В теории чисел , разделе математики , параболическая форма - это особый вид модульной формы с нулевым постоянным коэффициентом в разложении в ряд Фурье.
Вступление
Кусп-форма отличается в случае модулярных форм для модулярной группы обращением в нуль постоянного коэффициента a 0 в разложении в ряд Фурье (см. Q -разложение )
Это разложение Фурье существует как следствие наличия у модулярной группы действия на верхней полуплоскости посредством преобразования
Для других групп возможен некоторый перенос через несколько единиц, и в этом случае разложение Фурье выполняется в терминах другого параметра. Во всех случаях, однако, предел при ц → 0 является пределом в верхней полуплоскости в качестве мнимой части из г → ∞. Принимая фактор по модулярной группе, этот предел соответствует острию о наличии модульного кривом (в смысле точки для добавленной компактификации ). Итак, определение сводится к тому, что форма возврата - это модульная форма, которая исчезает в точке возврата. В случае других групп может быть несколько точек возврата, и определение становится модульной формой, исчезающей во всех точках возврата. Это может включать в себя несколько расширений.
Измерение
Размерности пространств параболических форм, в принципе, вычислимы с помощью теоремы Римана – Роха . Например, тау-функция Рамануджана τ ( n ) возникает как последовательность коэффициентов Фурье касп-формы веса 12 для модулярной группы с a 1 = 1. Пространство таких форм имеет размерность 1, что означает, что это определение имеет вид возможный; и это объясняет действие операторов Гекке на пространстве путем скалярного умножения (доказательство Морделла тождеств Рамануджана). Явно это модульный дискриминант
которая представляет собой ( с точностью до константы нормализующего ) в дискриминант кубики на правой стороне уравнения Вейерштрасса о качестве эллиптической кривой ; и 24-я степень функции Дедекинда эта . Коэффициенты Фурье здесь записываются
и называется тау-функцией Рамануджана с нормировкой τ (1) = 1.
Связанные понятия
В более широкой картине автоморфных форм кусп-формы дополняют ряды Эйзенштейна в дискретном спектре / непрерывном спектре или различие между представлением дискретной серии / индуцированным представлением, типичным в различных частях спектральной теории . То есть ряд Эйзенштейна может быть «спроектирован» так, чтобы принимать заданные значения на порогах. Существует обширная общая теория, зависящая, однако, от довольно сложной теории параболических подгрупп и соответствующих каспидальных представлений .
Рекомендации
- Серр, Жан-Пьер , Курс арифметики , Тексты для выпускников по математике , № 7, Springer-Verlag , 1978. ISBN 0-387-90040-3
- Шимура, Горо , Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Princeton University Press , 1994. ISBN 0-691-08092-5
- Гелбарт, Стивен , Автоморфные формы на группах Адель , Анналы математических исследований, № 83, Princeton University Press, 1975. ISBN 0-691-08156-5