Оператор в квантовой механике, собственные значения которого помечают состояния числом частиц в системе в этих состояниях.
Было предложено
объединить эту статью в
номер частицы . (
Обсудить )
Предлагается с декабря 2020 года.
В квантовой механике для систем, в которых общее количество частиц не может быть сохранено, числовой оператор - это наблюдаемая величина, которая считает количество частиц.
Числовой оператор действует в пространстве Фока . Позволять
| Ψ ⟩ ν знак равно | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ п ⟩ ν {\ Displaystyle | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = | \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {n} \ rangle _ {\ nu}} быть фоковским состоянием , состоящим из одночастичных состояний, взятых из базиса лежащего в основе гильбертова пространства фоковского пространства. Учитывая соответствующие операторы создания и уничтожения, и мы определяем числовой оператор как | ϕ я ⟩ {\ displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle} а † ( ϕ я ) {\ Displaystyle а ^ {\ кинжал} (\ фи _ {я})} а ( ϕ я ) {\ Displaystyle а (\ фи _ {я}) \,}
N я ^ знак равно d е ж а † ( ϕ я ) а ( ϕ я ) {\ displaystyle {\ hat {N_ {i}}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ a ^ {\ dagger} (\ phi _ {i}) a (\ phi _ {i })} и у нас есть
N я ^ | Ψ ⟩ ν знак равно N я | Ψ ⟩ ν {\ Displaystyle {\ шляпа {N_ {i}}} | \ Psi \ rangle _ {\ nu} = N_ {i} | \ Psi \ rangle _ {\ nu}} где - количество частиц в состоянии . Приведенное выше равенство можно доказать, отметив, что N я {\ displaystyle N_ {i}} | ϕ я ⟩ {\ displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle}
а ( ϕ я ) | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ я - 1 , ϕ я , ϕ я + 1 , ⋯ , ϕ п ⟩ ν знак равно N я | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ я - 1 , ϕ я + 1 , ⋯ , ϕ п ⟩ ν а † ( ϕ я ) | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ я - 1 , ϕ я + 1 , ⋯ , ϕ п ⟩ ν знак равно N я | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ я - 1 , ϕ я , ϕ я + 1 , ⋯ , ϕ п ⟩ ν {\displaystyle {\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{matrix}}} тогда
N i ^ | Ψ ⟩ ν = a † ( ϕ i ) a ( ϕ i ) | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ i − 1 , ϕ i , ϕ i + 1 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν = N i a † ( ϕ i ) | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ i − 1 , ϕ i + 1 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν = N i N i | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ i − 1 , ϕ i , ϕ i + 1 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν = N i | Ψ ⟩ ν {\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\\end{matrix}}} 
