Государство Фока

В квантовой механике состояние Фока или числовое состояние - это квантовое состояние, которое является элементом пространства Фока с четко определенным числом частиц (или квантов ). Эти состояния названы в честь советского физика Владимира Фока . Состояния Фока играют важную роль во втором квантовании формулировки квантовой механики.

Впервые представление частиц было подробно рассмотрено Полем Дираком для бозонов и Паскуалем Джорданом и Юджином Вигнером для фермионов . ^{[1] : 35} Фоковские состояния бозонов и фермионов подчиняются полезным соотношениям относительно операторов создания и уничтожения фоковских пространств .

Определение [ править ]

Один определяет многочастичное состояние N невзаимодействующих идентичных частиц, записывая состояние как сумму тензорных произведений N одночастичных состояний. Кроме того, в зависимости от целостности спина частиц , тензорные произведения должны быть чередующимися (антисимметричными) или симметричными произведениями лежащего в основе одночастичного гильбертова пространства . Конкретно:

• Фермионы , имеющие полуцелый спин и подчиняющиеся принципу исключения Паули , соответствуют антисимметричным тензорным произведениям.
• Бозоны , имеющие целочисленный спин (и не подчиняющиеся принципу исключения), соответствуют симметричным тензорным произведениям.

Если число частиц является переменным, пространство Фока строится как прямая сумма гильбертовых пространств тензорного произведения для каждого числа частиц . В пространстве Фока можно указать одно и то же состояние в новой нотации, в обозначении числа занятости, указав количество частиц в каждом возможном одночастичном состоянии.

Позвольте быть ортонормированный базис состояний в лежащем в основе одночастичном гильбертовом пространстве. Это индуцирует соответствующий базис пространства Фока, называемый «базисом числа занятых». Квантовое состояние в пространстве Фока называется состоянием Фока, если оно является элементом базиса числа занятых. ${\textstyle {\boldsymbol {B}}=\left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}$

Состояние Фока удовлетворяет важному критерию: для каждого i состояние является собственным состоянием оператора числа частиц, соответствующего i- му элементарному состоянию k _i . Соответствующее собственное значение дает количество частиц в состоянии. Этот критерий почти определяет фоковские состояния (необходимо дополнительно выбрать фазовый множитель).${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$

Данное состояние Фока обозначается . В этом выражении, обозначает количество частиц в i-м состоянии k _i , а оператор числа частиц для i-го состояния действует на состояние Фока следующим образом:${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{i}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$

Следовательно, состояние Фока - это собственное состояние числового оператора с собственным значением . ^{[2] : 478}${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$

Состояния Фока составляют наиболее удобную основу фоковского пространства. Элементы пространства Фока, которые являются суперпозициями состояний с различным числом частиц (и, следовательно, не являются собственными состояниями числового оператора), не являются состояниями Фока. По этой причине не все элементы фоковского пространства называют «состояниями Фока».

Если мы определим оператор совокупного числа частиц как${\textstyle {\widehat {N}}}$

${\displaystyle {\widehat {N}}=\sum _{i}{\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}},}$

определение состояния Фока гарантирует, что дисперсия измерения , т. е. измерение числа частиц в состоянии Фока, всегда возвращает определенное значение без флуктуации.${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0}$

Пример использования двух частиц [ править ]

Для любого конечного состояния , любого фоковского состояния двух идентичных частиц, заданных с помощью , и любого оператора , мы имеем следующее условие неразличимости : ^{[3] : 191}${\displaystyle |f\rangle }$${\displaystyle |1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \right|^{2}=\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \right|^{2}}$.

Итак, мы должны иметь ${\displaystyle \left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$

где для бозонов и для фермионов . Поскольку и произвольны, можно сказать, ${\displaystyle e^{i\delta }=+1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \langle f|}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =+\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$ для бозонов и

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =-\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$для фермионов. ^{[3] : 191}

Обратите внимание, что числовой оператор не отличает бозоны от фермионов; действительно, он просто считает частицы независимо от их типа симметрии. Чтобы ощутить разницу между ними, нам нужны другие операторы, а именно операторы создания и уничтожения .

Бозонное состояние Фока [ править ]

Бозоны , которые представляют собой частицы с целочисленным спином, подчиняются простому правилу: их составное собственное состояние симметрично ^[4] по отношению к оператору обмена . Например, в системе двух частиц в тензорном произведении мы имеем представление .${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$

Операторы создания и уничтожения бозонов [ править ]

Мы должны иметь возможность выразить то же свойство симметрии в этом новом представлении пространства Фока. Для этого мы вводим неэрмитовы бозонные операторы рождения и уничтожения , ^[4] обозначенные и соответственно. Действие этих операторов на фоковское состояние задается следующими двумя уравнениями:${\displaystyle b^{\dagger }}$${\displaystyle b}$

• Оператор создания :${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• Оператор аннигиляции :${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$^[4]

Неэрмитовость операторов создания и уничтожения [ править ]

Операторы создания и уничтожения бозонных состояний Фока не являются эрмитовыми . ^[4]

Доказательство того, что операторы рождения и уничтожения не эрмитовы.

Для состояния Фока ,${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\rangle }$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...\left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...\right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...\right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}+1...\right\rangle \end{aligned}}}$ Таким образом, понятно, что сопряженный оператор создания (уничтожения) в себя не входит. Следовательно, они не эрмитовы операторы. Но к оператору создания (уничтожения) присоединяется оператор уничтожения (создания). [5] : 45

Идентификационные данные оператора [ править ]

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в бозонной системе имеют вид

${\displaystyle \left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$^[4]

${\displaystyle \left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,}$^[4]

где это коммутатор , и это Кронекера .${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

N бозонных базисных состояний ${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$[ править ]

Количество частиц (N)	Бозонные базисные состояния [6] : 11
0	${\displaystyle |0,0,0...\rangle }$
1	${\displaystyle |1,0,0...\rangle }$, , , ...${\displaystyle |0,1,0...\rangle }$${\displaystyle |0,0,1...\rangle }$
2	${\displaystyle |2,0,0...\rangle }$, , , ...${\displaystyle |1,1,0...\rangle }$${\displaystyle |0,2,0...\rangle }$
...	...

Действия в отношении некоторых конкретных состояний Фока [ править ]

Действие числовых операторов [ править ]

Числовые операторы для бозонной системы имеют вид , где ^[4]${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$

Числовые операторы - это эрмитовы операторы.

Симметричное поведение бозонных фоковских состояний [ править ]

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения обеспечивают соответствующее симметричное поведение бозонных фоковских состояний при обмене частицами. Здесь обмен частицами между двумя состояниями (скажем, l и m ) осуществляется путем уничтожения частицы в состоянии l и создания частицы в состоянии m . Если мы начинаем с состояния Фока и хотим перевести частицу из состояния в состояние , тогда мы управляем состоянием Фока следующим образом:${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$${\displaystyle k_{l}}$${\displaystyle k_{m}}$${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }b_{\mathbf {k} _{l}}}$

Используя коммутационное соотношение, мы имеем ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle &=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle \end{aligned}}}$

Таким образом, состояние Бозонного Фока ведет себя симметрично при работе оператора Exchange.

• Функция Вигнера ${\displaystyle |0\rangle }$

• Функция Вигнера ${\displaystyle |1\rangle }$

• Функция Вигнера ${\displaystyle |2\rangle }$

• Функция Вигнера ${\displaystyle |3\rangle }$

• Функция Вигнера ${\displaystyle |4\rangle }$

Фермионное состояние Фока [ править ]

Операторы рождения и уничтожения фермионов [ править ]

Чтобы сохранить антисимметричное поведение фермионов , для фермионных фоковских состояний мы вводим неэрмитовы операторы рождения и уничтожения фермионов ^[4], определенные для фермионного фоковского состояния как: ^[4]${\displaystyle |\psi \rangle =|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

• Оператор создания действует как:${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• Оператор уничтожения действует как:${\textstyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$

Эти два действия выполняются антисимметрично, о чем мы поговорим позже.

Идентификационные данные оператора [ править ]

Антикоммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в фермионной системе :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\dagger }\right\}\equiv c_{i}^{\,}c_{j}^{\dagger }+c_{j}^{\dagger }c_{i}^{\,}&=\delta _{ij},\\\left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\,}\right\}&=0,\end{aligned}}}$ ^[4]

где это антикоммутатор и является Кронекером . Эти антикоммутационные соотношения можно использовать для демонстрации антисимметричного поведения фермионных фоковских состояний .${\displaystyle {\{\ ,\ \}}}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

Действие числовых операторов [ править ]

Числовые операторы для фермионов имеют вид .${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$^[4]

Максимальное количество занятий [ править ]

Действие числового оператора, а также операторов рождения и уничтожения может показаться таким же, как и бозонные, но реальный поворот связан с максимальным числом заполнения каждого состояния в фермионном фоковском состоянии. Расширяя приведенный выше пример с двухчастичной фермионной системой, мы сначала должны убедиться, что фермионное состояние Фока получается путем применения некоторой суммы операторов перестановки к тензорному произведению собственных наборов следующим образом:${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle =S_{-}\left|i_{1},i_{2},i_{3}...i_{l}...\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\left|i_{1}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{1}\right\rangle _{N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left|i_{N}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{N}\right\rangle _{N}\end{vmatrix}}}$^{[7] : 16}

Этот определитель называется определителем Слейтера . ^{[ необходимая цитата ]} Если любое из состояний одной частицы одинаково, две строки определителя Слейтера будут одинаковыми, и, следовательно, определитель будет равен нулю. Следовательно, два идентичных фермиона не должны находиться в одном и том же состоянии (утверждение принципа исключения Паули ). Следовательно, число заполнения любого отдельного состояния равно 0 или 1. Собственное значение, связанное с фермионным фоковским состоянием, должно быть либо 0, либо 1.${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$

N-фермионные базисные состояния ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle }$[ править ]

Количество частиц (N)	Фермионные базисные состояния [6] : 11
0	${\displaystyle |0,0,0...\rangle }$
1	${\displaystyle |1,0,0...\rangle }$, , , ...${\displaystyle |0,1,0...\rangle }$${\displaystyle |0,0,1...\rangle }$
2	${\displaystyle |1,1,0...\rangle }$, , , ...${\displaystyle |0,1,1...\rangle }$${\displaystyle |0,1,0,1...\rangle }$${\displaystyle |1,0,1,0...\rangle }$
...	...

Действия в отношении некоторых конкретных состояний Фока [ править ]

Антисимметричное поведение фермионного фоковского состояния [ править ]

Антисимметричное поведение фермионных состояний под действием оператора Exchange учитывается антикоммутационными соотношениями. Здесь обмен частицами между двумя состояниями осуществляется путем уничтожения одной частицы в одном состоянии и создания одной в другом. Если мы начинаем с состояния Фока и хотим перевести частицу из состояния в состояние , тогда мы управляем состоянием Фока следующим образом:${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$${\displaystyle k_{l}}$${\displaystyle k_{m}}$${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}}$

Используя антикоммутационное соотношение, имеем

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}=-c_{\mathbf {k} _{l}}.c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle }$

но,

$${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{{\mathbf {k} }_{l}}.c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1}}{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1...\rangle \end{aligned}}}$$

Таким образом, фермионные фоковские состояния антисимметричны по отношению к операторам обмена частицами.

Состояния Фока вообще не являются собственными состояниями энергии [ править ]

В теории второго квантования функция плотности гамильтониана задается выражением

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)}$^{[3] : 189}

Полный гамильтониан определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}}$

В свободной теории Шредингера, ^{[3] : 189}

${\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

и

${\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}$

и

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$,

где - оператор уничтожения.${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

Только для невзаимодействующих частиц делать и коммутировать; в общем, они не ездят на работу. Для невзаимодействующих частиц${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}}$

Если они не коммутируют, гамильтониан не будет иметь вышеуказанного выражения. Следовательно, в общем случае фоковские состояния не являются энергетическими собственными состояниями системы.

Колебания вакуума [ править ]

Вакуумное состояние или является состоянием с наименьшей энергией, а математические ожидания и исчезают в этом состоянии:${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{\dagger }}$

${\displaystyle a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }}$

Электрическое и магнитное поля и векторный потенциал имеют разложение мод одного и того же общего вида:

${\displaystyle F\left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}x-\omega t}+h\cdot c}$

Таким образом, легко видеть, что математические ожидания этих операторов поля равны нулю в вакуумном состоянии:

${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}$

Однако можно показать, что математические ожидания квадрата этих операторов поля не равны нулю. Таким образом, поле имеет флуктуации около нулевого среднего по ансамблю. Эти флуктуации вакуума ответственны за многие интересные явления, включая лэмбовский сдвиг в квантовой оптике.

Многорежимные состояния Фока [ править ]

В многомодовом поле каждый оператор создания и уничтожения работает в своем собственном режиме. Так и оперируем только на . Поскольку операторы, соответствующие различным режимам, действуют в разных подпространствах гильбертова пространства, все поле является прямым произведением всех режимов:${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}}$${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }}$${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle }$${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{3}}\right\rangle \ldots \equiv \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \equiv \left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Операторы создания и уничтожения работают с многомодовым состоянием, только повышая или понижая числовое состояние своего собственного режима:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle \\a_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle \end{aligned}}}$

Мы также определяем оператор общего числа для поля, который является суммой числовых операторов каждого режима:

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }=\sum {\hat {n}}_{\mathbf {k} _{l}}}$

Многомодовое состояние Фока является собственным вектором оператора полного числа, собственное значение которого является полным числом заполнения всех мод.

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle =\left(\sum n_{\mathbf {k} _{l}}\right)|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle }$

В случае невзаимодействующих частиц числовой оператор и гамильтониан коммутируют друг с другом, и, следовательно, многомодовые фоковские состояния становятся собственными состояниями многомодового гамильтониана

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle =\left(\sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf {k} _{l}}+{\frac {1}{2}}\right)\right)\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Источник однофотонного состояния [ править ]

Одиночные фотоны обычно генерируются с использованием одиночных излучателей (атомы, азотно-вакансионный центр , ^[8] Квантовая точка ^[9] ). Однако эти источники не всегда очень эффективны, часто с низкой вероятностью получить по запросу одиночный фотон; и часто сложные и неподходящие для лабораторных условий.

Обычно используются другие источники, которые преодолевают эти проблемы за счет недетерминированного поведения. Объявленные источники одиночных фотонов - это вероятностные двухфотонные источники, от которых отделяется пара, и обнаружение одного фотона предвещает присутствие оставшегося. Эти источники обычно полагаются на оптическую нелинейность некоторых материалов, таких как, например, периодически поляризованный ниобат лития ( спонтанное параметрическое преобразование с понижением частоты ) или кремний (спонтанное четырехволновое смешение ).

Неклассическое поведение [ править ]

Глаубер-Sudarshan P-представление Фока состояний показывает , что эти состояния являются чисто квантово - механическое и не имеют классического аналога. ^{[ Разъяснение необходимости ]} этих состояний в представлении является «й производной дельта - функции Дирака и , следовательно , не является классическим распределением вероятностей.${\displaystyle \scriptstyle \varphi (\alpha )\,}$${\displaystyle 2n}$

См. Также [ править ]

• Когерентные состояния
• Предел Гейзенберга
• Неклассический свет

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Владан Vuletic из MIT был использован ансамбль атомов для получения состояния Фока ( так называемый одиночный фотон) источник (PDF)
• Создайте и измерьте однофотонное состояние (состояние Фока) с помощью интерактивного эксперимента QuantumLab