Бенгалии.. Она продолжала беречь память Рамануджана и активно пыталась повысить его общественное признание; выдающиеся математики, в том числе Джордж Эндрюс, Брюс С. Берндт и Бела Боллобас, решили посетить ее в Индии. Она умерла в своей резиденции в Трипликане в 1994 году. ^{[28] [29]}

Анализ медицинских карт и симптомов Рамануджана, проведенный доктором Д.А.Б. Янгом ^{[61] в} 1994 году, пришел к выводу, что его медицинские симптомы, включая его прошлые рецидивы, лихорадку и заболевания печени, были намного ближе к тем, которые возникли в результате амебиаза печени , болезни, широко распространенной в то время в Мадрасе. , чем туберкулез. Перед отъездом из Индии у него было два эпизода дизентерии . При отсутствии должного лечения дизентерия может находиться в состоянии покоя в течение многих лет и приводить к печеночному амебиазу, диагноз которого тогда еще не был установлен. ^[62] В то время при правильном диагнозе амебиаз был излечимым и часто излечимым заболеванием; ^{[62] [63]}Британские солдаты, заразившиеся им во время Первой мировой войны, успешно излечились от амебиаза примерно в то время, когда Рамануджан покинул Англию. ^[64]

Личность и духовная жизнь

Рамануджан описывается как человек застенчивого и тихого нрава, достойный человек с приятными манерами. ^[65] Он жил простой жизнью в Кембридже. ^{[14] : 234,241} Первые индийские биографы Рамануджана описывают его как строго ортодоксального индуиста . Он доверял свою хватку на его семьи богини , Namagiri Thayar (Богиня Махалакшми) из Namakkal . Он искал в ней вдохновения в своей работе ^{[14] : 36} и сказал, что ему снились капли крови, которые символизировали ее супруга, Нарасимху . Позже у него были видения свитков сложного математического содержания, разворачивающихся перед его глазами.^{[14] : 281} Он часто говорил: «Уравнение для меня не имеет значения, если оно не выражает мысль о Боге». ^[66]

Харди цитирует Рамануджана, отметившего, что все религии казались ему одинаково верными. ^{[14] : 283} Харди далее утверждал, что религиозные убеждения Рамануджана были романтизированы западными людьми и преувеличены - в отношении его веры, а не практики - индийскими биографами. В то же время он отметил строгое вегетарианство Рамануджана . ^[67]

Математические достижения

В математике есть различие между пониманием и формулированием или проработкой доказательства. Рамануджан предложил множество формул, которые можно было бы изучить позже. Дж. Х. Харди сказал, что открытия Рамануджана необычайно богаты и что зачастую в них есть нечто большее, чем кажется на первый взгляд. В результате его работы были открыты новые направления исследований. Примеры наиболее интригующих из этих формул включают бесконечный ряд для π , один из которых приведен ниже:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}.}$

Этот результат основан на отрицательном фундаментальном дискриминанте d = −4 × 58 = −232 с номером класса h ( d ) = 2 . Далее, 26390 = 5 × 7 × 13 × 58 и 16 × 9801 = 396 ² , что связано с тем, что

${\textstyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104.000000177\dots .}$

Это можно сравнить с числами Хегнера , которые имеют класс номер 1 и дают аналогичные формулы.

Ряд Рамануджана для π чрезвычайно быстро сходится и составляет основу некоторых из самых быстрых алгоритмов, используемых в настоящее время для вычисления π . Усечение суммы до первого члена также дает приближение9801 √ 2/4412для π , что правильно до шести десятичных знаков; усечение его до первых двух членов дает значение с точностью до 14 десятичных знаков. См. Также более общую серию Рамануджана – Сато .

Одной из замечательных способностей Рамануджана было быстрое решение проблем, о чем свидетельствует следующий анекдот об инциденте, в котором П.К. Махаланобис поставил проблему:

Представьте, что вы находитесь на улице, дома которой отмечены от 1 до n . Между ( x ) находится дом , сумма номеров домов слева от него равна сумме номеров домов справа. Если n находится между 50 и 500, что такое n и x ? ' Это двумерная проблема с несколькими решениями. Рамануджан подумал об этом и дал ответ с изюминкой: он дал непрерывную дробь.. Необычным было то, что это было решение целого класса проблем. Махаланобис был поражен и спросил, как ему это удалось. 'Это просто. В ту минуту, когда я услышал проблему, я понял, что ответ - непрерывная дробь. Какая непрерывная дробь, спрашивал я себя. Тогда ответ пришел мне в голову », - ответил Рамануджан» ^{[68] [69]}

Его интуиция также привела его к выводу некоторых ранее неизвестных личностей , таких как

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}\left({\frac {1}{4}}\right)}}\end{aligned}}}$

для всех θ , где Γ ( z ) - гамма-функция , связанная со специальным значением эта-функции Дедекинда . Разложение в ряд по степеням и приравнивание коэффициентов при θ ⁰ , θ ⁴ и θ ⁸ дает некоторые глубокие тождества для гиперболического секанса .

В 1918 году Харди и Рамануджан всесторонне изучили статистическую сумму P ( n ) . Они дали несходящийся асимптотический ряд, который позволяет точно вычислить количество разбиений целого числа. В 1937 году Ганс Радемахер уточнил свою формулу, чтобы найти точное сходящееся решение этой проблемы. Работа Рамануджана и Харди в этой области привела к появлению нового мощного метода поиска асимптотических формул, названного методом круга . ^[70]

В последний год своей жизни Рамануджан обнаружил фиктивные тета-функции . ^{[71] В} течение многих лет эти функции были загадкой, но теперь известно, что они являются голоморфными частями гармонических слабых форм Маасса .

Гипотеза Рамануджана

Хотя существует множество утверждений, которые можно было бы назвать гипотезой Рамануджана, одно из них оказало большое влияние на более поздние работы. В частности, связь этой гипотезы с гипотезами Андре Вейля в алгебраической геометрии открыла новые области исследований. Эта гипотеза Рамануджана является утверждением о размере тау-функции , которая имеет в качестве производящей функции дискриминантную модулярную форму Δ ( q ), типичную форму возврата в теории модулярных форм . Это было окончательно доказано в 1973 году в результате доказательства гипотез Вейля Пьером Делинем.. Используемый этап редукции сложен. В 1978 году Делинь получил за эту работу медаль Филдса . ^[7]

В своей статье «О некоторых арифметических функциях» Рамануджан определил так называемую дельта-функцию, коэффициенты которой называются τ ( n ) ( тау-функцией Рамануджана ). ^[72] Он доказал множество сравнений для этих чисел, например, τ ( p ) ≡ 1 + p ¹¹ mod 691 для простых чисел p . Это сопоставление (и другие, подобные тому, что доказал Рамануджан) вдохновило Жан-Пьера Серра (медали Филдса 1954 г.) на предположение, что существует теория представлений Галуа, которая «объясняет» эти сопоставления и все модульные формы в целом. Δ ( z )является первым примером модульной формы, которую нужно изучить таким образом. Делинь (в своей работе, получившей медаль Филдса) доказал гипотезу Серра. Доказательство Великой теоремы Ферма начинается с новой интерпретации эллиптических кривых и модулярных форм в терминах этих представлений Галуа. Без этой теории не было бы доказательства Великой теоремы Ферма. ^[73]

Блокноты Рамануджана

Еще в Мадрасе Рамануджан записал основную часть своих результатов в четырех блокнотах с отрывными листами . В основном они написаны без каких-либо выводов. Вероятно, отсюда и заблуждение, что Рамануджан не смог доказать свои результаты и просто придумал окончательный результат напрямую. Математик Брюс С. Берндт в своем обзоре этих записных книжек и работы Рамануджана говорит, что Рамануджан, безусловно, смог доказать большую часть своих результатов, но решил не делать этого.

Это могло быть по любому количеству причин. Поскольку бумага была очень дорогой, Рамануджан делал большую часть своей работы и, возможно, свои корректуры на грифельной доске , а затем переносил на бумагу только результаты. В то время школьники-математики в президентстве Мадраса использовали грифельную доску . Вполне вероятно, что на него также повлиял стиль книги Г.С. Карра , в которой результаты изложены без доказательств. Наконец, вполне возможно, что Рамануджан считал свою работу исключительно своей личной заинтересованностью и поэтому записал только результаты. ^[74]

В первой записной книжке 351 страница с 16 несколько организованными главами и некоторым неорганизованным материалом. У второго 256 страниц в 21 главе и 100 неорганизованных страниц, а у третьего 33 неорганизованных страницы. Результаты в его записных книжках вдохновили более поздних математиков на многочисленные работы, пытающиеся доказать то, что он обнаружил. Сам Харди написал статьи, исследующие материал из работ Рамануджана, так же как и Г. Н. Уотсон , Б. М. Уилсон и Брюс Берндт. ^[74] В 1976 году Джордж Эндрюс вновь четвертый ноутбук с 87 неорганизованных страниц, так называемого «потерянного ноутбука» . ^[62]

Харди – Рамануджан номер 1729

Число 1729 известно как число Харди-Рамануджана после знаменитого визита Харди, чтобы увидеть Рамануджана в больнице. По словам Харди: ^[75]

Я помню, как однажды я пошел к нему, когда он был болен в Патни . Я ехал в такси номер 1729 и заметил, что номер показался мне довольно скучным , и что я надеюсь, что это не плохой знак. «Нет, - ответил он, - это очень интересное число; это наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух кубиков двумя разными способами».

Непосредственно перед этим анекдотом Харди процитировал слова Литтлвуда: «Каждое положительное целое число было одним из личных друзей [Рамануджана]». ^[76]

Есть два разных способа:

${\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}.}$

Обобщения этой идеи создали понятие « номера такси ».

Взгляды математиков на Рамануджана

В своем некрологе к Рамануджану, написанному для Nature в 1920 году, Харди заметил, что работа Рамануджана в основном затрагивала области, менее известные даже среди других чистых математиков, заключая:

Его понимание формул было довольно удивительным и превосходило все, что я встречал у любого европейского математика. Возможно, бесполезно рассуждать о его истории, если бы он познакомился с современными идеями и методами в шестнадцать лет, а не в двадцать шесть. Не будет экстравагантным предположить, что он мог бы стать величайшим математиком своего времени. То, что он на самом деле сделал, достаточно замечательно… когда исследования, предложенные его работой, будут завершены, это, вероятно, покажется намного более чудесным, чем сегодня. ^[47]

Харди далее сказал:

Он объединил в себе силу обобщения, чувство формы и способность быстро изменять свои гипотезы, которые часто действительно поражали, и сделал его в его собственной специфической области без соперника в свое время. Ограниченность его знаний была такой же поразительной, как и их глубина. Это был человек, который мог составить модульные уравнения и теоремы ... в неслыханном порядке, чье мастерство с непрерывными дробями было ... выше, чем у любого математика в мире, который нашел для себя функциональное уравнение дзета-функции и основные термины многих из самых известных проблем аналитической теории чисел; и все же он никогда не слышал о двоякопериодической функции или теореме Коши., и действительно имел лишь смутное представление о том, что такое функция комплексной переменной ... » ^{[77] [ неудачная проверка ]}

Когда его спросили о методах, которые Рамануджан использовал, чтобы прийти к своим решениям, Харди сказал, что они были «достигнуты путем смешения аргументов, интуиции и индукции, о которых он был совершенно неспособен дать какое-либо связное объяснение». ^[78] Он также сказал, что «никогда не встречал себе равных и может сравнивать его только с Эйлером или Якоби ». ^[78]

К. Шриниваса Рао сказал ^[79]: «Что касается его места в мире математики, мы процитируем Брюса К. Берндта:« Пол Эрдёш передал нам личные оценки математиков Харди. Предположим, что мы оцениваем математиков на основе чистого таланта по шкале от 0 до 100. Харди дал себе оценку 25, JE Литтлвуд 30, Давид Гильберт 80 и Ramanujan 100. ' "Во время лекции в мае 2011 года в ИИТ Мадрас , Берндт сказал , что за последние 40 лет, поскольку почти все предположения Рамануджана были доказаны, работа Рамануджана и его талант стали более ценимыми, и теперь работа Рамануджана проникает во многие области современной математики и физики.^[71][80]

Посмертное признание

Через год после его смерти журнал Nature включил Рамануджана в число других выдающихся ученых и математиков в «Календаре научных пионеров», добившихся выдающихся результатов. ^[81] Родной штат Рамануджана, Тамил Наду, отмечает 22 декабря (день рождения Рамануджана) как «День информационных технологий штата». Марки с изображением Рамануджана были выпущены правительством Индии в 1962, 2011, 2012 и 2016 годах ^[82].

Начиная со столетнего юбилея Рамануджана, его день рождения, 22 декабря, ежегодно отмечается как День Рамануджана в Государственном колледже искусств Кумбаконама , где он учился, и в медресе ИИТ в Ченнаи . Международный центр теоретической физики (ICTP) создал приз в имени Рамануджама для молодых математиков из развивающихся стран в сотрудничестве с Международным математическим союзом , который назначает член комитета приза. Университет SASTRA , частный университет, расположенный в штате Тамил Наду , учредил премию SASTRA Ramanujan Prize в размере долларов США.Ежегодно 10 000 будут выдаваться математикам не старше 32 лет за выдающийся вклад в область математики, на которую повлиял Рамануджан. На основании рекомендаций комитета, назначенного Комиссией по университетским грантам (UGC) при правительстве Индии, Центр Шринивасы Рамануджан, созданный SASTRA, был объявлен вне кампусного центра в рамках SASTRA University. Дом математики Рамануджана, музей жизни и творчества Рамануджана, также находится в этом кампусе. САСТРА купила и отремонтировала дом, где жил Рамануджан, в Кумабаконаме. ^[83]

В 2011 году, к 125-летию со дня его рождения, правительство Индии объявило, что 22 декабря ежегодно будет отмечаться как Национальный день математики . ^[84] Тогда премьер-министр Индии Манмохан Сингх также объявил, что 2012 год будет отмечаться как Национальный год математики . ^[85]

Ramanujan IT City - это специальная экономическая зона (СЭЗ) информационных технологий (ИТ) в Ченнаи , построенная в 2011 году. Расположенная рядом с парком Тидель , она включает 25 акров (10 га) с двумя зонами общей площадью 5,7 миллиона человек. квадратных футов (530 000 м ² ), включая 4,5 миллиона квадратных футов (420 000 м ² ) офисных площадей. ^[86]

В популярной культуре

• Человек, который знал бесконечность - фильм 2015 года, основанный на книге Канигеля. Британский актер Дев Патель играет Рамануджана. ^{[87] [88] [89]}
• Ramanujan , индо-британского сотрудничества фильм хроники жизни Рамануджана, был выпущен в 2014 году независимой кинокомпании камфора кино . ^[90] В состав съемочной группы входят режиссер Гнана Раджасекаран , оператор Санни Джозеф и редактор Б. Ленин . ^{[91] [92]} Индийский и английские звезды Абайней Вадди, Саейзини Маниратнам , Бхама , Кевин Макгоуэн и Майкл Либер звезда в ключевых ролях. ^[93]
• Нандан Кудхьяди снял индийские документальные фильмы о математике «Гений Шринивасы Рамануджана» (2013) и « Шриниваса Рамануджан»: «Математик и его наследие» (2016). ^[94]
• Рамануджан (Человек, который придал форму математике ХХ века) , индийская документальная драма режиссера Акашдипа, выпущенная в 2018 году. ^[95]
• Роман-триллер М.Н.Криша «Стерадианская тропа» объединяет Рамануджана и его случайное открытие в сюжет, связывающий религию, математику, финансы и экономику. ^{[96] [97]}
• «Разделение» , пьеса Иры Хауптмана о Харди и Рамануджане, впервые была поставлена ​​в 2013 году. ^{[98] [99] [100] [101]}
• Пьеса « Человек первого класса» от Alter Ego Productions ^[102] была основана на пьесе Дэвида Фримена « Человек первого класса» . Игра сосредоточена вокруг Рамануджана и его сложных и дисфункциональных отношений с Харди. 16 октября 2011 года было объявлено, что Роджер Споттисвуд , наиболее известный по фильму о Джеймсе Бонде « Завтра не умрет никогда» , работает над версией фильма с Сиддхартом в главной роли . ^[103]
• «Исчезающее число» - британская постановка компании Complicite, в которой исследуются отношения Харди и Рамануджана. ^[104]
• Роман Дэвида Ливитта « Индийский клерк» исследует события, последовавшие за письмом Рамануджана Харди. ^{[105] [106]}
• Google почтил Рамануджана в день его 125-летия, заменив свой логотип каракули на своей домашней странице. ^{[107] [108]}
• Рамануджан был упомянут в фильме 1997 года « Умница Уилл Хантинг» , в сцене, где профессор Джеральд Ламбо ( Стеллан Скарсгард ) объясняет Шону Магуайру ( Робин Уильямс ) гений Уилла Хантинга ( Мэтт Дэймон ), сравнивая его с Рамануджаном. ^[109]
• Блестящий математик Амита Рамануджан из телешоу Numb3rs , которую играет полуиндийская актриса Нави Рават , назван в честь Рамануджана.

Дальнейшие работы по математике Рамануджана

• Джордж Эндрюс и Брюс С. Берндт , Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть I (Springer, 2005, ISBN  0-387-25529-X ) ^[110]
• Джордж Эндрюс и Брюс С. Берндт, Потерянная тетрадь Рамануджана: Часть II , (Springer, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8 ) 
• Джордж Эндрюс и Брюс С. Берндт, Потерянная тетрадь Рамануджана: Часть III , (Springer, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0 ) 
• Джордж Эндрюс и Брюс С. Берндт, Потерянная тетрадь Рамануджана: Часть IV , (Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2 ) 
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс С. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть V , (Springer, 2018, ISBN 978-3-319-77832-7 ) 
• М. П. Чаудхари, Простое решение некоторых интегралов, данное Шринивасой Рамануджаном, (Resonance: J. Sci. Education - публикация Индийской академии наук, 2008 г.) ^[111]
• М. П. Чаудхари, Мок-тэта-функции для имитации тэта-гипотез, SCIENTIA, Series A: Math. Sci., (22) (2012) 33–46.
• М. П. Чаудхари, О модульных отношениях для тождеств типа Роджера-Рамануджана, Pacific J. Appl. Матем., 7 (3) (2016) 177–184.

Избранные публикации о Рамануджане и его творчестве

Избранные публикации о произведениях Рамануджана

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

Ссылки на СМИ

• Бисвас, Соутик (16 марта 2006 г.). «Фильм, посвященный гению математики» . BBC . Проверено 24 августа 2006 года .
• Художественный фильм Дева Бенегала и Стивена Фрая о гении математики Рамануджане
• Радиопрограмма BBC о Рамануджане - серия 5
• Биографическая песня о жизни Рамануджана

Биографические ссылки

• Шриниваса Рамануджан на проекте « Математическая генеалогия»
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Шриниваса Рамануджан" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг (ред.). «Рамануджан, Шриниваса (1887–1920)» . ScienceWorld .
• Краткая биография Рамануджана
• "Наш посвященный сайт великого математического гения"

Прочие ссылки

• Кем был Рамануджан?
• Группа по изучению математики: Шриниваса Рамануджан Айенгар
• The Ramanujan Journal - международный журнал, посвященный Рамануджану.
• Премии Международного математического союза , включая премию Рамануджана
• Hindu.com: норвежские и индийские математические гении , Ramanujan - Рефераты и обзоры , растущее влияние Рамануджана , наставник Рамануджана
• Hindu.com: спонсор Рамануджана
• Брюс С. Берндт; Роберт А. Ранкин (2000). «Книги, изученные Рамануджаном в Индии». Американский математический ежемесячник . 107 (7): 595–601. DOI : 10.2307 / 2589114 . JSTOR  2589114 . Руководство по ремонту  1786233 .
• «Головоломка с тета-функцией Рамануджана решена»
• Документы и записные книжки Рамануджана
• Пример страницы из второй записной книжки
• Рамануджан о Fried Eye
• Кларк, Алекс. «163 и константа Рамануджана» . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 4 февраля 2018 года . Проверено 23 июня 2018 .