Представление Sudarshan-Глаубер P является предлагаемым способом выписывания фазового пространства распределения квантовой системы в формулировке фазового пространства квантовой механики. Представление P - это распределение квазивероятностей, в котором наблюдаемые выражаются в нормальном порядке . В квантовой оптике это представление, формально эквивалентное нескольким другим представлениям [1] [2] , иногда отстаивают альтернативные представления для описания света в оптическом фазовом пространстве , поскольку типичные оптические наблюдаемые, такие как оператор числа частиц, естественно выражаются в нормальном порядке. Она названа в честь Джорджа Сударшану [3] и Глаубер , [4] , который работал по этой теме в 1963 году [5] Несмотря на множество полезных приложений в теории лазеров и теории когерентности, то представление Глаубера Sudarshan P имеет тот недостаток , что она не всегда положительна и не является истинной функцией вероятности.
Определение
Мы хотим построить функцию с тем свойством, что матрица плотности является диагональным в базисе когерентных состояний , т.е.
Мы также хотим построить функцию так, чтобы математическое ожидание нормально упорядоченного оператора удовлетворяло теореме оптической эквивалентности . Это означает , что матрица плотности должна быть в анти - нормальна для того , чтобы мы могли выразить матрицу плотности в степенной ряд
Вставка оператора идентичности
Мы видим, что
и таким образом мы формально присваиваем
Для любого практического расчета необходимы более полезные интегральные формулы для P. Один из методов [6] - определить характеристическую функцию
а затем воспользуемся преобразованием Фурье
Другой полезной интегральной формулой для P является [7]
Заметим, что обе эти интегральные формулы не сходятся в обычном смысле для «типичных» систем. Мы также можем использовать матричные элементыв основе Фока . Следующая формула показывает, что всегда можно [3] записать матрицу плотности в этой диагональной форме, не обращаясь к порядку операторов с использованием инверсии (приведенной здесь для одного режима),
где r и θ - амплитуда и фаза α . Хотя это полное формальное решение этой возможности, оно требует бесконечно большого числа производных дельта-функций Дирака , что далеко за пределами досягаемости любой обычной теории умеренного распределения .
Обсуждение
Если квантовая система имеет классический аналог, например когерентное состояние или тепловое излучение , то P неотрицательно везде, как обычное распределение вероятностей. Если, однако, у квантовой системы нет классического аналога, например некогерентного фоковского состояния или запутанной системы , то P где-то отрицательно или более сингулярно, чем дельта-функция Дирака. (Согласно теореме Шварца , распределения, которые более сингулярны, чем дельта-функция Дирака, всегда где-то отрицательны.) Такая « отрицательная вероятность » или высокая степень сингулярности является особенностью, присущей представлению, и не умаляет значимости взятых математических ожиданий. по отношению к P . Однако даже если P ведет себя как обычное распределение вероятностей, все не так просто. Согласно Манделю и Вольфу: «Различные когерентные состояния не [взаимно] ортогональны, так что даже есливедет себя как истинная плотность [функция] вероятности, она не описывает вероятности взаимоисключающих состояний » [8].
Примеры
Тепловое излучение
Из аргументов статистической механики в базисе Фока известно, что среднее число фотонов моды с волновым вектором k и состоянием поляризации s для черного тела при температуре T равно
Р представление черного тела
Другими словами, каждая мода черного тела обычно распределяется на основе когерентных состояний. Поскольку P положительна и ограничена, эта система по существу классическая. Это действительно замечательный результат, потому что для теплового равновесия матрица плотности также диагональна в фоковском базисе, но фоковские состояния неклассичны.
Весьма необычный пример
Даже очень простые на вид состояния могут демонстрировать весьма неклассическое поведение. Рассмотрим суперпозицию двух когерентных состояний
где c 0 , c 1 - константы с нормирующим ограничением
Обратите внимание, что это сильно отличается от кубита, потому что а также не ортогональны. Поскольку вычислить несложно, мы можем использовать приведенную выше формулу Мехты для вычисления P ,
Несмотря на бесконечное количество производных от дельта-функций, P по- прежнему подчиняется теореме оптической эквивалентности. Если, например, математическое ожидание числового оператора берется по отношению к вектору состояния или как среднее по фазовому пространству по отношению к P , два ожидаемых значения совпадают:
Смотрите также
Рекомендации
Цитаты
- ^ Л. Коэн (1966). «Обобщенные функции распределения в фазовом пространстве». J. Math. Phys . 7 (5): 781–786. Bibcode : 1966JMP ..... 7..781C . DOI : 10.1063 / 1.1931206 .
- ^ Л. Коэн (1976). «Проблема квантования и вариационный принцип в фазовой формулировке квантовой механики». J. Math. Phys . 17 (10): 1863–1866. Bibcode : 1976JMP .... 17.1863C . DOI : 10.1063 / 1.522807 .
- ^ а б ЭКГ Сударшан (1963). «Эквивалентность полуклассического и квантово-механического описания статистических световых пучков». Phys. Rev. Lett . 10 (7): 277–279. Bibcode : 1963PhRvL..10..277S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.10.277 .
- ^ Р. Дж. Глаубер (1963). «Когерентные и некогерентные состояния поля излучения». Phys. Ред . 131 (6): 2766–2788. Bibcode : 1963PhRv..131.2766G . DOI : 10.1103 / PhysRev.131.2766 .
- ^ Это было предметом споров, когда Глауберу была присуждена часть Нобелевской премии по физике 2005 г.за его работу в этой области, авклад Джорджа Сударшана не был признан, ср. Чжоу, Лулу (2005-12-06). «Ученые ставят под сомнение Нобелевскую премию» . Гарвардский малиновый . Проверено 28 апреля 2016 .. Статья Сударшана была получена в Physical Review Letters 1 марта 1963 г. и опубликована 1 апреля 1963 г., а статья Глаубера была получена в Physical Review 29 апреля 1963 г. и опубликована 15 сентября 1963 г.
- ^ CL Mehta; ЭКГ Сударшан (1965). «Связь квантового и полуклассического описания оптической когерентности». Phys. Ред . 138 (1B): B274 – B280. Bibcode : 1965PhRv..138..274M . DOI : 10.1103 / PhysRev.138.B274 .
- ^ CL Mehta (1967). "Диагональное когерентное представление квантовых операторов". Phys. Rev. Lett . 18 (18): 752–754. Bibcode : 1967PhRvL..18..752M . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.18.752 .
- Перейти ↑ Mandel & Wolf 1995 , p. 541
Библиография
Mandel, L .; Вольф, Э. (1995), Оптическая когерентность и квантовая оптика , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-41711-2