Теорема тождества

В комплексном анализе , разделе математики , теорема тождества для голоморфных функций утверждает: данные функции f и g голоморфны в области D (открытое и связное подмножество), если f = g на некотором , где есть точка накопления , то f = г на D . ${\ Displaystyle S \ substeq D}$${\ displaystyle S}$

Таким образом, голоморфная функция полностью определяется своими значениями в одной открытой окрестности в D или даже в счетном подмножестве D (при условии, что оно содержит сходящуюся последовательность). Это неверно для действительно дифференцируемых функций. Для сравнения, голоморфность или комплексная дифференцируемость - гораздо более жесткое понятие. Неформально иногда резюмируют теорему, говоря, что голоморфные функции «жесткие» (в противоположность, скажем, непрерывным функциям, которые являются «мягкими»).

Основополагающим фактом, на котором основана теорема, является возможность расширения голоморфной функции в ее ряд Тейлора .

Предположение о связности области D необходимо. Например, если D состоит из двух непересекающихся открытых множеств , может находиться на одном открытом множестве и на другом, пока находится на одном, и на другом.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 2}$

Лемма [ править ]

Если две голоморфные функции f и g в области D согласовывают набор S, имеющий точку накопления c в D , то f = g на диске с центром в .${\ displaystyle D}$${\ displaystyle c}$

Чтобы доказать это, достаточно показать это всем . ${\ Displaystyle е ^ {(п)} (с) = г ^ {(п)} (с)}$${\ Displaystyle п \ geq 0}$

Если это не так, пусть m будет наименьшим неотрицательным целым числом с . По голоморфности мы имеем следующее представление ряда Тейлора в некоторой открытой окрестности U точки c :${\displaystyle f^{(m)}(c)\neq g^{(m)}(c)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot \left[{\frac {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{\frac {(z-c)\cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+\cdots \right]\\[6pt]&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z)\end{aligned}}}$

По непрерывности h не равно нулю в некотором небольшом открытом круге B вокруг c . Но тогда f  -  g  ≠ 0 на проколотом множестве B  - { c }. Это противоречит предположению, что c - точка накопления { f = g }.

Эта лемма показывает , что для комплексного числа а , то волокно F ^-1 ( ) является дискретным (и , следовательно , счетное) множество, если F ≡ .

Доказательство [ править ]

Определите набор, на котором и будет такое же расширение Тейлора:${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle S=\{z\in D\mid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z){\text{ for all }}k\geq 0\}=\bigcap _{k=0}^{\infty }\{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}.}$

Мы покажем непустые, открытые и закрытые. Тогда связанности из , должны быть все , что подразумевает на .${\displaystyle S}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle S=D}$

В силу леммы в круге с центром в точке в , они имеют один и тот же ряд Тейлора в , так , не пусто.${\displaystyle f=g}$${\displaystyle c}$${\displaystyle D}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c\in S}$${\displaystyle S}$

Как и голоморфны на , , ряд Тейлора и у имеют ненулевой радиус сходимости . Следовательно, открытый диск также лежит в S для некоторого r . Итак, S открыта.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \forall w\in S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle w}$${\displaystyle B_{r}(w)}$

По голоморфности и они имеют голоморфные производные, поэтому все они непрерывны. Это значит, что закрыто для всех . является пересечением замкнутых множеств, поэтому оно замкнуто.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f^{(n)},g^{(n)}}$${\displaystyle \{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S}$

См. Также [ править ]

• Аналитическое продолжение

Ссылки [ править ]

• Абловиц, Марк Дж .; Фокас А.С. (1997). Комплексные переменные: введение и приложения . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 122. ISBN 0-521-48058-2.