Оператор Гекке

В математике , в частности в теории модулярных форм , оператор Гекке , изученный Гекке ( 1937 ), представляет собой определенный вид «усредняющего» оператора, который играет значительную роль в структуре векторных пространств модулярных форм и более общих автоморфных форм. представления .

История [ править ]

Морделл ( 1917 ) использовал оператор Гекка на модулярных формах в работе по специальной параболической форме из Рамануджана , впереди общей теория дается Hecke (1937) harvtxt ошибки: несколько целей (2 ×): CITEREFHecke1937 ( помощь ) . Морделл доказал, что тау-функция Рамануджана , выражающая коэффициенты формы Рамануджана,

{\ displaystyle \ Delta (z) = q \ left (\ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {n}) \ right) ^ {24} = \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} \ tau (n) q ^ {n}, \ quad q = e ^ {2 \ pi iz},}

является мультипликативной функцией :

\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)\quad {\text{ for }}(m,n)=1.

Идея восходит к более ранней работе Адольфа Гурвица , который рассматривал алгебраические соответствия между модулярными кривыми, реализующими некоторые индивидуальные операторы Гекке.

Математическое описание [ править ]

Операторы Гекке могут быть реализованы в различных контекстах. Самый простой смысл - комбинаторный, а именно: взятие для данного целого $n$ некоторой функции $f (Λ),$ определенной на решетках фиксированного ранга, к

\sum f(\Lambda ')

с суммой, взятой по всем $Λ ',$ которые являются подгруппами в $Λ$ индекса $n$ . Например, при $n = 2$ и двух измерениях таких $Λ '$ три . Модульные формы - это особые виды функций решетки, при соблюдении условий, делающих их аналитическими функциями и однородными по отношению к гомотетиям , а также умеренным ростом на бесконечности; эти условия сохраняются суммированием, и поэтому операторы Гекке сохраняют пространство модулярных форм данного веса.

Другой способ выразить операторы Гекке - использовать двойные классы смежности в модульной группе . В современном адельном подходе это переводится в двойные классы смежности по некоторым компактным подгруппам.

Явная формула [ править ]

Пусть $M m$ - множество целочисленных матриц $2 \times 2$ с определителем $m,$ а $Γ = M 1$ - полная модулярная группа $SL (2, Z)$ . При модульной форме $п (г)$ вес $к$ , то $м$ е оператора Гекка действует по формуле

T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma \backslash M_{m}}(cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right),

где $z$ находится в верхней полуплоскости, а нормировочная константа $m k -1$ гарантирует, что изображение формы с целыми коэффициентами Фурье имеет целые коэффициенты Фурье. Это можно переписать в виде

T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{a,d>0,ad=m}{\frac {1}{d^{k}}}\sum _{b{\pmod {d}}}f\left({\frac {az+b}{d}}\right),

что приводит к формуле для коэффициентов Фурье функции $T m (f (z)) = \sum b n q n$ через коэффициенты Фурье функции $f (z) = \sum a n q n$ :

b_{n}=\sum _{r>0,r|(m,n)}r^{k-1}a_{mn/r^{2}}.

Из этой явной формулы видно, что операторы Гекке с разными индексами коммутируют и что если $a 0 = 0,$ то $b 0 = 0$ , поэтому подпространство $S k$ касп-форм веса $k$ сохраняется операторами Гекке. Если (ненулевая) параболическая форма $f$ является одновременной собственной формой всех операторов Гекке $T m$ с собственными значениями $λ m,$ то $a m = λ m a 1$ и $a 1 \neq 0$ . Собственные формы Гекке нормированытак что $a 1 = 1$ , тогда

T_{m}f=a_{m}f,\quad a_{m}a_{n}=\sum _{r>0,r|(m,n)}r^{k-1}a_{mn/r^{2}},\ m,n\geq 1.

Таким образом, для нормализованных каспидальных собственных форм Гекке с целым весом их коэффициенты Фурье совпадают с их собственными значениями Гекке.

Алгебры Гекке [ править ]

Алгебры операторов Гекке называются «алгебрами Гекке» и являются коммутативными кольцами . В классической теории эллиптических модулярных форм операторы Гекке $T n$ с $n,$ взаимно простыми с уровнем, действующими на пространстве параболических форм данного веса, являются самосопряженными относительно скалярного произведения Петерсона . Следовательно, из спектральной теоремы следует, что существует базис модулярных форм, которые являются собственными функциями этих операторов Гекке. Каждая из этих основных форм обладает эйлеровым произведением . Точнее, его преобразование Меллина - это ряд Дирихлечто есть продукты Эйлера с локальным фактором для каждого простого $р$ является обратным ^{[ разъяснением необходимости ]} от полинома Гекка , квадратичный полином в $р - х$ . В случае, рассмотренном Морделлом, пространство параболических форм веса 12 относительно полной модулярной группы одномерно. Отсюда следует, что форма Рамануджана имеет эйлерово произведение и устанавливает мультипликативность $τ (n)$ .

Другие родственные математические кольца также называются «алгебрами Гекке», хотя иногда связь с операторами Гекке не совсем очевидна. Эти алгебры включают в себя определенную факторизацию в групповых алгебрах из групп кос . Наличие этой коммутативной операторной алгебры играет важную роль в гармоническом анализе модулярных форм и обобщений.

См. Также [ править ]

Соотношение конгруэнтности Эйхлера – Шимуры

Ссылки [ править ]

Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97127-8 (См. Главу 8.)
«Оператор Гекке» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Hecke, E. (1937), "Uber Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. I.", Mathematische Annalen (на немецком языке), 114 : 1–28, DOI : 10.1007 / BF01594160 , ISSN 0025-5831 , Zbl 0015.40202 Гекк, Е. (1937), "Убер Modulfunktionen унд умереть Dirichletschen Reihen Mit Eulerscher Produktentwicklung II..", Mathematische Annalen (на немецком языке ), 114 : 316-351, DOI : 10.1007 / BF01594180 , ISSN 0025-5831 , Zbl +0016,35503
Морделл, Луи Дж. (1917), "Об эмпирических разложениях г-на Рамануджана модулярных функций". , Труды Кембриджского философского общества , 19 : 117-124, JFM 46.0605.01
Жан-Пьер Серр , Курс арифметики .
Дон Загьер , Эллиптические модульные формы и их приложения , в 1-2-3 модульных форм , Universitext, Springer, 2008 ISBN 978-3-540-74117-6