Серия Эйзенштейна

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Серия Эйзенштейна» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( март 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ряды Эйзенштейна , названные в честь немецкого математика Готтольда Эйзенштейна , представляют собой особые модульные формы с бесконечными разложениями в ряды, которые можно записывать напрямую. Первоначально определенные для модулярной группы ряды Эйзенштейна могут быть обобщены в теории автоморфных форм .

Ряд Эйзенштейна для модульной группы [ править ]

Действительная часть

G 6

как функция

q

на единичном диске . Отрицательные числа черные.

Мнимая часть

G 6

как функция

q

на единичном диске.

Пусть $τ$ - комплексное число со строго положительной мнимой частью . Определим голоморфный ряд Эйзенштейна $G 2 k (τ)$ веса $2 k$ , где $k \geq 2$ - целое число, следующим рядом:

{\ displaystyle G_ {2k} (\ tau) = \ sum _ {(m, n) \ in \ mathbb {Z} ^ {2} \ setminus (0,0)} {\ frac {1} {(m + n \ tau) ^ {2k}}}.}

Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции от $τ$ в верхней полуплоскости, и его разложение Фурье, приведенное ниже, показывает, что он продолжается до голоморфной функции при $τ = i \infty$ . Замечательный факт, что ряд Эйзенштейна представляет собой модульную форму . Действительно, ключевым свойством является ее $SL (2, ℤ)$ -инвариантность. Явно, если $a, b, c, d \in ℤ$ и $ad - bc = 1,$ то

{\ displaystyle G_ {2k} \ left ({\ frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}} \ right) = (c \ tau + d) ^ {2k} G_ {2k} (\ tau )}

(Доказательство)

{\begin{aligned}G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus (0,0)}{\frac {1}{\left(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus (0,0)}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau )^{2k}}}\\&=\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus (0,0)}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}\end{aligned}}

Если $ad - bc = 1,$ то

{\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}

чтобы

(m,n)\mapsto (m,n){\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}

является биекцией $ℤ 2 \to ℤ 2$ , т.е.

\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus (0,0)}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus (0,0)}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )

В целом, если $ad - bc = 1,$ то

G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )

и

G 2 k

, следовательно, является модульной формой веса

2 k

. Заметим, что важно предположить, что

k \geq 2

, иначе было бы незаконным изменять порядок суммирования, и

SL (2, ℤ)

-инвариантность не выполнялась бы. На самом деле нетривиальных модулярных форм веса 2. Тем не менее, аналог голоморфного ряда Эйзенштейна можно определить даже при

k = 1

, хотя это будет только квазимодулярная форма .

Связь с модульными инвариантами [ править ]

Эти модульные инварианты $г 2$ и $г 3$ из на эллиптической кривой даются первых двух рядов Эйзенштейна:

{\begin{aligned}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}.\end{aligned}}

В статье о модульных инвариантах приводятся выражения для этих двух функций в терминах тета-функций .

Отношение повторения [ править ]

Любую голоморфную модулярную форму модулярной группы можно записать как многочлен от $G 4$ и $G 6$ . В частности, $G 2 k$ более высокого порядка может быть записан в терминах $G 4$ и $G 6$ через рекуррентное соотношение . Пусть $d k = (2 k + 3) k! G 2 k + 4$ , поэтому, например, $d 0 = 3 G 4$ и $d 1 = 5 G 6$ . Тогда $d k$ удовлетворяют соотношению

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}

для всех $n \geq 0$ . Здесь $(п к)$ -биномиальный коэффициент.

$Д к$ возникают разложения в ряд для эллиптических функций Вейерштрасса :

{\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.\end{aligned}}

Ряд Фурье [ править ]

G 4

G 6

G 8

G 10

G 12

G 14

Определим $q = e 2π iτ$ . (Некоторые старые книги определяют $д$ быть нома $д = е π iτ$ , но $д = е 2 π iτ$ теперь является стандартным в теории чисел.) Тогда ряд Фурье ряда Эйзенштейна является

G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)

где коэффициенты $c 2 k$ определяются выражениями

{\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}

Здесь $B n$ - числа Бернулли , $ζ (z)$ - дзета-функция Римана, а $σ p (n)$ - функция суммы делителей , сумма $p-$ х степеней делителей числа $n$ . В частности, есть

{\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}

Суммирование по $q$ можно пересуммировать в виде ряда Ламберта ; то есть у одного есть

\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}

для произвольного комплекса $| q | <1$ и $а$ . При работе с q -расширением ряда Эйзенштейна часто вводятся следующие альтернативные обозначения:

{\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}

Личности, связанные с сериалом Эйзенштейна [ править ]

Как тета-функции [ править ]

Для $q = e 2 π iτ$ пусть

{\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}

и определить

{\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}

где $θ m$ и $ϑ ij$ - альтернативные обозначения тета-функций Якоби . Потом,

{\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right),\\[4pt]E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(-3a^{8}\left(b^{4}+c^{4}\right)+b^{12}+c^{12}\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}},\end{aligned}}

таким образом,

E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}

выражение, относящееся к модульному дискриминанту ,

\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}

Кроме того, поскольку $E 8 = E 24$ и $a 4 - b 4 + c 4 = 0$ , отсюда следует

E_{8}(\tau )={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right).

Продукты серии Эйзенштейна [ править ]

Ряды Эйзенштейна образуют наиболее явные примеры модульных форм для полной модулярной группы $SL (2, ℤ)$ . Поскольку пространство модульных форм веса $2 k$ имеет размерность 1 для $2 k = 4, 6, 8, 10, 14$ , различные произведения ряда Эйзенштейна, имеющие эти веса, должны быть равны с точностью до скалярного кратного. Фактически мы получаем тождества:

E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.

Используя приведенные выше $q$ -разложения ряда Эйзенштейна, их можно переформулировать как тождества, включающие суммы степеней делителей:

\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},

следовательно

\sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),

и то же самое для остальных. Тета - функция из восьми размерных даже унимодулярных решеток $Г$ является модулярной формой веса 4 для полной модулярной группы, которая дает следующие тождества:

\theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)

для числа $r Γ (n)$ векторов квадрата длины $2 n$ в корневой решетке типа E 8 .

Аналогичные методы с использованием голоморфных рядов Эйзенштейна, скрученных символом Дирихле, дают формулы для числа представлений положительного целого числа $n$ 'в виде суммы двух, четырех или восьми квадратов в терминах делителей числа $n$ .

Используя указанное выше рекуррентное соотношение, все высшие $E 2 k$ могут быть выражены как полиномы от $E 4$ и $E 6$ . Например:

{\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}+176400000\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}+10285000\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}

Многие взаимосвязи между продуктами серии Эйзенштейна можно элегантно описать с использованием детерминантов Ганкеля , например, идентичность Гарвана.

\Delta ^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}

где

\Delta ={\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}

- модульный дискриминант . ^[1]

Личности Рамануджана [ править ]

Шриниваса Рамануджан дал несколько интересных отождествлений между несколькими первыми сериями Эйзенштейна, включающими дифференциацию. Позволять

{\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}

тогда

{\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}

Эти тождества, как тождества между рядами, дают тождества арифметической свертки, включающие функцию суммы делителей . Следуя Рамануджану, чтобы представить эти тождества в простейшей форме, необходимо расширить область определения $σ p (n)$ до нуля, положив

{\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}

Тогда, например,

\sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).

Другие тождества этого типа, но не имеет прямое отношение к предыдущим отношениям между $L$ , $M$ и $N$ функции, были доказаны Рамануджаном и Джузеппе Melfi , ^[2]^[3] , как, например ,

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{120}}\sigma _{7}(n)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)&={\tfrac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).\end{aligned}}

Обобщения [ править ]

Автоморфные формы обобщают идею модулярных форм для общих групп Ли ; и ряды Эйзенштейна обобщают аналогичным образом.

Определение $O K$ быть кольцо целых одного вполне вещественного поля алгебраических чисел $К$ , один затем определяет модульную группу Гильберта-Блюменталь , как $PSL (2, О К)$ . Затем можно сопоставить ряд Эйзенштейна каждому каспу модулярной группы Гильберта – Блюменталя.

Ссылки [ править ]

^ Милн, Стивен С. (2000). «Детерминанты Ганкеля ряда Эйзенштейна». arXiv : math / 0009130v3 .
↑ Рамануджан, Шриниваса (1962). «О некоторых арифметических функциях». Сборник статей . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Челси. С. 136–162. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Перейти ↑ Melfi, Giuseppe (1998). «О некоторых модульных тождествах». Теория чисел, диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты: материалы международной конференции, состоявшейся в Эгере, Венгрия . Walter de Grutyer & Co., стр. 371–382. CS1 maint: discouraged parameter (link)

Дальнейшее чтение [ править ]

Ахиезер, Наум Ильич (1970). «Элементы теории эллиптических функций». Москва. Cite journal requires |journal= (help)Переведено на английский язык как элементы теории эллиптических функций . Переводы математических монографий AMS 79 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. 1990. ISBN. 0-8218-4532-2.
Апостол, Том М. (1990). Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-97127-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Чан, Хенг Хуат; Онг, Яу Линь (1999). «О рядах Эйзенштейна» (PDF) . Proc. Амер. Математика. Soc . 127 (6): 1735–1744. DOI : 10.1090 / S0002-9939-99-04832-7 .
Иванец, Хенрик (2002). Спектральные методы автоморфных форм . Аспирантура по математике 53 (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. гл. 3. ISBN 0-8218-3160-7. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики . Тексты для выпускников по математике 7 (пер. Ред.). Нью-Йорк и Гейдельберг: Springer-Verlag. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[1] Милн, Стивен С. (2000). «Детерминанты Ганкеля ряда Эйзенштейна». arXiv : math / 0009130v3 .

[2] Рамануджан, Шриниваса (1962). «О некоторых арифметических функциях». Сборник статей . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Челси. С. 136–162. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[3] Перейти ↑ Melfi, Giuseppe (1998). «О некоторых модульных тождествах». Теория чисел, диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты: материалы международной конференции, состоявшейся в Эгере, Венгрия . Walter de Grutyer & Co., стр. 371–382. CS1 maint: discouraged parameter (link)