В математике , A макет модульная формой является голоморфной частью гармонической слабой формы Маассы и макет теты - функция , по существу , макет модулярной формы веса 1/2. Первые примеры фиктивных тета-функций были описаны Шринивасой Рамануджаном в его последнем письме 1920 г. Г. Х. Харди и в его потерянной записной книжке . Сандер Цвегерс обнаружил, что добавление к ним некоторых неголоморфных функций превращает их в гармонические слабые формы Маасса. [1] [2]
История
Оригинальное определение фиктивной тета-функции, данное Рамануджаном [3]
В письме Рамануджана Харди от 12 января 1920 г. [3] было перечислено 17 примеров функций, которые он назвал имитацией тета-функций, а его потерянный блокнот [4] содержал еще несколько примеров. (Рамануджан использовал термин «тета-функция» для того, что сегодня назвали бы модульной формой.) Рамануджан указал, что у них есть асимптотическое расширение на куспидах, аналогичное расширению модульных форм веса 1/2, возможно, с полюсами на куспидах. , но не могут быть выражены в терминах «обычных» тета-функций . Он назвал функции с похожими свойствами «имитацией тета-функций». Позже Цвегерс обнаружил связь фиктивной тета-функции со слабыми формами Маасса.
Рамануджан связал приказ со своими ложными тета-функциями, которые не были четко определены. До работы Цвегерса порядки известных имитационных тета-функций включали
- 3, 5, 6, 7, 8, 10.
Понятие Рамануджана порядка позже оказалось , чтобы соответствовать проводнику из характера Nebentypus из веса 1 / 2 гармонических форм Мааса , которые допускают фиктивные функции теты Рамануджама как их голоморфных проекции.
В следующие несколько десятилетий фиктивные тета-функции Рамануджана изучали Уотсон, Эндрюс, Сельберг, Хикерсон, Чой, Макинтош и другие, которые доказали утверждения Рамануджана о них и нашли еще несколько примеров и отождествлений. (Большинство «новых» идентичностей и примеров были уже известны Рамануджану и вновь появились в его утерянной записной книжке.) В 1936 году Уотсон обнаружил, что под действием элементов модульной группы фиктивные тета-функции порядка 3 почти трансформируются, как модульные формы. веса 1/2 (умноженного на подходящие степени q ), за исключением того, что в функциональных уравнениях есть "ошибки", которые обычно задаются в виде явных интегралов. [5] Однако в течение многих лет не существовало хорошего определения фиктивной тета-функции. Ситуация изменилась в 2001 году, когда Цвегерс обнаружил связь с неголоморфными модулярными формами, суммами Лерха и неопределенными тета-рядами. Цвегерс показал, используя предыдущую работу Уотсона и Эндрюса, что фиктивные тета-функции порядков 3, 5 и 7 могут быть записаны как сумма слабой формы веса Маасса. 1 ⁄ 2 и функция, ограниченная по геодезическим, заканчивающимся в точках возврата. [2] Слабая форма Маасса имеет собственное значение 3/16 под гиперболическим лапласианом (то же самое, что и голоморфные модулярные формы веса 1 ⁄ 2 ); однако он экспоненциально быстро растет вблизи каспа, поэтому он не удовлетворяет обычному условию роста для волновых форм Маасса . Цвегерс доказал этот результат тремя различными способами, связав фиктивные тэта-функции с тэта-функциями Гекке неопределенных решеток размерности 2, а также с суммами Аппеля – Лерха и мероморфными формами Якоби.
Фундаментальный результат Цвегерса показывает, что фиктивные тэта-функции являются «голоморфными частями» вещественных аналитических модулярных форм веса 1/2. Это позволяет распространить многие результаты о модульных формах на имитацию тета-функций. В частности, как и модульные формы, фиктивные тета-функции все лежат в определенных явных конечномерных пространствах, что сводит длинные и жесткие доказательства многих тождеств между ними к рутинной линейной алгебре. Впервые стало возможным создать бесконечное количество примеров фиктивных тета-функций; до этой работы было известно всего около 50 примеров (большинство из которых впервые было обнаружено Рамануджаном). В качестве дальнейшего применения идей Цвегерса Катрин Брингманн и Кен Оно показали, что некоторые q-ряды, возникающие из базовых гипергеометрических рядов Роджерса – Файна, связаны с голоморфными частями гармонических слабых форм Маасса веса 3/2 [6], и показали, что асимптотические ряды для коэффициентов порядка 3 фиктивная тета-функция f ( q ), изученная Джорджем Эндрюсом [7] и Лейлой Драгонетт [8], сходится к коэффициентам. [9] В частности Mock тета - функций имеют асимптотические разложения на остриями в модулярной группы , действующей на верхней полуплоскости , которые напоминают модулярных форм веса 1/2 с полюсами в остриями.
Определение
Мнимая модульная форма будет определена как «голоморфная часть» гармонической слабой формы Маасса .
Зафиксируем вес k , обычно с интегралом 2 k . Зафиксируем подгруппу Γ в SL 2 ( Z ) (или метаплектическую группу, если k полуцелое ) и характер ρ группы Γ. Модулярная форма f для этого характера и эта группа Γ преобразуется под действием элементов Γ по формуле
Слабая Маасс форма веса к является непрерывной функцией на верхней полуплоскости , которая преобразуется как модулярной формой веса к и является собственной функцией весового K оператора Лапласа, и называется гармонической , если его собственное значение (1 - к / 2 ) к / 2. [10] Это собственное значение модулярных форм голоморфного веса k , так что все они являются примерами гармонических слабых форм Маасса. ( Форма Маасса - это слабая форма Маасса, которая быстро убывает в точках возврата.) Таким образом, гармоническая слабая форма Маасса аннулируется дифференциальным оператором
Если F - любая гармоническая слабая форма Маасса, то функция g, заданная формулой
голоморфна и преобразуется как модульная форма веса k , хотя может не быть голоморфной в точках возврата. Если мы сможем найти любую другую функцию g * с тем же образом g , то F - g * будет голоморфной. Такая функция задается путем обращения дифференциального оператора интегрированием; например, мы можем определить
где
по сути является неполной гамма-функцией . Интеграл сходится всякий раз , когда г имеет нуль в точке излома я ∞, и неполная гамму - функция может быть расширена с помощью аналитического продолжения, так что эта формула может быть использована для определения голоморфной части г * из F даже в том случае , когда г мероморфен на i ∞, хотя это требует некоторой осторожности, если k равно 1, или не является целым, или если n = 0. Обратный к дифференциальному оператору далеко не единственный, поскольку мы можем добавить любую гомоморфную функцию к g *, не влияя на ее образ, и в результате функция g * может не быть инвариантной относительно группы Γ. Функция ч = Р - г * называется голоморфная часть из F .
Макет модульной формы определяется как голоморфная часть ч некоторой гармонической слабой Маасса формы F . Таким образом, существует изоморфизм пространства фиктивных модулярных форм h в подпространство гармонических слабых форм Маасса.
Мнимая модулярная форма h голоморфна, но не совсем модульна, а h + g * модулярна, но не совсем голоморфна. Пространство фиктивных модулярных форм веса k содержит пространство почти модулярных форм («модулярных форм, которые могут быть мероморфными в точках возврата») веса k в качестве подпространства. Фактор (антилинейно) изоморфен пространству голоморфных модулярных форм веса 2 - k . Модулярная форма веса - (2 - k ) g, соответствующая фиктивной модулярной форме h , называется ее тенью . Довольно часто разные ложные тета-функции имеют одну и ту же тень. Например, 10 фиктивных тета-функций порядка 5, найденных Рамануджаном, делятся на две группы по 5, где все функции в каждой группе имеют одинаковую тень (с точностью до умножения на константу).
Дон Загье [11] определяет фиктивную тета-функцию как рациональную степень q = e 2π i τ, умноженную на фиктивную модульную форму веса 1/2, тень которой является тета-рядом вида
для положительного рационального κ и нечетной периодической функции ε . (Любая такая тета-серия представляет собой модульную форму веса 3/2). Рациональная сила q - историческая случайность.
Большинство ложных модульных форм и слабые формы Маасса имеют быстрый рост на куспидах. Обычно налагают условие, что они растут не более чем экспоненциально быстро на куспидах (что для фиктивных модульных форм означает, что они «мероморфны» на куспидах). Пространство фиктивных модулярных форм (заданного веса и группы), рост которых ограничен некоторой фиксированной экспоненциальной функцией в точках возврата, конечномерно.
Суммы Аппеля – Лерха
Суммы Аппеля – Лерха, обобщение рядов Ламберта , были впервые изучены Полем Эмилем Аппелем [12] и Матиасом Лерхом. [13] Уотсон изучил фиктивные тета-функции третьего порядка, выразив их в терминах сумм Аппеля – Лерха, и Цвегерс использовал их, чтобы показать, что фиктивные тета-функции по сути являются фиктивными модульными формами.
Серия Аппель – Лерха
где
а также
Модифицированная серия
где
и y = Im (τ) и
удовлетворяет следующим свойствам преобразования
Другими словами, модифицированный ряд Аппеля – Лерха преобразуется как модулярная форма по τ. Поскольку фиктивные тэта-функции могут быть выражены в терминах рядов Аппеля – Лерха, это означает, что имитирующие тэта-функции преобразуются как модульные формы, если к ним добавлен определенный неаналитический ряд.
Неопределенный тета-ряд
Джордж Эндрюс [14] показал, что некоторые из ложных тэта-функций пятого порядка Рамануджана равны частным Θ (τ) / θ (τ), где θ (τ) - модулярная форма веса 1/2, а Θ (τ) - тэта функция неопределенной двоичной квадратичной формы, а Дин Хикерсон [15] доказал аналогичные результаты для фиктивных тета-функций седьмого порядка. Цвегерс показал, как дополнить неопределенные тэта-функции для получения реальных аналитических модульных форм, и использовал это, чтобы дать еще одно доказательство связи между ложными тэта-функциями и слабыми волновыми формами Маасса.
Мероморфные формы Якоби
Джордж Эндрюс [16] заметил, что некоторые из ложных тэта-функций пятого порядка Рамануджана могут быть выражены в терминах частных тэта-функций Якоби. Цвегерс использовал эту идею, чтобы выразить фиктивные тета-функции как коэффициенты Фурье мероморфных форм Якоби.
Приложения
- Рут Лоуренс и Дон Загье связали фиктивные тета-функции с квантовыми инвариантами трехмерных многообразий. [17]
- А. М. Семихатов, А. Таормина и И. Ю. Типунин связали фиктивные тета-функции с бесконечномерными супералгебрами Ли и двумерной конформной теорией поля . [18]
- Дж. Трост показал, что модульные пополнения ложных модулярных форм возникают как эллиптические роды конформных теорий поля с непрерывным спектром. [19]
- Мок-тета-функции появляются в теории темного самогона .
- Атиш Дабхолкар, Самир Мурти и Дон Загир показали, что фиктивные модульные формы связаны с вырождением квантовых черных дыр в N = 4 теориях струн. [20]
Примеры
- Любая модульная форма веса k (возможно, только мероморфная в куспидах) является фиктивной модульной формой веса k с тенью 0.
- Квазимодулярный ряд Эйзенштейна
- веса 2 и уровня 1 - это фиктивная модульная форма веса 2 с постоянной тенью. Это значит, что
- преобразуется как модульная форма веса 2 (где τ = x + iy ).
- Функция, изученная Доном Загье [21] [22] с коэффициентами Фурье, которые являются числами класса Гурвица H ( N ) мнимых квадратичных полей, представляет собой фиктивную модульную форму веса 3/2, уровня 4 и тени ∑ q n 2 . Соответствующая форма слабой волны Маасса имеет вид
- где
- и y = Im (τ), q = e 2πiτ .
Мок-тэта-функции - это фиктивные модульные формы веса 1/2, тень которых является унарной тэта-функцией, умноженной на рациональную степень q (по историческим причинам). До того, как работа Цвегерса привела к общему методу их построения, большинство примеров было дано как базовые гипергеометрические функции , но это в значительной степени историческая случайность, и большинство фиктивных тета-функций не имеют известного простого выражения в терминах таких функций.
«Тривиальные» ложные тэта-функции - это (голоморфные) модулярные формы веса 1/2, которые были классифицированы Серром и Старком [23], которые показали, что все они могут быть записаны в терминах тэта-функций одномерных решеток.
В следующих примерах используются символы q-Pochhammer которые определяются как:
Заказ 2
Некоторые ложные тета-функции порядка 2 были изучены Макинтошем. [24]
- (последовательность A006304 в OEIS )
- (последовательность A153140 в OEIS )
- (последовательность A006306 в OEIS )
Функция μ была обнаружена Рамануджаном в его потерянной записной книжке.
Они относятся к функциям, перечисленным в разделе о функциях порядка 8.
Заказ 3
Рамануджан упомянул четыре ложные тэта-функции третьего порядка в своем письме Харди и перечислил еще три в своем потерянном блокноте, которые были повторно обнаружены Г. Н. Ватсоном . [5] Последний доказал отношения между ними, сформулированные Рамануджаном, а также нашел их преобразования под элементами модулярной группы, выразив их в виде сумм Аппеля – Лерха. Драгонетт [8] описал асимптотическое разложение их коэффициентов. Цвегерс [1] отнес их к гармоническим слабым маассовым формам. См. Также монографию Натана Файна. [25]
Семь фиктивных тета-функций третьего порядка, данные Рамануджаном:
- , (последовательность A000025 в OEIS ).
- (последовательность A053250 в OEIS ).
- (последовательность A053251 в OEIS ).
- (последовательность A053252 в OEIS ).
- (последовательность A053253 в OEIS ).
- (последовательность A053254 в OEIS ).
- (последовательность A053255 в OEIS ).
Первые четыре из них образуют группу с одинаковой тенью (с точностью до константы), как и последние три. Точнее, функции удовлетворяют следующим соотношениям (найденным Рамануджаном и доказанным Ватсоном):
Заказ 5
Рамануджан записал десять фиктивных тета-функций порядка 5 в своем письме Харди в 1920 году и указал на некоторые отношения между ними, которые были доказаны Уотсоном. [26] В своем потерянном ноутбуке он заявил еще некоторые тождества , связывающие эти функции, эквивалентные издеваться тета догадок , [27] , которые были доказаны Хикерсоном. [28] Эндрюс [14] нашел представления многих из этих функций как фактор неопределенного тета-ряда по модулярным формам веса 1/2.
- (последовательность A053256 в OEIS )
- (последовательность A053257 в OEIS )
- (последовательность A053258 в OEIS )
- (последовательность A053259 в OEIS )
- (последовательность A053260 в OEIS )
- (последовательность A053261 в OEIS )
- (последовательность A053262 в OEIS )
- (последовательность A053263 в OEIS )
- (последовательность A053264 в OEIS )
- (последовательность A053265 в OEIS )
- (последовательность A053266 в OEIS )
- (последовательность A053267 в OEIS )
Заказ 6
Рамануджан [4] записал в свой потерянный блокнот семь фиктивных тета-функций шестого порядка и назвал 11 тождеств между ними, что было доказано Эндрюсом и Хикерсоном. [29] Два тождества Рамануджана связывают φ и ψ с различными аргументами, четыре из них выражают φ и ψ в терминах рядов Аппеля – Лерха, а последние пять тождеств выражают оставшиеся пять ложных тета-функций шестого порядка в терминах φ и ψ. Берндт и Чан [30] открыли еще две функции шестого порядка. Макетные тета-функции порядка 6:
- (последовательность A053268 в OEIS )
- (последовательность A053269 в OEIS )
- (последовательность A053270 в OEIS )
- (последовательность A053271 в OEIS )
- (последовательность A053272 в OEIS )
- (последовательность A053273 в OEIS )
- (последовательность A053274 в OEIS )
- (последовательность A153251 в OEIS )
- (последовательность A153252 в OEIS )
Заказ 7
Рамануджан дал три фиктивных тета-функции порядка 7 в своем письме Харди в 1920 году. Они были изучены Сельбергом [31], который нашел асимптотическое разложение для их коэффициентов, и Эндрюсом. [14] Хикерсон [15] нашел представления многих из этих функций в виде частных неопределенных тета-рядов по модулярным формам веса 1/2. Цвегерс [1] [2] описал их свойства модульного преобразования.
- (последовательность A053275 в OEIS )
- (последовательность A053276 в OEIS )
- (последовательность A053277 в OEIS )
Эти три фиктивные тета-функции имеют разные тени, поэтому, в отличие от функций Рамануджана порядка 3 и 5, между ними и обычными модульными формами нет линейных отношений. Соответствующие слабые формы Маасса:
где
а также
является более или менее дополнительной функцией ошибок. В рамках метаплектической группы эти три функции преобразуются в соответствии с определенным трехмерным представлением метаплектической группы следующим образом:
Другими словами, они являются компонентами векторнозначной гармонической слабой формы Маасса веса 1/2.
Заказ 8
Гордон и Макинтош [32] нашли восемь фиктивных тета-функций порядка 8. Они нашли пять линейных соотношений, включающих их, и выразили четыре функции в виде сумм Аппеля – Лерха и описали их преобразования в модулярной группе. Две функции V 1 и U 0 были обнаружены ранее Рамануджаном [33] в его потерянной записной книжке.
- (последовательность A153148 в OEIS )
- (последовательность A153149 в OEIS )
- (последовательность A153155 в OEIS )
- (последовательность A153156 в OEIS )
- (последовательность A153172 в OEIS )
- (последовательность A153174 в OEIS )
- (последовательность A153176 в OEIS )
- (последовательность A153178 в OEIS )
Заказ 10
Рамануджан [34] перечислил четыре фиктивных тета-функции порядка 10 в своей утерянной записной книжке и установил некоторые связи между ними, которые были доказаны Чоем. [35] [36] [37] [38]
- (последовательность A053281 в OEIS )
- (последовательность A053282 в OEIS )
- (последовательность A053283 в OEIS )
- (последовательность A053284 в OEIS )
Заметки
- ^ а б в Цвегерс 2001 .
- ^ а б в Цвегерс 2002 .
- ^ а б Рамануджан 2000 , Приложение II.
- ^ а б Рамануджан 1988 .
- ^ а б Уотсон 1936 .
- ^ Bringmann, Фолс & Ono 2009 .
- ^ Эндрюс 1966 .
- ^ a b Dragonette 1952 .
- ^ Bringmann & Ono 2006 .
- ^ Bruinier & Funke 2004 .
- ^ Загир 2007 .
- ^ Аппель 1884 .
- ^ Lerch 1892 .
- ^ а б в Эндрюс 1986 .
- ^ a b Хикерсон 1988b .
- ^ Эндрюс 1988 .
- ^ Lawrence & Загир 1999 .
- ^ Семихаты, Taormina & Типунин 2005 .
- ^ Troost 2010 .
- ^ Dabholkar, Мурти и Загира 2012 .
- ^ Загир 1975 .
- ^ Хирцебрух & Загира 1976 , 2,2.
- ↑ Серр и Старк, 1977 .
- Перейти ↑ McIntosh 2007 .
- Перейти ↑ Fine 1988 .
- ^ Уотсон 1937 .
- ^ Эндрюс и Гарван 1989 .
- ^ Хикерсон 1988a .
- ^ Эндрюс и Хикерсон 1991 .
- Перейти ↑ Berndt & Chan 2007 .
- ↑ Сельберг, 1938 .
- Перейти ↑ Gordon & McIntosh, 2000 .
- ^ Рамануджан 1988 , стр. 8, уравнение 1; п. 29 уравнение 6.
- ^ Рамануджан 1988 , стр. 9.
- Перейти ↑ Choi 1999 .
- Перейти ↑ Choi 2000 .
- Перейти ↑ Choi 2002 .
- Перейти ↑ Choi 2007 .
Рекомендации
- Эндрюс, Джордж Э. (1966), "О теоремах Уотсоном и Dragonette для фиктивных тета - функций Рамануджана", Американский журнал математики , 88 (2): 454-490, DOI : 10,2307 / 2373202 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373202 , MR 0200258
- Эндрюс, Джордж Э. (1986), "Пятый и седьмой порядка функции издеваться тета", Труды Американского математического общества , 293 (1): 113-134, DOI : 10,2307 / 2000275 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 2000275 , Руководство по ремонту 0814916
- Эндрюс, Джордж Э. (1988), «Рамануджан пятого порядка имитирует тэта-функции как постоянные члены», пересмотр Рамануджана (Урбана-Шампейн, Иллинойс, 1987) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 47–56, MR 0938959
- Эндрюс, Джордж Э. (1989), «Мок-тэта-функции», Тэта-функции - Bowdoin 1987, Часть 2 (Brunswick, ME, 1987) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., 49 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 283–298, MR 1013178
- Эндрюс, Джордж Э .; Гарван, FG (1989), "потерянный ноутбук Рамануджана VI Ложная домыслы тета..", Успехи математических наук , 73 (2): 242-255, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (89) 90070-4 , ISSN 0001- 8708 , Руководство MR 0987276
- Эндрюс, Джордж Э .; Хикерсон, Дин (1991), «Потерянная записная книжка Рамануджана. VII. Имитация тета-функций шестого порядка», Успехи в математике , 89 (1): 60–105, DOI : 10.1016 / 0001-8708 (91) 90083-J , ISSN 0001-8708 , Руководство по ремонту 1123099
- Аппель, П. (1884), «Sur les fonctions doublement périodiques de troisième espèce», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 135–164, doi : 10.24033 / asens.236
- Берндт, Брюс С .; Чан, песни Хэн (2007), "шестого порядка функции макета тета", Прогресс в области математики , 216 (2): 771-786, DOI : 10.1016 / j.aim.2007.06.004 , ISSN 0001-8708 , МР 2351377
- Брингманн, Катрин ; Фолсом, Аманда ; Оно, Кен (2009). "Формы Маасса серии q и веса 3/2" (PDF) . Compositio Mathematica . 145 (3): 541–552. DOI : 10.1112 / S0010437X09004072 . S2CID 7688222 .
- Брингманн, Катрин; Оно, Кен (2006), «Гипотеза f (q) имитирует тета-функцию и ранги разбиения» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 165 (2): 243–266, Bibcode : 2006InMat.165..243B , doi : 10.1007 / s00222-005-0493-5 , ISSN 0020-9910 , MR 2231957 , S2CID 120388256 , заархивировано из оригинального (PDF) 29 августа 2006 г.
- Брингманн, Катрин; Оно, Кен (2007), «Поднимая куспид форм в формы Маасса с приложением к разделам» (PDF) , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 104 (10): 3725–3731, Bibcode : 2007PNAS ..104.3725B , doi : 10.1073 / pnas.0611414104 , ISSN 0027-8424 , MR 2301875 , PMC 1820651 , PMID 17360420 , заархивировано из оригинала (PDF) 28 августа 2008 г.
- Брингманн, Катрин; Оно, Кен (2010), «Ранги Дайсона и формы Маасса» (PDF) , Annals of Mathematics , 171 : 419, DOI : 10.4007 / annals.2010.171.419 , заархивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2006 г.
- Брюинье, Ян Хендрик; Функе, Йенс (2004), «О двух геометрических тета-лифтах», Duke Mathematical Journal , 125 (1): 45–90, arXiv : math / 0212286 , doi : 10.1215 / S0012-7094-04-12513-8 , ISSN 0012 -7094 , Руководство по эксплуатации 2097357 , S2CID 2078210
- Чой, Юн-Сео (1999), «Имитация тета-функций десятого порядка в потерянной записной книжке Рамануджана», Inventiones Mathematicae , 136 (3): 497–569, Bibcode : 1999InMat.136..497C , doi : 10.1007 / s002220050318 , ISSN 0020 -9910 , МР 1695205 , S2CID 125193659
- Ча Ён-Seo (2000), "фиктивная тета - функция десятого порядка в потерянном ноутбуке Рамануджама II.", Успехи математических наук , 156 (2): 180-285, DOI : 10,1006 / aima.2000.1948 , ISSN 0001-8708 , MR 1808245
- Чой Ён-Seo (2002), "фиктивный тета - функции десятого порядка в потерянном ноутбуке Рамануджама IV.", Труды Американского математического общества , 354 (2): 705-733, DOI : 10,1090 / S0002-9947-01-02861 -6 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 2693766 , MR 1862564
- Чой Ён-Seo (2007), "издеваться тета - функции десятого порядка в потерянном ноутбуке Рамануджама III", Труды Лондонского математического общества , 94 (1): 26-52, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / pdl006 , ISSN 0024- 6115 , Руководство MR 2293464
- Дабхолкар, Атиш; Мурти, Самир; Загир, Дон (2012), «Квантовые черные дыры, пересечение стен и имитация модульных форм», arXiv : 1208.4074 [ hep-th ]
- Dragonette, Лейла А. (1952), "Некоторые асимптотические формулы для фиктивного тета - рядов Рамануджане", Труды Американского математического общества , 72 (3): 474-500, DOI : 10,2307 / 1990714 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990714 , Руководство по ремонту 0049927
- Файн, Натан Дж. (1988), Основные гипергеометрические ряды и приложения , Математические обзоры и монографии, 27 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1524-3, Руководство по ремонту 0956465
- Garthwaite, Шарон Энн (2008), "Коэффициенты со (Q) фиктивная функция теты", Международный журнал теории чисел , 4 (6): 1027-1042, DOI : 10,1142 / S1793042108001869 , ISSN 1793-0421 , MR 2483310
- Гордон, Бэзил ; Макинтош, Ричард Дж (2000), "Некоторые фиктивные тета - функции восьмого порядка" , журнал Лондонского математического общества , 62 (2): 321-335, DOI : 10,1112 / S0024610700008735 , ISSN 0024-6107 , MR 1783627
- Хикерсон, Дин (1988a), "Доказательство ложно тэта догадок", Inventiones Mathematicae , 94 (3): 639-660, Bibcode : 1988InMat..94..639H , DOI : 10.1007 / BF01394279 , ISSN 0020-9910 , Руководство по ремонту 0969247 , S2CID 122492320
- Хикерсон, декан (1988b), "О фиктивных тета - функций седьмого порядка", Inventiones Mathematicae , 94 (3): 661-677, Bibcode : 1988InMat..94..661H , DOI : 10.1007 / BF01394280 , ISSN 0020-9910 , Руководство по ремонту 0969247 , S2CID 121384412
- Хирцебрух, Фридрих ; Загир, Дон (1976), "Числа пересечения кривых на модульных поверхностях Гильберта и модульные формы Небентипуса", Inventiones Mathematicae , 36 : 57–113, Bibcode : 1976InMat..36 ... 57H , doi : 10.1007 / BF01390005 , hdl : 21.11116 / 0000-0004-399B-E , ISSN 0020-9910 , MR 0453649 , S2CID 56568473
- Лоуренс, Рут; Загира, Дон (1999), "Модульные формы и квантовые инварианты 3-многообразий", Азиатский журнал математики , 3 (1): 93-107, DOI : 10,4310 / AJM.1999.v3.n1.a5 , ISSN 1093 -6106 , Руководство по ремонту 1701924
- Lerch, M. (1892), "Bemerkungen zur Theorie der elliptischen Funktionen", Jahrbuch uber die Fortschritte der Mathematik , 24 : 442–445
- Макинтош, Ричард Дж (2007), "второго порядка функции издеваться тета" , Canadian математический вестник , 50 (2): 284-290, DOI : 10,4153 / CMB-2007-028-9 , ISSN 0008-4395 , MR 2317449 , S2CID 119499438 , заархивировано из оригинала 09.12.2012
- Рамануджан, Шриниваса (1988), Потерянная записная книжка и другие неопубликованные документы , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-18726-4, Руководство по ремонту 0947735
- Ramanujan, Сриниваса (2000), "Сборник статей Сриниваса Рамануджане", Nature , Providence, RI, 123 (3104): 631, Bibcode : 1929Natur.123..631L , DOI : 10.1038 / 123631a0 , ISBN 978-0-8218-2076-6, Руководство по ремонту 2280843 , S2CID 44812911
- Сельберг, А. (1938), «Über die Mock-Thetafunktionen siebenter Ordnung. (О фиктивных тета-функциях седьмого порядка)», Архив для Mathematik og Naturvidenskab , 41 : 3–15 Перепечатан в I томе его собрания сочинений.
- Семихатов А.М.; Таормина, А .; Типунин, И. Ю. (2005), «Функции аппеля высшего уровня, модульные преобразования и символы», « Коммуникации в математической физике» , 255 (2): 469–512, arXiv : math / 0311314 , Bibcode : 2005CMaPh.255 .. 469S , DOI : 10.1007 / s00220-004-1280-7 , ISSN 0010-3616 , МР 2129953 , S2CID 14466569
- Серр, Жан-Пьер ; Старк, HM (1977), "Модульные формы веса 1/2", Модульные функции одной переменной, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn, Bonn, 1976) , Lecture Notes in Mathematics, 627 , Berlin , Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 27–67, doi : 10.1007 / BFb0065296 , ISBN 978-3-540-08530-0, Руководство по ремонту 0472707
- Трост, Дж. (2010), «Некомпактный эллиптический род: макет или модульный», Журнал физики высоких энергий , 2010 (6): 104, arXiv : 1004.3649 , Bibcode : 2010JHEP ... 06..104T , doi : 10.1007 / JHEP06 (2010) 104 , S2CID 84838021
- Уотсон, Г. Н. (1936), "Последнее дело: Изложение функций Mock Тета", журнал Лондонского математического общества , 11 : 55-80, DOI : 10.1112 / jlms / s1-11.1.55
- Уотсон, Г. Н. (1937), "Ложная Тета функции (2)", Труды Лондонского математического общества , s2-42: 274-304, DOI : 10.1112 / ПНИЛ / s2-42.1.274
- Загье, Дон (1975), "Nombres de classes et formes modulaires de poids 3/2", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 281 (21): Ai, A883 – A886, ISSN 0151-0509 , Руководство по ремонту 0429750
- Загьер, Дон (2009) [Впервые опубликовано в 2007 году], «Макетные тета-функции Рамануджана и их приложения (по Цвегерсу и Оно-Брингманну)» (PDF) , Séminaire Bourbaki. Exp. 986, Astérisque , 326 : 143–164, ISSN 0303-1179 , MR 2605321
- Цвегерс, С.П. (2001), «Поддельные θ-функции и вещественные аналитические модульные формы» (PDF) , q-ряды с приложениями к комбинаторике, теории чисел и физике (Урбана, Иллинойс, 2000) , Contemp. Math., 291 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 269–277, ISBN 978-0-8218-2746-8, Руководство по ремонту 1874536[ постоянная мертвая ссылка ]
- Цвегерс, SP (2002), Mock Theta Functions , Утрехтская докторская диссертация, ISBN 90-393-3155-3
- Цвегерс, С.П. (2008), Суммы Аппеля – Лерха как фиктивные модульные формы (PDF)[ постоянная мертвая ссылка ]
дальнейшее чтение
- Оно, Кен (2008), «Имитация тета-функций, рангов и форм Маасса», в Alladi, Krishnaswami (ed.), Surveys in Number Theory , Developments in Mathematics, 17 , Springer-Verlag , pp. 119–141, ISBN 978-0-387-78509-7, Zbl 1183,11064
Внешние ссылки
- Международная конференция: Mock theta functions and applications 2009
- Статьи о фиктивных тета - функций по Джордж Эндрюс
- Статьи о фиктивной тете - функциях по Катрин Брингманна
- Статьи о фиктивных тета - функций по Ken Ono
- Статьи о фиктивных тета - функций по Sander Zwegers
- Вайсштейн, Эрик В. «Макет тета-функции» . MathWorld .