В математике , Феликс Клейн «ы J -инвариантным или J функция , рассматриваемая как функция от комплексного переменного т , является модульной функцией веса нуля для SL (2, Z ) , определенного на верхнюю полуплоскость из комплексных чисел . Это единственная такая функция, которая голоморфна вдали от простого полюса в точке возврата, такая что
Рациональные функции от J являются модульными, а на самом деле дают все агрегатные функции. Классически j -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над C , но он также имеет удивительную связь с симметриями группы Монстров (эта связь упоминается как чудовищный самогон ).
Определение [ править ]
J -инвариантным может быть определена как функция на верхней полуплоскости H = { т ∈ C , Im ( т )> 0},
куда:
Это можно мотивировать, рассматривая каждый τ как представляющий класс изоморфизма эллиптических кривых. Любая эллиптическая кривая E над C является комплексным тором и, таким образом, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть, двумерная решетка C . Эта решетка может быть повернута и масштабируются (операции, сохраняющая класс изоморфизма), так что она порождается 1 и τ ∈ H . Эта решетка соответствует эллиптической кривой (см. Эллиптические функции Вейерштрасса ).
Обратите внимание, что j определяется всюду в H, поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни.
Основная область [ править ]
Можно показать, что Δ является модульной формой веса двенадцать, а g 2 - одним весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор и, следовательно, j является модулярной функцией нулевого веса, в частности голоморфной функцией H → C, инвариантной относительно действия SL (2, Z ) . Факторизация по ее центру {± I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL (2, Z ) .
Подходящим выбором преобразования, принадлежащего этой группе,
мы можем уменьшить τ до значения, дающего то же значение для j и лежащего в основной области для j , которая состоит из значений для τ, удовлетворяющих условиям
Функция j ( τ ), ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение в комплексных числах C ровно один раз. Другими словами, для каждого c в C существует единственный τ в фундаментальной области такой, что c = j ( τ ) . Таким образом, j имеет свойство отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость.
Кроме того, два значения τ, τ '∈ H образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T (τ') для некоторого T ∈ PSL (2, Z ) . Это означает, что j обеспечивает биекцию из множества эллиптических кривых над C в комплексную плоскость. [1]
Как риманова поверхность, фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция (уровня один) является рациональной функцией по j ; и, наоборот, каждая рациональная функция от j является модульной функцией. Другими словами, поле модулярных функций - это C ( j ) .
Теория поля классов и j [ править ]
J -инвариантным обладает многими замечательными свойствами:
- Если τ - любая точка CM, то есть любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью (так что j определено), то j ( τ ) является целым алгебраическим числом . [2] Эти специальные значения называются сингулярными модулями .
- Расширение поля Q [ j ( τ ), τ ] / Q ( τ ) абелево, т. Е. Имеет абелеву группу Галуа .
- Пусть Λ - решетка в C, порожденная элементом {1, τ }. Легко видеть, что все элементы Q ( τ ), которые фиксируют Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Другие решетки с образующими {1, τ ′ }, сопоставленными аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения j ( τ ′ ) к j ( τ ) над Q ( τ ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок вQ ( τ ) является кольцом целых алгебраических чисел Q ( т ) , а значения т иметь егокак связанныеним порядка приводят к неразветвленным расширениям из Q ( т ) .
Эти классические результаты являются отправной точкой для теории комплексного умножения .
Свойства трансцендентности [ править ]
В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат о том, что если τ - квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то j ( τ ) - целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если τ - алгебраическое число, но не мнимо квадратичное, то j ( τ ) трансцендентно.
Функция j обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер предположил конкретный результат о трансцендентности, который часто называют гипотезой Малера, хотя он был доказан как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если τ находится в верхней полуплоскости, то e 2π iτ и j ( τ ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если e 2π iτ является алгебраическим, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны:
Д -разложении и самогон [ править ]
Несколько замечательных свойств j связаны с его q -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через q = e 2π iτ (квадрат нома ), которое начинается:
Заметим, что j имеет простой полюс в точке возврата, поэтому в его q -разложении нет членов ниже q −1 .
Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, что приводит к нескольким почти целым числам , особенно к константе Рамануджана :
- .
Асимптотическая формула для коэффициента д п задается
- ,
что может быть доказано методом кругов Харди – Литтлвуда . [3] [4]
Самогон [ править ]
Более примечательно то, что коэффициенты Фурье для положительных показателей q являются размерностями градуированной части бесконечномерной градуированной алгебры представления группы монстров, называемой модулем самогона, в частности, коэффициент при q n - это размерность степени n. часть модуля самогона, первым примером является алгебра Грисса, размерность которой составляет 196,884, что соответствует члену 196884 q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона .
Изучение гипотезы о самогоне привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модулярных функций нулевого рода. Если они нормализованы, чтобы иметь вид
затем Джон Дж. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты. [5]
Альтернативные выражения [ править ]
У нас есть
где x = λ (1 - λ ) и λ - модульная лямбда-функция
отношение тета-функций Якоби θ m , и является квадратом эллиптического модуля k ( τ ) . [6] Значение j не изменяется, когда λ заменяется любым из шести значений кросс-отношения : [7]
Точки ветвления j находятся в {0, 1, ∞} , так что j - функция Белого . [8]
Выражения в терминах тета-функций [ править ]
Определим ном q = e π iτ и тета-функцию Якоби ,
из которого можно вывести вспомогательные тета-функции . Позволять,
где θ m и ϑ n - альтернативные обозначения, а a 4 - b 4 + c 4 = 0 . Потом,
для инвариантов Вейерштрасса g 2 , g 3 и функции Дедекинда η ( τ ) . Затем мы можем выразить j ( τ ) в форме, которую можно быстро вычислить.
Алгебраическое определение [ править ]
До сих пор мы рассматривали j как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант для классов изоморфизма эллиптических кривых он может быть определен чисто алгебраически. [9] Пусть
- плоская эллиптическая кривая над любым полем. Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы получить приведенное выше уравнение в стандартную форму y 2 = 4 x 3 - g 2 x - g 3 (обратите внимание, что это преобразование может быть выполнено только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Результирующие коэффициенты:
где g 2 = c 4 и g 3 = c 6 . Еще у нас есть дискриминант
Теперь j -инвариант эллиптической кривой можно определить как
В случае, если поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно
Обратная функция [ править ]
Обратная функция от J -инварианта может быть выражена в терминах гипергеометрической функции 2 F 1 (смотрите также статью Пикар-Фукс уравнение ). Явно, учитывая число N , решить уравнение j ( τ ) = N относительно τ можно как минимум четырьмя способами.
Метод 1 : Решение секстики в λ ,
где x = λ (1 - λ ) , а λ - модульная лямбда-функция, поэтому секстику можно решить как кубику по x . Потом,
для любого из шести значений λ .
Метод 2 : Решение квартики по γ ,
то для любого из четырех корней ,
Метод 3 : Решение кубической в β ,
затем для любого из трех корней
Метод 4 : Решение квадратичного по α ,
тогда,
Один корень дает τ , а другой -1/τ, но поскольку j ( τ ) = j (-1/τ) не имеет значения, какой α выбран. Последние три метода можно найти в теории Рамануджана от эллиптических функций альтернативных базисов.
Инверсия применяется при высокоточных вычислениях периодов эллиптических функций, даже когда их отношения становятся неограниченными. Связанный с этим результат - выразимость через квадратичные радикалы значений j в точках мнимой оси, значения которых равны степеням двойки (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат вряд ли очевиден, поскольку модульное уравнение уровня 2 кубическое.
Формулы Пи [ править ]
Братья Чудновские обнаружили в 1987 г. [10]
который использует тот факт, что
Подобные формулы см. В серии Рамануджана – Сато .
Особые значения [ править ]
J -инвариантным обращается в нуль в «углу» фундаментальной области в
Вот еще несколько специальных значений, представленных в альтернативных обозначениях J ( τ ) ≡1/1728 j ( τ ) (хорошо известны только первые четыре из них):
Неспособность классифицировать эллиптические кривые над другими полями [ править ]
-Инвариантное чувствительно только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами, или более общо, алгебраически замкнутое полем . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых -инвариантность такая же, но неизоморфная. Например, пусть будут эллиптические кривые, связанные с полиномами
оба имеют -инвариантный . Тогда рациональные точки могут быть вычислены как
поскольку
а для есть только иррациональные точки
для . Это можно показать с помощью формулы Кардано . С другой стороны, содержит набор точек
так как уравнение дает уравнение
Ибо решение есть , так что предполагайте . Тогда деление уравнения на дает
которое можно переписать в виде квадратного уравнения
Используя квадратичную формулу, это дает
следовательно, это рациональное число. Теперь, если рассматривать эти кривые над , существует изоморфизм, отправляющий
Ссылки [ править ]
- ^ Гарет А. Джонс и Дэвид Сингерман. (1987) Комплексные функции: алгебраическая и геометрическая точки зрения. Кембридж UP. [1]
- ^ Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Тексты для выпускников по математике . 106 . Springer-Verlag . п. 339. ISBN 978-0-387-96203-0. Zbl 0585.14026 .
- ^ Петерссон, Ганс (1932). "Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen" . Acta Mathematica . 58 (1): 169–215. DOI : 10.1007 / BF02547776 . Руководство по ремонту 1555346 .
- ^ Радемахер, Ганс (1938). «Коэффициенты Фурье модулярного инварианта j (τ)». Американский журнал математики . 60 (2): 501–512. DOI : 10.2307 / 2371313 . JSTOR 2371313 . Руководство по ремонту 1507331 .
- Перейти ↑ Cummins, Chris J. (2004). «Подгруппы конгруэнции групп, соизмеримых с PSL (2, Z ) $ рода 0 и 1». Экспериментальная математика . 13 (3): 361–382. DOI : 10.1080 / 10586458.2004.10504547 . ISSN 1058-6458 . S2CID 10319627 . Zbl 1099.11022 .
- ^ Chandrasekharan (1985) стр.108
- ^ Чандрасекхаран, К. (1985), Эллиптические функции , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 281 , Springer-Verlag , p. 110, ISBN 978-3-540-15295-8, Zbl 0575,33001
- ^ Жирондо, Эрнесто; Гонсалес-Диез, Габино (2012), Введение в компактные римановы поверхности и детские рисунки , Тексты студентов Лондонского математического общества, 79 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , стр. 267, ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl 1253,30001
- ^ Ланг, Серж (1987). Эллиптические функции . Тексты для выпускников по математике. 112 . Нью-Йорк и т. Д .: Springer-Verlag. С. 299–300. ISBN 978-1-4612-9142-8. Zbl 0615.14018 .
- ^ Чудновский, Дэвид В .; Чудновский, Грегори В. (1989), «Вычисление классических констант», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 86 (21): 8178-8182, DOI : 10.1073 / pnas.86.21.8178 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 34831 , PMC 298242 , PMID 16594075 .
- Апостол, Том М. (1976), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Graduate Texts in Mathematics, 41 , New York: Springer-Verlag, MR 0422157. Обеспечивает очень удобочитаемое введение и различные интересные личности.
- Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Тексты для выпускников по математике, 41 (2-е изд.), DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0999-7 , ISBN 978-0-387-97127-8, MR 1027834
- Берндт, Брюс С .; Чан Хен Huat (1999), "Ramanujan и модульное J-инвариантным" (PDF) , канадский математический вестник , 42 (4): 427-440, DOI : 10,4153 / CMB-1999-050-1 , MR 1727340 , архивируются из оригинала (PDF) от 29.09.2007 г.. Предоставляет множество интересных алгебраических тождеств, в том числе обратное в виде гипергеометрического ряда.
- Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа формы x ^ 2 + ny ^ 2: Ферма, теория поля классов и комплексное умножение , Нью-Йорк: публикация Wiley-Interscience, John Wiley & Sons Inc., MR 1028322 Вводит j-инвариант и обсуждает связанную теорию полей классов.
- Конвей, Джон Хортон ; Нортон Саймон (1979), "Чудовищная самогон", Бюллетень Лондонского математического общества , 11 (3): 308-339, DOI : 10,1112 / БЛМ / 11.3.308 , MR 0554399. Включает список из 175 модульных функций нулевого рода.
- Ранкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-21212-0, MR 0498390. Краткий обзор в контексте модульных форм.
- Шнайдер, Теодор (1937), "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale", Math. Annalen , 113 : 1-13, DOI : 10.1007 / BF01571618 , MR 1513075 , S2CID 121073687.