Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья посвящена самой большой из спорадических простых конечных групп. Для вида бесконечной группы, известной как группа монстров Тарского, см. Группу монстров Тарского .
Алгебраическая структура → Теория
групп Теория групп
Циклическая группа.svg
Основные понятия
Групповые гомоморфизмы
Конечные группы
Классификация конечных простых групп
  • Целые числа ( Z )
  • Бесплатная группа
Модульные группы
  • PSL (2; Z )
  • SL (2, Z )
  • Арифметическая группа
  • Решетка
  • Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли
  • Соленоид
  • Круг
  • Общая линейная GL ( n )
  • Специальная линейная SL ( n )
  • Ортогональный O ( n )
  • Евклидова E ( n )
  • Специальный ортогональный SO ( n )
  • Унитарный U ( n )
  • Специальная унитарная СУ ( п )
  • Симплектический Sp ( n )
  • G 2
  • П 4
  • E 6
  • E 7
  • E 8
  • Лоренц
  • Пуанкаре
  • Конформный
  • Диффеоморфизм
  • Петля
Бесконечномерная группа Ли
  • O (∞)
  • SU (∞)
  • Sp (∞)
Алгебраические группы
  • Линейная алгебраическая группа
  • Редуктивная группа
  • Абелева разновидность
  • Эллиптическая кривая
  • v
  • т
  • е

В области абстрактной алгебры, известной как теория групп , группа монстров M (также известная как монстр Фишера-Грисса или дружелюбный гигант ) является самой большой спорадической простой группой , имеющей порядок

   2 46  · 3 20  · 5 9  · 7 6  · 11 2  · 13 3  · 17  · 19  · 23  · 29  · 31  · 41  · 47  · 59  · 71
= 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000
≈ 8 × 10 53 .

В конечных простых группах были полностью классифицированы . Каждая такая группа принадлежит к одному из 18 счетно бесконечных семейств или к одной из 26 спорадических групп, которые не следуют такой систематической схеме. Группа монстров состоит из 20 спорадических групп (включая ее самого) в качестве подкомпонентов . Роберт Грисс , доказавший существование монстра в 1982 году, назвал эти 20 групп счастливой семьей , а остальные шесть исключений - изгоями .

Трудно дать хорошее конструктивное определение монстру из-за его сложности. Мартин Гарднер написал популярный отчет о группе монстров в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American за июнь 1980 года . [1]

История [ править ]

Чудовище было предсказано Бернд Фишер (неопубликованной, около 1973) и Роберт Грисс  ( 1976 ) в качестве простой группы , содержащей двойную крышку от Фишера группы монстра ребенка как центратора из в инволюции . В течение нескольких месяцев порядок M был найден Гриссом с использованием формулы порядка Томпсона , а Фишер, Конвей, Нортон и Томпсон открыли другие группы в качестве подфакторов, включая многие известные спорадические группы и две новые: группу Томпсона и группа Харада – Нортона . Таблица символовРазмер монстра 194 на 194 был рассчитан в 1979 году Фишером и Дональдом Ливингстоном с использованием компьютерных программ, написанных Майклом Торном. В 1970-е годы было неясно, существует ли монстр на самом деле. Грисс (1982) построил М как группа автоморфизмов из алгебры Грисса , A 196884-мерная коммутативная неассоциативная алгебры над вещественными числами; он впервые объявил о своем строительстве в Анн-Арборе 14 января 1980 года. В своей статье 1982 года он назвал монстра Дружелюбным Гигантом, но это название не было принято. Джон Конвей  ( 1985 ) и Жак Титс  ( 1983 ,1984 ) впоследствии упростил эту конструкцию.

Конструкция Грисса показала, что монстр существует. Томпсон  ( 1979 ) показал, что ее единственность (как простая группа, удовлетворяющая определенным условиям, вытекающим из классификации конечных простых групп) следует из существования 196 883-мерного точного представления . Доказательство существования такого представления было объявлено Нортоном  ( 1985 ), хотя он никогда не публиковал подробностей. Грисс, Мейерфранкенфельд и Сегев (1989) дали первое полное опубликованное доказательство уникальности монстра (точнее, они показали, что группа с теми же централизаторами инволюций, что и монстр, изоморфна монстру).

Это чудовище стало кульминацией развития спорадических простых групп и может быть построено из любых двух из трех подкомпонентов: группы Фишера Fi 24 , детского монстра и группы Конвея Co 1 .

Мультипликатором Шуру и внешний автоморфизм группа монстра оба тривиальные .

Представления [ править ]

Минимальная степень из верного комплексного представления является 196883, который является продуктом три самых больших простых делителей порядка М. наималейшего точного линейного представления над любым полем имеет размерность 196,882 над полем из двух элементов, только один меньше , чем измерение наименьшего точного сложного представления.

Наименьшее точное представление перестановки монстра находится на 2 4 · 3 7 · 5 3 · 7 4 · 11 · 13 2 · 29 · 41 · 59 · 71 (около 10 20 ) точек.

Монстр может быть реализован как группа Галуа над рациональными числами ( Thompson 1984 , стр. 443) и как группа Гурвица . [2]

Это чудовище необычно среди простых групп тем, что не существует простого способа изобразить его элементы. Это связано не столько с его размерами, сколько с отсутствием «маленьких» представлений. Например, простые группы A 100 и SL 20(2) намного больше, но их легко вычислить, поскольку они имеют «маленькую» перестановку или линейные представления. Чередующиеся группы имеют представления перестановок, которые «малы» по сравнению с размером группы, и все конечные простые группы лиева типа имеют линейные представления, которые «малы» по сравнению с размером группы. Все спорадические группы, кроме монстра, также имеют линейные представления, достаточно малые, чтобы с ними легко работать на компьютере (следующий самый сложный случай после монстра - это детеныш-монстр с представлением размерности 4370).

Компьютерная конструкция [ править ]

Роберт А. Уилсон явно (с помощью компьютера) нашел две обратимые матрицы 196 882 на 196 882 (с элементами в поле порядка 2 ), которые вместе порождают группу монстров путем умножения матриц; это на одно измерение ниже, чем 196 883-мерное представление в характеристике 0. Выполнение вычислений с этими матрицами возможно, но слишком дорого с точки зрения времени и места для хранения, чтобы быть полезным, поскольку каждая такая матрица занимает более четырех с половиной гигабайт. [ необходима цитата ]

Уилсон утверждает , что лучшее описание монстра сказать, «Это группа автоморфизмов из монстра вершины алгебры ». Однако это не очень помогает, потому что никто не нашел «действительно простой и естественной конструкции алгебры вершин монстров». [3]

Уилсон с соавторами нашли способ выполнения вычислений с монстром, который значительно быстрее. Пусть V - 196,882-мерное векторное пространство над полем с двумя элементами. Выбирается большая подгруппа H (предпочтительно максимальная подгруппа) Монстра, в которой легко производить вычисления. Выбрана подгруппа H 3 1 + 12 .2.Suz.2, где Suz - группа Сузуки . Элементы монстра хранятся в виде слов в элементах H и дополнительный генератор Т . Достаточно быстро вычислить действие одного из этих слов на вектор в V. Используя это действие, можно выполнять вычисления (например, порядок элемента монстра). Уилсон показал векторы u и v , совместным стабилизатором которых является тривиальная группа. Таким образом (например) можно вычислить порядок элемента g монстра, найдя наименьшее i > 0 такое, что g i u = u и g i v = v .

Эта и подобные конструкции (с разными характеристиками ) были использованы для поиска некоторых нелокальных максимальных подгрупп.

Самогон [ править ]

Основная статья: Чудовищный самогон

Группа монстров - одна из двух основных составляющих чудовищной гипотезы о самогоне, выдвинутой Конвеем и Нортоном (1979), которая связывает дискретную и недискретную математику и была окончательно доказана Ричардом Борчердсом в 1992 году.

В этом случае группа монстров видна как группа автоморфизмов модуля монстра , алгебра вертексных операторов , бесконечномерная алгебра, содержащая алгебру Грисса, и действует на алгебру Ли монстров , обобщенную алгебру Каца – Муди .

Многие математики, в том числе Конвей, считали монстра красивым и по-прежнему загадочным объектом. [4] Конвей сказал о группе монстров: «Никогда не было никакого объяснения того, почему она существует, и очевидно, что это не просто совпадение. У нее слишком много интригующих свойств, чтобы все это было просто случайностью». [5] Саймон П. Нортон , эксперт по свойствам группы монстров, цитирует слова: «Я могу объяснить, что такое« Чудовищный самогон »одним предложением, это голос Бога». [6]

Наблюдение Маккея на E 8 [ править ]

Существуют также связи между монстром и расширенными диаграммами Дынкина, в частности, между узлами диаграммы и определенными классами сопряженности в монстре, известная как наблюдение Маккея E 8 . [7] [8] [9] Затем это распространяется на связь между расширенными диаграммами и группами 3.Fi 24 ', 2.B и M, где они (3/2/1-кратные центральные расширения) из группы Фишера , детской группы монстра , и монстра. Это спорадические группысвязаны с центраторами элементов типа 1A, 2A и 3A в монстре, а порядок расширения соответствует симметриям диаграммы. См. Классификацию ADE: троицы для дальнейших связей (типа соответствия Маккея ), в том числе (для монстра) с довольно небольшой простой группой PSL (2,11) и с 120 плоскостями тритангенса канонической шестнадцатеричной кривой рода 4, известной как кривая Бринга. кривая .

Максимальные подгруппы [ править ]

Диаграмма из 26 спорадических простых групп, показывающая отношения между частями.

У монстра не менее 44 классов сопряженности максимальных подгрупп . Неабелевы простые группы примерно 60 типов изоморфизма обнаруживаются как подгруппы или как факторы подгрупп. Самая большая представленная переменная группа - A 12 . Чудовище содержит 20 из 26 спорадических групп в качестве подфакторов. Эта диаграмма, основанная на диаграмме из книги Марка Ронана « Симметрия и чудовище » , показывает, как они сочетаются друг с другом. Линии означают включение в качестве подфотора нижней группы верхней. Обведенные символы обозначают группы, не входящие в более крупные спорадические группы. Для ясности лишние включения не показаны.

Сорок четыре класса максимальных подгрупп монстра даны в следующем списке, который (по состоянию на 2016 год) считается полным, за исключением, возможно, почти простых подгрупп с неабелевыми простыми цоколями вида L 2 (13) , U 3 (4) или U 3 (8). [10] [11] [12] Однако таблицы максимальных подгрупп часто содержат незначительные ошибки, и, в частности, по крайней мере две из подгрупп в списке ниже были ошибочно исключены из некоторых предыдущих списков.

  • 2.Б  централизатор инволюции; содержит нормализатор (47:23) × 2 силовской 47-подгруппы
  • 2 1 + 24 .Co 1   централизатор инволюции
  • 3. Fi 24   нормализатор подгруппы порядка 3; содержит нормализатор ((29:14) × 3) .2 силовской 29-подгруппы
  • 2 2 . 2 E 6 (2 2 ): S 3   нормализатор 4-группы Клейна
  • 2 10 + 16 .O 10 + (2)
  • 2 2 + 11 + 22. (M 24 × S 3 )  нормализатор 4-группы Клейна; содержит нормализатор (23:11) × S 4 силовской 23-подгруппы
  • 3 1 + 12 .2Suz.2  нормализатор подгруппы порядка 3
  • 2 5 + 10 + 20. (S 3 × L 5 (2))
  • S 3 × Th  нормализатор подгруппы порядка 3; содержит нормализатор (31:15) × S 3 силовской 31-подгруппы
  • 2 3 + 6 + 12 + 18. (L 3 (2) × 3S 6 )
  • 3 8 .O 8 - (3) .2 3
  • (D 10 × HN) .2  нормализатор подгруппы порядка 5
  • (3 2 : 2 × O 8 + (3)). S 4
  • 3 2 + 5 + 10. (M 11 × 2S 4 )
  • 3 3 + 2 + 6 + 6 : (L 3 (3) × SD 16 )
  • 5 1 + 6 : 2J 2 : 4  нормализатор подгруппы порядка 5
  • (7: 3 × He): 2  нормализатор подгруппы порядка 7
  • (А 5 × А 12 ): 2
  • 5 3 + 3. (2 × длина 3 (5))
  • (A 6 × A 6 × A 6 ). (2 × S 4 )
  • (A 5 × U 3 (8): 3 1 ): 2  содержит нормализатор ((19: 9) × A 5 ): 2 силовской 19-подгруппы
  • 5 2 + 2 + 4 : (S 3 × GL 2 (5))
  • (L 3 (2) × S 4 (4): 2) .2  содержит нормализатор ((17: 8) × L 3 (2)). 2 силовской 17-подгруппы
  • 7 1 + 4 : (3 × 2S 7 )  нормализатор подгруппы порядка 7
  • (5 2 : 4,2 2 × U 3 (5)). S 3
  • (L 2 (11) × M 12 ): 2  содержит нормализатор (11: 5 × M 12 ): 2 подгруппы порядка 11
  • (A 7 × (A 5 × A 5 ): 2 2 ): 2
  • 5 4 : (3 × 2L 2 (25)): 2 2
  • 7 2 + 1 + 2 : GL 2 (7)
  • М 11 × А 6 .2 2
  • (S 5 × S 5 × S 5 ): S 3
  • (Длина 2 (11) × длина 2 (11)): 4
  • 13 2 : 2Л 2 (13) .4
  • (7 2 : (3 × 2A 4 ) × L 2 (7)): 2
  • (13: 6 × L 3 (3)). 2  нормализатор подгруппы порядка 13
  • 13 1 + 2 : (3 × 4S 4 )  нормализатор подгруппы порядка 13; нормализатор силовской 13-подгруппы
  • L 2 (71) Holmes & Wilson (2008) содержит нормализатор 71:35 силовской 71-подгруппы. 
  • L 2 (59) Holmes & Wilson (2004) содержит нормализатор 59:29 силовской 59-подгруппы. 
  • 11 2 : (5 × 2A 5 )  нормализатор силовской 11-подгруппы.
  • L 2 (41) Norton & Wilson (2013) нашли максимальную подгруппу этой формы; из-за тонкой ошибки, указанной Заварницыным, в некоторых предыдущих списках и статьях говорилось, что такой максимальной подгруппы не существует 
  • L 2 (29): 2 Холмс и Уилсон (2002) 
  • 7 2 : SL 2 (7)  это было случайно исключено из некоторых предыдущих списков 7-локальных подгрупп
  • L 2 (19): 2 Холмс и Уилсон (2008) 
  • 41:40  нормализатор силовской 41-подгруппы

См. Также [ править ]

  • Суперсингулярное простое число , простые числа, которые делят порядок монстра

Ссылки [ править ]

  1. ^ Гарднер, Мартин (1980). «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ» . Scientific American . 242 (6): 20–33. ISSN  0036-8733 .
  2. Перейти ↑ Wilson 2001 .
  3. ^ Borcherds 2002 , стр. 1077.
  4. ^ Робертс 2013 .
  5. ^ Харран 2014 , 7:57.
  6. ^ Мастера 2019 .
  7. ^ Дункан 2008 .
  8. ^ Ле Брюйн 2009 .
  9. ^ Он и Маккей 2015 .
  10. Перейти ↑ Wilson 2010 .
  11. Перейти ↑ Norton & Wilson 2013 .
  12. Перейти ↑ Wilson, 2016 .

Источники [ править ]

  • Борчердс, Ричард Э. (октябрь 2002 г.), «Что такое… Монстр?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 49 (9)
  • Ле Брюн, Ливен (22 апреля 2009 г.), граф монстров и наблюдение Маккея
  • Конвей, JH ; Кертис, RT; Нортон, ИП ; Паркер, РА ; Уилсон, Р. А. (1985), Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп , с помощью вычислений от Дж. Г. Такрея, Oxford University Press, ISBN 978-019853199-9
  • Конвей, Джон Хортон (1985), «Простая конструкция для группы монстров Фишера – Грисса», Inventiones Mathematicae , 79 (3): 513–540, Bibcode : 1985InMat..79..513C , doi : 10.1007 / BF01388521 , MR  0782233
  • Конвей, Джон Хортон ; Нортон, Саймон П. (1979), «Чудовищный самогон», Бюллетень Лондонского математического общества , 11 (3): 308–339
  • Дункан, Джон Ф. (2008). «Арифметические группы и аффинная диаграмма Дынкина E8». arXiv : 0810.1465 [ RT math. RT ].
  • Грисс, Роберт Л. (1976), «Структура простой группы монстров», у Скотта, У. Ричарда; Гросс, Флетчер (ред.), Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975) , Boston, MA: Academic Press , pp. 113–118, ISBN 978-0-12-633650-4, MR  0399248
  • Грисс, Роберт Л. (1982), «Дружелюбный гигант» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 69 (1): 1–102, Bibcode : 1982InMat..69 .... 1G , doi : 10.1007 / BF01389186 , MR  0671653
  • Грисс, Роберт Л; Мейерфранкенфельд, Ульрих; Segev, Йоав (1989), "А доказательство единственности для Монстра", Анналы математики , второй серии, 130 (3): 567-602, DOI : 10,2307 / 1971455 , JSTOR  1971455 , MR  1025167
  • Харада, Коитиро (2001), «Математика монстра», Sugaku Expositions , 14 (1): 55–71, MR  1690763
  • Харан, Брэди (2014). Жизнь, смерть и чудовище (Джон Конвей) . Numberphile - через YouTube .
  • Он, Ян-Хуэй; Маккей, Джон (25 мая 2015 г.). «Спорадические и исключительные». arXiv : 1505.06742 [ AG math. AG ].
  • Холмс, ПЭ (2008), "Классификация подгрупп , изоморфных Монстр S₄ и приложение", журнал алгебра , 319 (8): 3089-3099, DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2004.01.031 , МР  2408306
  • Холмс, ЧП; Уилсон, Р. (2002), "Новая максимальная подгруппа Монстра", журнал алгебры , 251 (1): 435-447, DOI : 10,1006 / jabr.2001.9037 , MR  1900293
  • Холмс, ЧП; Уилсон, Р.А. (2003), «Компьютерное построение монстра с использованием 2-локальных подгрупп», Журнал Лондонского математического общества , 67 (2): 346–364, DOI : 10.1112 / S0024610702003976
  • Холмс, Петра Э .; Уилсон, Роберт А. (2004), "PSL₂ (59) является подгруппой Монстра", журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 69 (1): 141-152, DOI : 10.1112 / S0024610703004915 , MR  2025332
  • Холмс, Петра Э .; Уилсон, Роберт А. (2008), "О подгруппах Монстра содержащих A₅ в", журнал алгебры , 319 (7): 2653-2667, DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2003.11.014 , MR  2397402
  • Иванов, А.А., Группа монстров и инволюции Майораны , Кембриджские трактаты по математике, 176 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88994-0
  • Мастерс, Александр (22 февраля 2019 г.), "Некролог Саймона Нортона" , The Guardian
  • Нортон, Саймон П. (1985), «Уникальность монстра Фишера-Грисса», Конечные группы - достижение совершеннолетия (Монреаль, Квебек, 1982) , Contemp. . Математика, 45 , Providence, RI: Американское математическое общество . С. 271-285, DOI : 10,1090 / conm / 045/822242 , ISBN 978-082185047-3, Руководство по ремонту  0822242
  • Нортон, Саймон П. (1998), «Анатомия монстра. I», Атлас конечных групп: десять лет спустя (Бирмингем, 1995) , London Math. Soc. Лекция Примечание Ser,. 249 , Cambridge University Press , стр 198-214,. Дои : 10,1017 / CBO9780511565830.020 , ISBN 978-0-521-57587-4, Руководство по ремонту  1647423
  • Нортон, Саймон П .; Уилсон, Роберт А. (2002), "Анатомия Монстра II.", Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 84 (3): 581-598, DOI : 10,1112 / S0024611502013357 , MR  1888424
  • Нортон, Саймон П .; Уилсон, Роберт А. (2013), «Поправка к 41-структуре Монстра, построение новой максимальной подгруппы L2 (41) и новый феномен самогона» (PDF) , J. London Math. Soc. , Вторая серия, 87 (3): 943-962, DOI : 10,1112 / jlms / jds078
  • Робертс, Шивон (2013), Curiosities: Pursuing the Monster , Институт перспективных исследований
  • Ронан, М. (2006), Симметрия и чудовище , Oxford University Press, ISBN 0-19-280722-6
  • дю Сотуа, Маркус (2008), В поисках самогона , Четвертое поместье, ISBN 978-0-00-721461-7опубликовано в США HarperCollins как Symmetry , ISBN 978-0-06-078940-4 ). 
  • Томпсон, Джон Г. (1979), "Единственность монстра Фишера-Грисса", Бюллетень Лондонского математического общества , 11 (3): 340-346, DOI : 10,1112 / БЛМ / 11.3.340 , MR  0554400
  • Томпсон, Джон Г. (1984), "Некоторые конечные группы , которые выглядят как Гал L / K , где K ⊆ Q (μ п )", журнал алгебры , 89 (2): 437-499, DOI : 10.1016 / 0021- 8693 (84) 90228-X , Руководство по ремонту  0751155
  • Титс, Жак (1983), "Le Monstre (d'après R. Griess, B. Fischer et al.)" , Astérisque (121): 105–122, MR  0768956 , Zbl  0548.20010
  • Титс, Жак (1984), «О« дружелюбном гиганте » Р. Грисса », Inventiones Mathematicae , 78 (3): 491–499, Bibcode : 1984InMat..78..491T , doi : 10.1007 / BF01388446 , MR  0768989
  • Уилсон, Р. (2001), "The Monster является Гурвица группа" , Журнал теории групп , 4 (4): 367-374, DOI : 10,1515 / jgth.2001.027 , MR  1859175 , архивируются с оригинала на 2012-03- 05
  • Уилсон, РА; Уолш, П.Г .; Паркер, РА; Линтон, С.А. (1998), "Компьютерное конструирование монстра", Журнал теории групп , 1 (4): 307–337
  • Уилсон, Роберт А. (2010), «Новые вычисления в Monster», Moonshine: первая четверть века и далее , London Math. Soc. Сер. Лекции, 372 , Cambridge University Press , стр. 393–403, ISBN 978-0-521-10664-1, Руководство по ремонту  2681789
  • Уилсон, Роберт А. (2016), "Является ли группа Сузуки Sz (8) подгруппой монстра?" (PDF) , Бюл. Лондонская математика. Soc. , 48 (2): 355-364, DOI : 10,1112 / БЛЕ / bdw012 , МР  3483073

Внешние ссылки [ править ]

  • Что такое… Монстр? по Ричард Е. Борчердса , Записках Американского математического общества , октябрь 2002 1077
  • MathWorld: группа монстров
  • Атлас представлений конечных групп: Группа монстров
  • Scientific American, июнь 1980 г. Выпуск: Поимка монстра: математическая группа со смехотворным количеством элементов.