В математике формы Маасса или волновые формы Маасса изучаются в теории автоморфных форм . Формы Маасса - это комплексные гладкие функции верхней полуплоскости, которые преобразуются аналогичным образом при работе дискретной подгруппы из как модульные формы. Они являются собственными формами гиперболического оператора Лапласа определено на и удовлетворяют некоторым условиям роста в точках возврата фундаментальной области . В отличие от модульных форм формы Маасса не обязательно должны быть голоморфными. Впервые их изучил Ханс Маасс в 1949 году.
Основные пометки
Группа
работает в верхней полуплоскости
дробно-линейными преобразованиями:
Его можно расширить до операции на путем определения:
Радоновая мера
определено на инвариантен относительно действия .
Позволять дискретная подгруппа . Фундаментальная область для это открытый набор , так что существует система представителей из с участием
Фундаментальная область модульной группы дан кем-то
Функция называется -инвариантно, если справедливо для всех и все .
Для каждого измеримого, -инвариантная функция уравнение
держит. Здесь мера в правой части уравнения стоит индуцированная мера на частном
Классические формы Maass
Определение гиперболического оператора Лапласа
Гиперболический оператор Лапласа на определяется как
Определение формы Маасса
Маассы образуют для группы комплекснозначная гладкая функция на удовлетворение
Если
мы называем Куспид Маасса.
Связь форм Маасса с серией Дирихле
Позволять быть формой Маасса. С
у нас есть:
Следовательно имеет разложение Фурье вида
с коэффициентами
Легко показать, что является формой возврата Маасса тогда и только тогда, когда .
Мы можем точно вычислить коэффициентные функции. Для этого нам понадобится функция Бесселя.
Определение: функция Бесселя. определяется как
Интеграл сходится локально равномерно абсолютно при в и неравенство
справедливо для всех .
Следовательно, экспоненциально убывает для . Кроме того, у нас есть для всех .
Теорема (коэффициенты Фурье форм Маасса). Позволять - собственное значение формы Маасса соответствующий Существуют , уникально до знака, так что . Тогда коэффициенты Фурье находятся
Доказательство: у нас есть
По определению коэффициентов Фурье получаем
для
Вместе следует, что
для
В (1) мы использовали, что n- й коэффициент Фурье является для первого члена суммирования. Во втором члене мы изменили порядок интегрирования и дифференцирования, что разрешено, поскольку f гладкая по y. Получаем линейное дифференциальное уравнение второй степени:
Для можно показать, что для каждого решения существуют уникальные коэффициенты с собственностью
Для каждое решение имеет форму
для уникальных . Здесь а также являются функциями Бесселя.
Функции Бесселя экспоненциально растут, а функции Бесселя уменьшаются экспоненциально. Вместе с условием полиномиального роста 3) получаем (также ) для уникального . QED
Четные и нечетные формы Маасса: Пусть. Затем я оперирую всеми функциями от и коммутирует с гиперболическим лапласианом. Форма Маасса называется даже, если и странно, если . Если f - форма Маасса, то является четной формой Маасса и нечетная форма Маасса, и она утверждает, что .
Теорема: L-функция формы Маасса
Позволять
быть куспидом Маасса. Определим L-функцию в виде
Тогда сериал сходится для и мы можем продолжить его до целой функции на .
Если четное или нечетное мы получаем
Здесь если даже и если странно. потом удовлетворяет функциональному уравнению
Пример: неголоморфный ряд Эйзенштейна E
Неголоморфный ряд Эйзенштейна определен для а также в виде
Ряд абсолютно сходится в для и локально равномерно в , поскольку можно показать, что серия
абсолютно сходится в , если . Точнее, сходится равномерно на каждом множестве, для каждого компакта и каждый .
E - форма Маасса
Мы только показываем -инвариантность и дифференциальное уравнение. Доказательство плавности можно найти в Deitmar или Bump. Условие роста следует из разложения Фурье ряда Эйзенштейна.
Сначала мы покажем -инвариантность. Позволять
быть стабилизирующей группой соответствующий операции на .
Предложение. E - это -инвариантный.
Доказательство. Определять:
а) абсолютно сходится в для а также
С
мы получаем
Это доказывает абсолютную сходимость в для
Кроме того, отсюда следует, что
так как карта
является биекцией (а) следует.
(б) У нас есть для всех .
Для мы получили
Вместе с (а), также инвариантен относительно . QED
Предложение. E - собственная форма гиперболического оператора Лапласа
Нам понадобится следующая лемма.
Лемма: коммутирует с работой на . Точнее для всех у нас есть:
Доказательство: группа генерируется элементами формы
Рассчитывается претензия для этих генераторов и получается претензия для всех . QED
С достаточно показать дифференциальное уравнение для . У нас есть:
Кроме того, есть
Поскольку оператор Лапласа коммутирует с операцией , мы получили
и другие
Следовательно, дифференциальное уравнение выполняется для E в. Чтобы получить претензию на всерассмотрим функцию . Явно вычисляя разложение Фурье этой функции, мы получаем, что она мероморфна. Поскольку он исчезает при, это должна быть нулевая функция по теореме тождества .
Фурье-разложение E
Неголоморфный ряд Эйзенштейна имеет разложение Фурье
где
Если , имеет мероморфное продолжение на . Он голоморфен, за исключением простых полюсов в
Ряд Эйзенштейна удовлетворяет функциональному уравнению
для всех .
Локально равномерно в условие роста
держит, где
Мероморфное продолжение E очень важно в спектральной теории гиперболического оператора Лапласа.
Формы Маасса веса k
Подгруппы конгруэнтности
Для позволять быть ядром канонической проекции
Мы называем главная конгруэнтная подгруппа уровня . Подгруппа называется конгруэнтной подгруппой, если существует , чтобы . Все конгруэнтные подгруппы дискретны.
Позволять
Для подгруппы сравнения позволять быть изображением в . Если S - система представителей, тогда
является фундаментальной областью для . Набор однозначно определяется фундаментальной областью . Более того, конечно.
Точки для называются каспами фундаментальной области . Они являются подмножеством.
На каждый куспид Существует с участием .
Формы Маасса веса k
Позволять подгруппа конгруэнции и
Определим гиперболический оператор Лапласа веса в виде
Это обобщение гиперболического оператора Лапласа .
Определим операцию на от
где
Можно показать, что
справедливо для всех и каждый .
Следовательно, работает в векторном пространстве
.
Определение. Маассы образуют массы для это функция это собственная функция и имеет умеренный рост на бугорках.
Термин умеренный рост на бугорках требует пояснения. Бесконечность - порог для функция умеренного роста на если ограничена полиномом от y при. Позволятьбыть еще одним куспидом. Тогда существует с участием . Позволять. потом, где подгруппа сравнения . Мы говорим умеренного роста в куспиде , если умеренного роста на .
Определение. Если содержит главную конгруэнтную подгруппу уровня мы говорим, что является каспидальным на бесконечности, если
Мы говорим что куспидальный на куспиде если каспидально на бесконечности. Если является каспидом на каждом куспиде, мы называем параболической формы .
Приведем простой пример формы веса Маасса для модульной группы:
Пример. Позволять быть модульной формой равного веса для потом форма веса Маасса для группы .
Спектральная проблема
Позволять быть конгруэнтной подгруппой в и разреши - векторное пространство всех измеримых функций с участием для всех удовлетворение
функции по модулю с Интеграл определен корректно, поскольку функция является -инвариантный. Это гильбертово пространство со скалярным произведением
Оператор можно определить в векторном пространстве что плотно в . Тамявляется положительно полуопределенным симметрическим оператором. Можно показать, что существует единственное самосопряженное продолжение на
Определять как пространство всех куспид-форм потом действует на и имеет дискретный спектр. Спектр, принадлежащий ортогональному дополнению, имеет непрерывную часть и может быть описан с помощью (модифицированных) неголоморфных рядов Эйзенштейна, их мероморфных продолжений и их вычетов. (См. Bump или Iwaniec ).
Если является дискретной (без кручения) подгруппой группы , так что частное компактна, спектральная задача упрощается. Это потому, что дискретная кокомпактная подгруппа не имеет точек возврата. Здесь все пространство представляет собой сумму собственных подпространств.
Встраивание в пространстве L 2 (Γ \ G )
является локально компактной унимодулярной группой с топологией Позволять - конгруэнтная подгруппа. С дискретна в , он закрыт в также. Группа унимодулярна и поскольку считающая мера является мерой Хаара на дискретной группе , также унимодулярный. По формуле факторного интеграла существует-правоинвариантная мера Радона на локально компактном пространстве . Позволять быть соответствующим -космос. Это пространство распадается на прямую сумму гильбертова пространства:
где
а также
Гильбертово пространство изометрически вкладывается в гильбертово пространство . Изометрия задается картой
Следовательно, все касп-формы Маасса для группы конгруэнции можно рассматривать как элементы .
гильбертово пространство, несущее операцию группы , так называемое правильное регулярное представление:
Легко показать, что является унитарным представлением на гильбертовом пространстве . Один интересуется разложением на неприводимые подпредставления. Это возможно только в том случае, есликомпактный. В противном случае существует также непрерывная интегральная часть Гильберта. Интересно то, что решение этой проблемы также решает спектральную проблему форм Маасса. (см. Bump , C. 2.3)
Let k be an integer, s be a complex number, and Γ be a discrete subgroup of SL2(R). A Maass form of weight k for Γ with Laplace eigenvalue s is a smooth function from the upper half-plane to the complex numbers satisfying the following conditions:
For all and all , we have
We have , where is the weight k hyperbolic Laplacian defined as
The function is of at most polynomial growth at cusps.
A weak Maass form is defined similarly but with the third condition replaced by "The function has at most linear exponential growth at cusps". Moreover, is said to be harmonic if it is annihilated by the Laplacian operator.
Major results
Let be a weight 0 Maass cusp form. Its normalized Fourier coefficient at a prime p is bounded by p7/64 + p−7/64. This theorem is due to Henry Kim and Peter Sarnak. It is an approximation toward Ramanujan-Petersson conjecture.
Higher dimensions
Maass cusp forms can be regarded as automorphic forms on GL(2). It is natural to define Maass cusp forms on GL(n) as spherical automorphic forms on GL(n) over the rational number field. Their existence is proved by Miller, Mueller, etc.
Автоморфные представления группы аделей
The group GL2(A)
Let be a commutative ring with unit and let be the group of matrices with entries in and invertible determinant. Let be the ring of rational adeles, the ring of the finite (rational) adeles and for a prime number let be the field of p-adic numbers. Furthermore, let be the ring of the p-adic integers (see Adele ring). Define . Both and are locally compact unimodular groups if one equips them with the subspace topologies of respectively . Then:
The right side is the restricted product, concerning the compact, open subgroups of . Then locally compact group, if we equip it with the restricted product topology.
The group is isomorphic to
and is a locally compact group with the product topology, since and are both locally compact.
Let
The subgroup
is a maximal compact, open subgroup of and can be thought of as a subgroup of , when we consider the embedding .
We define as the center of , that means is the group of all diagonal matrices of the form , where . We think of as a subgroup of since we can embed the group by .
The group is embedded diagonally in , which is possible, since all four entries of a can only have finite amount of prime divisors and therefore for all but finitely many prime numbers .
Let be the group of all with . (see Adele Ring for a definition of the absolute value of an Idele). One can easily calculate, that is a subgroup of .
With the one-to-one map we can identify the groups and with each other.
The group is dense in and discrete in . The quotient is not compact but has finite Haar-measure.
Therefore, is a lattice of similar to the classical case of the modular group and . By harmonic analysis one also gets that is unimodular.
Adelisation of cuspforms
We now want to embed the classical Maass cusp forms of weight 0 for the modular group into . This can be achieved with the "strong approximation theorem", which states that the map
is a -equivariant homeomorphism. So we get
and furthermore
Maass cuspforms of weight 0 for modular group can be embedded into
By the strong approximation theorem this space is unitary isomorphic to
which is a subspace of
In the same way one can embed the classical holomorphic cusp forms. With a small generalization of the approximation theorem, one can embed all Maass cusp forms (as well as the holomorphic cuspforms) of any weight for any congruence subgroup in .
We call the space of automorphic forms of the adele group.
Cusp forms of the adele group
Let be a Ring and let be the group of all where . This group is isomorphic to the additive group of R.
We call a function cusp form, if
holds for almost all. Let (or just ) be the vector space of these cusp forms. is a closed subspace of and it is invariant under the right regular representation of
One is again interested in a decomposition of into irreducible closed subspaces.
We have the following theorem :
The space decomposes in a direct sum of irreducible Hilbert-spaces with finite multiplicities :
The calculation of these multiplicities is one of the most important and most difficult problems in the theory of automorphic forms.
Cuspidal representations of the adele group
An irreducible representation of the group is called cuspidal, if it is isomorphic to a subrepresentation of .
An irreducible representation of the group is called admissible if there exists a compact subgroup of , so that for all .
One can show, that every cuspidal representation is admissible.
The admissibility is needed to proof the so-called Tensorprodukt-Theorem anzuwenden, which says, that every irreducible, unitary and admissible representation of the group is isomorphic to an infinite tensor product
The are irreducible representations of the group . Almost all of them need to be umramified.
(A representation of the group is called unramified, if the vector space
is not the zero space.)
A construction of an infinite tensor product can be found in Deitmar,C.7.
Automorphic L-functions
Let be an irreducible, admissible unitary representation of . By the tensor product theorem, is of the form (see cuspidal representations of the adele group)
Let be a finite set of places containing and all ramified places . One defines the global Hecke - function of as
where is a so-called local L-function of the local representation . A construction of local L-functions can be found in Deitmar C. 8.2.
If is a cuspidal representation, the L-function has a meromorphic continuation on . This is possible, since , satisfies certain functional equations.
Anton Deitmar: Automorphe Formen. Springer, Berlin/ Heidelberg u. a. 2010, ISBN 978-3-642-12389-4.
Duke, W.; Friedlander, J. B.; Iwaniec, H. (2002), "The subconvexity problem for Artin L-functions", Inventiones Mathematicae, 149 (3): 489–577, doi:10.1007/s002220200223, MR 1923476
Henryk Iwaniec : Spectral Methods of Automorphic Forms (Graduate Studies in Mathematics). American Mathematical Society; Auflage: 2. (November 2002), ISBN 978-0821831601.
Maass, Hans (1949), "Über eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen, 121: 141–183, doi:10.1007/BF01329622, MR 0031519