Гипотеза Рамануджана – Петерсона

В математике , в Рамануджане гипотезе , в связи с Сринивасом Рамануджане  ( 1916 , с.176), утверждает , что функция тау Рамануджана задается коэффициенты Фурье т ( п ) по параболической форме А ( г ) веса 12

${\ displaystyle \ Delta (z) = \ sum _ {n> 0} \ tau (n) q ^ {n} = q \ prod _ {n> 0} \ left (1-q ^ {n} \ right) ^ {24} = q-24q ^ {2} + 252q ^ {3} -1472q ^ {4} + 4830q ^ {5} - \ cdots,}$

где удовлетворяет${\ Displaystyle д = е ^ {2 \ пи iz}}$

${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{\frac {11}{2}},}$

когда p - простое число . Обобщенная гипотеза Рамануйяна или гипотеза рамануджан , введенный Петерсон  ( 1930 ), является обобщением других модульных форм или автоморфных форм.

Рамануджан L-функция [ править ]

Дзета - функция Римана и L-функция Дирихль удовлетворяют продукт Эйлера ,

${\displaystyle L(s,a)=\prod _{p}\left(1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+\dots \right)}$

( 1 )

и из-за их полностью мультипликативного свойства

${\displaystyle L(s,a)=\prod _{p}\left(1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$

( 2 )

Существуют ли L-функции, отличные от дзета-функции Римана и L-функций Дирихле, удовлетворяющие указанным выше соотношениям? Действительно, L-функции автоморфных форм удовлетворяют произведению Эйлера (1), но не удовлетворяют (2), поскольку не обладают полностью мультипликативным свойством. Однако Рамануджан обнаружил, что L-функция модульного дискриминанта удовлетворяет модифицированному соотношению

${\displaystyle L(s,\tau )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\tau (p)}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s-11}}}\right)^{-1},}$

( 3 )

где τ ( p ) - тау-функция Рамануджана. Термин

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2s-11}}}}$

рассматривается как отличие от полностью мультипликативного свойства. Вышеупомянутая L-функция называется L-функцией Рамануджана .

Гипотеза Рамануджана [ править ]

Рамануджан предположил следующее:

1. τ является мультипликативным ,
2. τ не является полностью мультипликативным, но для простых p и j в N имеем: τ ( p ^{j +1} ) = τ ( p ) τ ( p ^j  ) - p ¹¹ τ ( p ^{j −1}  ) , и
3. | τ ( p ) | ≤ 2 п ^11/2 .

Рамануджан заметил, что квадратное уравнение u = p ^{- s} в знаменателе правой части (3) ,

${\displaystyle 1-\tau (p)u+p^{11}u^{2}}$

всегда будет иметь мнимые корни из многих примеров. Связь между корнями и коэффициентами квадратных уравнений приводит к третьему соотношению, называемому гипотезой Рамануджана . Кроме того, для тау-функции Рамануджана, пусть корнями приведенного выше квадратного уравнения являются α и β , тогда

${\displaystyle {\text{Re}}(\alpha )={\text{Re}}(\beta )=p^{\frac {11}{2}},}$

что похоже на гипотезу Римана . Отсюда следует оценка, которая лишь немного слабее для всех τ ( n ) , а именно для любого ε > 0 :

${\displaystyle O\left(n^{{\frac {11}{2}}+\varepsilon }\right).}$

В 1917 году Л. Морделл доказал первые два отношения, используя методы комплексного анализа, в частности то, что сейчас известно как операторы Гекке . Третье заявление последовало от доказательства в догадках Вейля по Делиню (1974) . Формулировки, необходимые для доказательства того, что это было следствием, были деликатными и совсем не очевидными. Это была работа Мичио Куга с участием также Микио Сато , Горо Шимура и Ясутака Ихара , а затем Делиня (1968) . Существование связи вдохновило некоторые глубокие работы в конце 1960-х годов, когда последствия этальных когомологий harvtxt error: no target: CITEREFDeligne1968 (help) теория разрабатывалась.

Гипотеза Рамануджана – Петерсона для модульных форм [ править ]

В 1937 году Эрих Гекке использовал операторы Гекке для обобщения метода доказательства Морделла первых двух гипотез на автоморфную L-функцию дискретных подгрупп Γ группы SL (2, Z ) . Для любой модульной формы

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}\qquad q=e^{2\pi iz},}$

можно составить ряд Дирихле

${\displaystyle \varphi (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Для модулярной формы f  ( z ) веса k ≥ 2 для Γ , φ ( s ) абсолютно сходится в Re ( s )> k , поскольку a _n = O ( n ^{k −1+ ε} ) . Поскольку f - модулярная форма веса k , ( s - k ) φ ( s ) оказывается целым и R ( s ) = (2π ) ^{- s} Γ ( s ) φ ( s ) удовлетворяет функциональному уравнению :

${\displaystyle R(k-s)=(-1)^{\frac {k}{2}}R(s);}$

это было доказано Уилтоном в 1929 году. Это соответствие между f и φ однозначно ( a ₀ = (−1) ^{k / 2}  Res _{s = k}  R ( s ) ). Пусть г ( х ) = ф  ( IX ) - ₀ для й > 0 , то г ( х ) связан с R ( ы ) с помощью преобразования Меллина

${\displaystyle R(s)=\int _{0}^{\infty }g(x)x^{s-1}dx\Leftrightarrow g(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{{\text{Re}}(s)=\sigma _{0}}R(s)x^{-s}ds.}$

Это соответствие связывает ряд Дирихле, удовлетворяющий указанному выше функциональному уравнению, с автоморфной формой дискретной подгруппы группы SL (2, Z ) .

В случае k ≥ 3 Ханс Петерссон ввел метрику на пространстве модулярных форм, названную метрикой Петерсона (см. Также метрику Вейля-Петерссона ). Эта гипотеза была названа его именем. В рамках метрики Петерсона показано, что мы можем определить ортогональность на пространстве модулярных форм как пространство параболических форм и его ортогональное пространство, и они имеют конечные размеры. Кроме того, мы можем конкретно вычислить размерность пространства голоморфных модулярных форм, используя теорему Римана-Роха (см. Размерности модулярных форм ).

Делинь (1971) использовал изоморфизм Эйхлера – Шимуры, чтобы свести гипотезу Рамануджана к гипотезам Вейля, которые он позже доказал. Более общая гипотеза Рамануджана – Петерсона для голоморфных параболических форм в теории эллиптических модулярных форм для конгруэнтных подгрупп имеет аналогичную формулировку с показателем ( k - 1) / 2, где k - вес формы. Эти результаты также следуют из гипотез Вейля , за исключением случая k = 1 , где они являются результатом Делиня и Серра (1974) .

Гипотеза Рамануджана – Петерсона для форм Маасса все еще остается открытой (по состоянию на 2016 г.), потому что метод Делиня, который хорошо работает в голоморфном случае, не работает в реальном аналитическом случае.

Гипотеза Рамануджана – Петерсона для автоморфных форм [ править ]

Сатаке (1966) переформулировал гипотезу Рамануджана – Петерсона в терминах автоморфных представлений для GL (2), утверждая, что локальные компоненты автоморфных представлений лежат в основной серии, и предложил это условие как обобщение гипотезы Рамануджана – Петерссона на автоморфные формы по другим группам. Другими словами, следует закалить локальные компоненты куспидных форм. Однако несколько авторов нашли контрпримеры для анизотропных групп, в которых бесконечно удаленный компонент не закалялся. Курокава (1978) и Хоу и Пятецки-Шапиро (1979)показал, что эта гипотеза также неверна даже для некоторых квазирасщепляемых и расщепляемых групп, построив автоморфные формы для унитарной группы U (2, 1) и симплектической группы Sp (4) , которые почти всюду не умерены, связанные с представление θ 10 .

После того, как контрпримеры были найдены, Пятецкий-Шапиро (1979) предположил, что необходимо изменить формулировку гипотезы. Текущая формулировка обобщенной гипотезы Рамануджана предназначена для глобально общего каспидального автоморфного представления связной редуктивной группы , где общее предположение означает, что представление допускает модель Уиттекера . В нем говорится, что каждый локальный компонент такого представления должен быть умеренным. Это наблюдение принадлежит Ленглендсу, что установление функториальности симметрических степеней автоморфных представлений GL ( n ) даст доказательство гипотезы Рамануджана – Петерсона.

Границы в сторону Рамануджана через числовые поля [ править ]

Получение наилучших возможных оценок обобщенной гипотезы Рамануджана в случае числовых полей привлекло внимание многих математиков. Каждое улучшение считается вехой в мире современной теории чисел . Чтобы понять границы Рамануджана для GL ( n ) , рассмотрим унитарное каспидальное автоморфное представление :

${\displaystyle \pi =\bigotimes \pi _{v}.}$

Классификации Bernstein-Зелевинская говорят нам , что каждый из р-адического π _v может быть получены с помощью унитарной параболической индукции из представления

${\displaystyle \tau _{1,v}\otimes \cdots \otimes \tau _{d,v}.}$

Здесь каждое из них представляет собой представление GL ( n _i ) над местом v в виде${\displaystyle \tau _{i,v}}$

${\displaystyle \tau _{i_{0},v}\otimes |\det |_{v}^{\sigma _{i,v}}}$

с закаленным. Учитывая , п ≥ 2 , A Рамануйян связаны представляет собой число & delta ; ≥ 0 такое , что${\displaystyle \tau _{i_{0},v}}$

${\displaystyle \max _{i}\left|\sigma _{i,v}\right|\leq \delta .}$

Для архимедовых мест можно использовать классификацию Ленглендса . Обобщенная гипотеза Рамануджана эквивалентна оценке δ = 0 .

Жаке, Пятецки-Шапиро и Шалика (1981) получили первую оценку δ ≤ 1/2 для общей линейной группы GL ( n ) , известную как тривиальная оценка. Важный прорыв был сделан Луо, Рудником и Сарнаком (1999) , которые в настоящее время придерживаются наилучшей общей оценки δ ≡ 1/2 - ( n ² +1) ⁻¹ для произвольного n и любого числового поля . В случае GL (2) Ким и Сарнак установили границу прорыва δ = 7/64, когда числовое поле является полем рациональных чисел. harvtxt error: no target: CITEREFJacquetPiatetski-ShapiroShalika1981 (help) , который получен как следствие результата Кима (2002) о функториальности симметричного четвертого, полученного с помощью метода Ленглендса-Шахиди . Обобщение границ Кима-Сарнака на произвольное числовое поле возможно по результатам Blomer & Brumley (2011) .

Для редуктивных групп, отличных от GL ( n ) , обобщенная гипотеза Рамануджана вытекала бы из принципа функториальности Ленглендса . Важным примером являются классические группы , где наилучшие оценки были получены Cogdell et al. (2004) как следствие их функториального подъема Ленглендса .

Гипотеза Рамануджана-Петерсона о глобальных функциональных полях [ править ]

Доказательство Дринфельдом глобального соответствия Ленглендса для GL (2) над глобальным функциональным полем приводит к доказательству гипотезы Рамануджана – Петерссона. Лаффорг (2002) успешно распространил технику штуки Дринфельда на случай GL ( n ) в положительной характеристике. Используя другую технику, которая расширяет метод Ленглендса-Шахиди на включение глобальных функциональных полей, Ломели (2009) доказывает гипотезу Рамануджана для классических групп .

Приложения [ править ]

Применение Рамануджана гипотезы является явным построением Рамануджана графиков по Lubotzky , Филлипс и Sarnak . Действительно, название «граф Рамануджана» произошло от этой связи. Другое приложение состоит в том, что из гипотезы Рамануджана – Петерссона для общей линейной группы GL ( n ) следует гипотеза Сельберга о собственных значениях лапласиана для некоторых дискретных групп.

Ссылки [ править ]

• Бломер, В .; Брамли, Ф. (2011), «О гипотезе Рамануджана о числовых полях», Annals of Mathematics , 174 : 581–605, arXiv : 1003.0559 , doi : 10.4007 / annals.2011.174.1.18 , MR  2811610
• Cogdell, JW; Ким, HH; Пятецкий-Шапиро, II; Шахиди, Ф. (2004), "Функториальность для классических групп" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 99 : 163–233, CiteSeerX  10.1.1.495.6662 , doi : 10.1007 / s10240-004-0020-z
• Делинь, Пьер (1971), "Формы модулей и представления л-адиков" , Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 разоблачительные статьи 347-363 , Lecture Notes в области математики, 179 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / BFb0058801 , ISBN 978-3-540-05356-9
• Делинь, Пьер (1974), "Гипотеза Вейля. I." , Публикации Mathématiques де l'IHES , 43 : 273-307, DOI : 10.1007 / BF02684373 , ISSN  1618-1913 , MR  0340258
• Делинь, Пьер ; Серр, Жан-Пьер (1974), "Formes modulaires де POIDS 1", Annales Scientifiques де l'Эколь Нормаль , Série 4, 7 (4): 507-530, DOI : 10,24033 / asens.1277 , ISSN  0012-9593 , MR  0379379
• Хау, Роджер ; Пятецкий-Шапиро, II (1979), «Контрпример к« обобщенной гипотезе Рамануджана »для (квази) расщепляемых групп», у Бореля, Арманд ; Кассельман У. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXIII, Провиденс, Род-Айленд, стр. 315–322, ISBN 978-0-8218-1435-2, Руководство по ремонту  0546605
• Jacquet, H .; Пятецкий-Шапиро, II; Шалика, JA (1983), " Свертки Ранкина-Сельберга" , Amer. J. Math. , 105 (2): 367-464, DOI : 10,2307 / 2374264 , JSTOR  2374264
• Ким, HH (2002), «Функториальность внешнего квадрата GL (4) и симметричной четверти GL (2)», Журнал AMS , 16 : 139–183
• Курокава, Нобушиге (1978), «Примеры собственных значений операторов Гекке на каспообразных формах Зигеля второй степени», Inventiones Mathematicae , 49 (2): 149–165, Bibcode : 1978InMat..49..149K , doi : 10.1007 / BF01403084 , ISSN  0020-9910 , MR  0511188
• Langlands, RP (1970), "Проблемы теории автоморфных форм" , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Lecture Notes in Math, 170 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007 / BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5, MR  0302614
• Lomelí, L. (2009), "Функториальность для классических групп над функциональными полями" , Международные математическими исследования Извещение : 4271-4335, DOI : 10,1093 / imrn / rnp089 , MR  2552304
• Luo, W .; Rudnick, Z .; Сарнак, П. (1999), "Об обобщенной гипотезе Рамануджана для GL (n)", Proc. Симпозиумы. Чистая математика. Труды Симпозиумов в чистой математике, 66 : 301-310, DOI : 10,1090 / pspum / 066,2 / 1703764 , ISBN 9780821810514
• Петерссон, Х. (1930), «Теория автоморфен Формен опровергает размерность унд его Darstellung durch eine neue Art Poincaréscher Reihen.», Mathematische Annalen (на немецком языке), 103 (1): 369–436, doi : 10.1007 / BF01455702 , ISSN  0025-5831
• Пятецкий-Шапиро, II (1979), "Теоремы о кратности один", в Бореле, Арманд ; Кассельман У. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 209–212, ISBN 978-0-8218-1435-2, Руководство по ремонту  0546599
• Рамануджан, Шриниваса (1916), «О некоторых арифметических функциях», Труды Кембриджского философского общества , XXII (9): 159–184Перепечатано в Ramanujan, Srinivasa (2000), «Paper 18» , Сборник статей Шринивасы Рамануджана , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, стр. 136–162, ISBN 978-0-8218-2076-6, Руководство по ремонту  2280843
• Сарнак, Питер (2005), «Заметки об обобщенных гипотезах Рамануджана» (PDF) , Артур, Джеймс; Элвуд, Дэвид; Коттвиц, Роберт (ред.), Гармонический анализ, формула следов и разновидности Шимуры , Clay Math. Proc., 4 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 659–685, ISBN 978-0-8218-3844-0, MR  2192019
• Сатаке, Ичиро (1966), «Сферические функции и гипотеза Рамануджана», у Бореля, Арманд ; Мостоу, Джордж Д. (ред.), Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Боулдер, Колорадо, 1965) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, IX , Провиденс, Род-Айленд, стр. 258–264, ISBN 978-0-8218-3213-4, MR  0211955