Внутренний продукт Петерсона

В математике Петерсон скалярное произведение представляет собой скалярное произведение , определенное на пространстве целых модулярных форм . Его ввел немецкий математик Ганс Петерссон .

Определение [ править ]

Позвольте быть пространство целых модулярных форм веса и пространство форм возврата .${\ displaystyle \ mathbb {M} _ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {k}}$

Отображение , ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: \ mathbb {M} _ {k} \ times \ mathbb {S} _ {k} \ rightarrow \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle: = \ int _ {\ mathrm {F}} f (\ tau) {\ overline {g (\ tau)}} (\ operatorname {Im} \ tau) ^ {k } д \ ню (\ тау)}$

называется внутренним продуктом Петерсона, где

${\ displaystyle \ mathrm {F} = \ left \ {\ tau \ in \ mathrm {H}: \ left | \ operatorname {Re} \ tau \ right | \ leq {\ frac {1} {2}}, \ слева | \ тау \ справа | \ geq 1 \ справа \}}$

является фундаментальной областью модульной группы и для${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ тау = х + iy}$

${\ Displaystyle д \ ню (\ тау) = у ^ {- 2} dxdy}$

- форма гиперболического объема.

Свойства [ править ]

Интеграл абсолютно сходится, а внутренний продукт Петерсона является положительно определенной эрмитовой формой .

Для операторов Гекке и форм уровня мы имеем:${\ displaystyle T_ {n}}$${\ displaystyle f, g}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0}}$

${\ displaystyle \ langle T_ {n} f, g \ rangle = \ langle f, T_ {n} g \ rangle}$

Это может быть использовано, чтобы показать, что пространство параболических форм уровня имеет ортонормированный базис, состоящий из одновременных собственных функций операторов Гекке, и все коэффициенты Фурье этих форм являются действительными.${\ displaystyle \ Gamma _ {0}}$

Ссылки [ править ]

• TM Apostol, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1990, ISBN  3-540-97127-0
• М. Кохер, А. Криг, Elliptische Funktionen und Modulformen , Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3 
• С. Ланг, Введение в модульные формы , Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN 3-540-07833-9