Эллиптические функции Вейерштрасса

В математике , эллиптические функции Вейерштрассы являются эллиптическими функциями , которые принимают особенно простой вид; они названы в честь Карла Вейерштрасса . Этот класс функций также называют p-функциями и обычно обозначают символом. Они играют важную роль в теории эллиптических функций. -Функция вместе с ее производной может использоваться для параметризации эллиптических кривых, и они генерируют поле эллиптических функций относительно заданной решетки периодов.

Символ функции P Вейерштрасса

Модель p-функции Вейерштрасса

Определение [ править ]

Функция Вейерштрассы Р , определенная над подмножеством комплексной плоскости с использованием стандартной методики визуализации , в которой белые соответствует полюсу, черные к нулю, а максимальное насыщение в Учитывайте правильную решетку полюсов, и два перемежение решетки нулей.${\ Displaystyle \ влево | е (г) \ вправо | = \ влево | е (х + iy) \ вправо | = 1 \ ;.}$

Позвольте быть двумя комплексными числами , которые линейно независимы по, и пусть будет решетка, порожденная этими числами. Тогда ${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle \Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

${\displaystyle \wp }$-функция определяется следующим образом:

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z,\Lambda ):={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$.

Этот ряд сходится локально равномерно абсолютно в . Часто вместо только используется.${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle \wp (z)}$

Функция Вейерштрасса построена точно таким образом, что в каждой точке решетки имеет полюс второго порядка.${\displaystyle \wp }$

Поскольку одна сумма не сходится, необходимо добавить член . ^[1]${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}}$${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

Кроме того, и с обычно используются в качестве генераторов решетки. Затем мы пишем вместо и устанавливаем .${\displaystyle \omega _{1}=1}$${\displaystyle \omega _{2}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {Im} (\omega _{2})>0}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\tau )}$

Мотивация [ править ]

Кубика вида , где - комплексные числа с , не может быть рационально параметризована. ^[2] Тем не менее, мы все еще хотим найти способ параметризации.${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}}$${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

Для квадрики , единичного круга, существует (нерациональная) параметризация с использованием функции синуса и ее производной функции косинуса:${\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$

${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K}$, .${\displaystyle t\mapsto (\sin(t),\cos(t))}$

Из-за периодичности синуса и косинуса мы выбрали область, поэтому мы получаем инъективную функцию. ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

Очень похожим образом мы получаем параметризацию с помощью двоякопериодической -функции (см. Раздел «Связь с эллитпическими кривыми»). Эта параметризация имеет область , топологически эквивалентную тору . ^[3]${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Есть еще одна аналогия с тригонометрическими функциями. Если мы посмотрим на интегральную функцию

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {(1-y^{2})}}}}$,

тогда мы можем упростить это, заменив и . Теперь у нас есть:${\displaystyle y=\sin(t)}$${\displaystyle s=\arcsin(x)}$

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin(x)}$.

Это значит . Таким образом, мы получаем синусоидальную функцию как функцию, обратную интегральной функции. ^[4]${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin(x)}$

Эллиптические функции также являются функциями, обратными целым функциям, а именно эллиптическим интегралам . В частности, мы получаем -функцию следующим образом:${\displaystyle \wp }$

Позволять

${\displaystyle u(z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}}$.

Затем может быть продолжен на комплексную плоскость и равен -функции. ^[5]${\displaystyle u^{-1}}$${\displaystyle \wp }$

Свойства [ править ]

• ℘ - четная функция. Это означает для всех , что можно увидеть следующим образом:${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

${\displaystyle \wp (-z)={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z)}$

Второе последнее равенство выполняется, потому что . Поскольку сумма абсолютно сходится, эта перестановка не меняет предела.${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• Мероморфен и его производная ^[6]

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$.

• ${\displaystyle \wp }$и двоякопериодичны с периодами und . ^[6] Это означает:${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \wp (z+\omega _{1})=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2})}$и .${\displaystyle \wp '(z+\omega _{1})=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2})}$

Отсюда следует и для всех . Функции, которые являются мероморфными и двоякопериодическими, также называются эллиптическими функциями .${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

Расширение Лорана [ править ]

Пусть . Тогда для в -функции имеет следующее разложение в ряд Лорана${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$${\displaystyle 0<|z|<r}$${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$

куда

${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$ ибо это так называемые ряды Эйзенштейна . ^[6]${\displaystyle n\geq 3}$

Дифференциальное уравнение [ править ]

Ставим и . Тогда -функция удовлетворяет дифференциальному уравнению ^[6]${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$.

Это соотношение можно быстро проверить, составив линейную комбинацию степеней и исключив полюс в точке . Тогда мы получим целую эллиптическую функцию, которая должна быть постоянной по теореме Лиувилля . ^[6]${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle z=0}$

Инварианты [ править ]

Коэффициенты вышеуказанного дифференциального уравнения g ₂ и g ₃ известны как инварианты . Поскольку они зависят от решетки, мы можем рассматривать их как функции в и .${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

Разложение в ряд предполагает, что g ₂ и g ₃ являются однородными функциями степени −4 и −6. То есть ^[7]

${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$для .${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Если и выбраны таким образом, что мы можем интерпретировать g ₂ и g ₃ как функции на верхней полуплоскости .${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

Пусть . Мы получили${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$

${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$,

${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$. ^[8]

Это означает, что g ₂ и g ₃ масштабируются только таким образом. Теперь определим:

${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$, .${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau )}$

Мы получаем так называемые модульные формы. Аналогичным образом -функцию можно рассматривать как модульную форму.${\displaystyle \wp }$

Ряд Фурье для и можно записать в терминах квадрата нома как${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$ ${\displaystyle q=\exp(i\pi \tau )}$

${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$

где - функция делителя . ^[9] Эту формулу можно переписать в терминах ряда Ламберта .${\displaystyle \sigma _{a}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{\alpha }}$

Особые случаи [ править ]

Если инварианты g ₂ = 0, g ₃ = 1, то это называется эквиангармоническим случаем; ^[10]

g ₂ = 1, g ₃ = 0 - лемнискатический случай. ^[11]

Модульный дискриминант [ править ]

Модульное дискриминант Δ определяется как дискриминант многочлена в правой части приведенного выше дифференциального уравнения:

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.\,}$

Это изучается само по себе, как куспид , в теории модулярных форм (то есть как функция решетки периодов ).

Дискриминант представляет собой модульную форму веса 12. То есть под действием модулярной группы он преобразуется как

${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$

где τ - отношение полупериодов, а a , b , c и d - целые числа, причем ad  -  bc = 1. ^[12]

Обратите внимание, где находится эта функция Дедекинда . ^[13]${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$${\displaystyle \eta }$

Присутствие 24 можно понять, связав его с другими вхождениями, такими как эта функция и решетка Пиявки .

Для коэффициентов Фурье см тау-функцию Рамануджана .${\displaystyle \Delta }$

Константы e ₁ , e ₂ и e ₃ [ править ]

${\displaystyle e_{1}}$, и обычно используются для обозначения значений -функции на полупериодах.${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle e_{1}:=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$

${\displaystyle e_{2}:=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle e_{3}:=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$

Они попарно различны и зависят только от решетки, а не от ее образующих. ^[14]${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle e_{1}}$, и являются корнями кубического многочлена и связаны уравнением:${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0}$

Поскольку эти корни различны, дискриминант не обращается в нуль в верхней полуплоскости. ^[15] Теперь мы можем переписать дифференциальное уравнение:${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3})}$.

Это означает, что полупериоды равны нулю .${\displaystyle \wp '}$

Инварианты и выражаются через эти константы следующим образом ^[16] :${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$

${\displaystyle g_{2}=-4(e_{2}e_{3}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$

${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$

Связь с эллиптическими кривыми [ править ]

Позвольте быть решеткой, где - комплексные числа, так что и линейно независимы над . Пусть и - коэффициенты дифференциального уравнения -функции, связанной с решеткой .${\displaystyle \Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \Lambda }$

Теперь посмотрим на кубическую кривую

${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}}$

соответственно проективная кривая

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$.

Для этих кубик, также называемых кубиками Вейерштрасса, не существует рациональной параметризации, если . ^[2] Тем не менее, существует параметризация, использующая -функцию и ее производную .${\displaystyle \Delta \neq 0}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$

Получаем карту

${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} \setminus \Lambda \to C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))}$.

Отображая решетку в точку, мы можем продолжить ее до${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.

Из-за периодичности и не инъективности. Однако, если мы выберем в качестве домена, мы получим ^[17]${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.

Теперь карта является биективен и параметризует эллиптической кривой .${\displaystyle {\tilde {\varphi }}}$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$является абелевой группой и топологическим пространством , наделенным фактор-топологией.

Можно показать, что каждая кубика Вейерштрасса задана таким образом. То есть для каждой пары с существует решетка такая, что ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$${\displaystyle \Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$и . ^[18]${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

Утверждение о том, что эллиптические кривые можно параметризовать , известно как теорема модульности . Это важная теорема теории чисел . В 1995 году Эндрю Уайлс смог доказать Великую теорему Ферма, используя теорему модульности.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Теоремы сложения [ править ]

Давай , так что . Тогда имеем ^[19] :${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z,w,z+w,z-w\notin \Lambda }$

${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w)}$.

А также формула дублирования ^[19] :

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z)}$.

Эти формулы также имеют геометрическую интерпретацию, если мы посмотрим на эллиптическую кривую вместе с отображением, как в предыдущем разделе. ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

Как факторная группа сама по себе является группой. Эта групповая структура транслируется на кривую и может быть там геометрически интерпретирована (см . Групповой закон на эллиптических кривых ).${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

В частности , это групповой изоморфизм. ^[20] Теперь мы можем сформулировать теорему сложения геометрическим образом: ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}}$

Сумма трех попарно различных точек равна нулю тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой в . ^[20]${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$

Это эквивалентно:

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0}$,

где , и . ^[21]${\displaystyle \wp (u)=a}$${\displaystyle \wp (v)=b}$${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$

Связь с эллиптическими функциями Якоби [ править ]

Для численной работы часто удобно вычислять эллиптическую функцию Вейерштрасса в терминах эллиптических функций Якоби .

Основные отношения ^[22]

${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$

где e _1–3 - три корня, описанные выше, а модуль k функций Якоби равен

${\displaystyle k\equiv {\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$

и их аргумент w равен

${\displaystyle w\equiv z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$

Типография [ править ]

Эллиптическая функция Вейерштрасса обычно записывается довольно специальной строчной буквой ℘. ^{[сноска 1]}

В вычислительной технике буква ℘ используется как \wpв TeX . В Unicode кодовая точка - U + 2118 ℘ ЗАГЛАВНЫЙ СЦЕНАЛ P (HTML  ℘ · ℘, ℘ ) с более правильным псевдонимом эллиптической функции Weierstrass . ^{[сноска 2]} В HTML это может быть экранировано как ℘.

См. Также [ править ]

• Функции Вейерштрасса

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 18» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций , (1970) Москва, переведено на английский как AMS Переводы математических монографий Том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2 
• Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, второе издание (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (см. Главу 1.) 
• К. Чандрасекхаран, Эллиптические функции (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4 
• Конрад Кнопп , Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Переиздано в английском переводе как Theory of Functions (1996), Dover Publications ISBN 0-486-69219-1 
• Серж Лэнг , Эллиптические функции (1973), Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-04162-6 
• Е. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон , Курс современного анализа , Cambridge University Press , 1952, главы 20 и 21

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с эллиптическими функциями Вейерштрасса .

• "Эллиптические функции Вейерштрасса" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Эллиптические функции Вейерштрасса на Mathworld .
• Глава 23, Эллиптические и модульные функции Вейерштрасса в DLMF ( Электронная библиотека математических функций ), написанная В. П. Рейнхардтом и П. Л. Уокером.