Пространство фока

Пространство Фока представляет собой алгебраическая конструкция , используемая в квантовой механике для построения квантовых состояний пространства переменного или неизвестного числа одинаковых частиц из одной частицы гильбертова пространства H . Он назван в честь В.А. Фока, который впервые представил его в своей статье 1932 года «Konfigurationsraum und zweite Quantelung». ^{[1] [2]}

Неформально пространство Фока - это сумма набора гильбертовых пространств, представляющих состояния с нулевой частицей, состояния с одной частицей, состояния с двумя частицами и так далее. Если идентичные частицы являются бозонами , то п -Частичных состояний являются векторами в симметризованном тензорном произведении из п одночастичных пространств Гильберта H . Если идентичные частицы являются фермионами , то п -Частичных состояний являются векторами в качестве антисимметризованного тензорного произведения п одночастичных пространств Гильберта H . (См. Симметрическую алгебру и внешнюю алгебрусоответственно.) общее состояние в пространстве Фока является линейной комбинацией из п -частичных состояний, по одному для каждого п .

Технически пространство Фока ( пополнение гильбертова пространства ) представляет собой прямую сумму симметричных или антисимметричных тензоров в тензорных степенях одночастичного гильбертова пространства H ,

${\ displaystyle F _ {\ nu} (H) = {\ overline {\ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} S _ {\ nu} H ^ {\ otimes n}}} ~.}$

Вот это оператор , который symmetrizes или antisymmetrizes тензор , в зависимости от того, описывает ли гильбертово пространство частиц , подчиняющихся бозонные или фермионные статистики, и Overline представляет завершение пространства. Бозонное (соответственно фермионное) пространство Фока можно также построить как (пополнение гильбертова пространства) симметричные тензоры (соответственно чередующиеся тензоры ). Фок утверждает , что для каждого базиса H существует естественный базис пространства Фока .${\ displaystyle S _ {\ nu}}$ ${\ Displaystyle (\ ню = +)}$ ${\ Displaystyle (\ ню = -)}$ ${\ displaystyle F _ {+} (H) = {\ overline {S ^ {*} H}}}$ ${\ displaystyle F _ {-} (H) = {\ overline {{\ bigwedge} ^ {*} H}}}$

Определение [ править ]

Фока пространством является (Гильберт) прямая суммой из тензорных произведений копий в одночастичном гильбертовом пространстве${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle F _ {\ nu} (H) = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} S _ {\ nu} H ^ {\ otimes n} = \ mathbb {C} \ oplus H \ oplus \ left (S _ {\ nu} \ left (H \ otimes H \ right) \ right) \ oplus \ left (S _ {\ nu} \ left (H \ otimes H \ otimes H \ right) \ right) \ oplus \ ldots}$

Здесь , как сложные скаляры , состоит из состояний , соответствующих без каких - либо частиц, состояний одной частицы, состояния двух одинаковых частиц и т.д.${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle S _ {\ nu} (Ч \ Время Н)}$

Типичное состояние в определяется выражением${\ Displaystyle F _ {\ nu} (Н)}$

${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \ldots =a_{0}|0\rangle \oplus a_{1}|\psi _{1}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{2i},\psi _{2j}\rangle _{\nu }\oplus \ldots }$

куда

${\displaystyle |0\rangle }$- вектор длины 1, называемый вакуумным состоянием, и является комплексным коэффициентом,${\displaystyle \,a_{0}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle \in H}$является состоянием в одночастичном гильбертовом пространстве и является комплексным коэффициентом,${\displaystyle \,a_{1}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle |\psi _{2i}\,,\psi _{2j}\rangle _{\nu }={\frac {1}{2}}(|\psi _{2i}\rangle \otimes |\psi _{2j}\rangle +\nu \,|\psi _{2j}\rangle \otimes |\psi _{2i}\rangle )\in S_{\nu }(H\otimes H)}$, а - комплексный коэффициент${\displaystyle a_{ij}=\nu a_{ji}\in \mathbb {C} }$

и Т. Д.

Сходимость этой бесконечной суммы важна, если это должно быть гильбертово пространство. Технически нам требуется пополнение гильбертова пространства алгебраической прямой суммы. Он состоит из всех бесконечных наборов таких, что норма , определяемая внутренним произведением, конечна.${\displaystyle F_{\nu }(H)}$${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=(|\Psi _{0}\rangle _{\nu },|\Psi _{1}\rangle _{\nu },|\Psi _{2}\rangle _{\nu },\ldots )}$

${\displaystyle \||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty }$

где норма частицы определяется как ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }=\sum _{i_{1},\ldots i_{n},j_{1},\ldots j_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{*}a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}\langle \psi _{i_{1}}|\psi _{j_{1}}\rangle \cdots \langle \psi _{i_{n}}|\psi _{j_{n}}\rangle }$

т.е. ограничение нормы на тензорное произведение ${\displaystyle H^{\otimes n}}$

Для двух государств

${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \ldots =a_{0}|0\rangle \oplus a_{1}|\psi _{1}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{2i},\psi _{2j}\rangle _{\nu }\oplus \ldots }$, и

${\displaystyle |\Phi \rangle _{\nu }=|\Phi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \ldots =b_{0}|0\rangle \oplus b_{1}|\phi _{1}\rangle \oplus \sum _{ij}b_{ij}|\phi _{2i},\phi _{2j}\rangle _{\nu }\oplus \ldots }$

скалярное произведение на затем определяется как${\displaystyle F_{\nu }(H)}$

${\displaystyle \langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\sum _{n}\langle \Psi _{n}|\Phi _{n}\rangle _{\nu }=a_{0}^{*}b_{0}+a_{1}^{*}b_{1}\langle \psi _{1}|\phi _{1}\rangle +\sum _{ijkl}a_{ij}^{*}b_{kl}\langle \psi _{2i}|\phi _{2k}\rangle \langle \psi _{2j}|\phi _{2l}\rangle _{\nu }+\ldots }$

где мы используем скалярные произведения на каждом из -частичных гильбертовых пространств. Обратите внимание, что, в частности, подпространства частиц ортогональны для разных .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Состояния продукта, неразличимые частицы и полезная основа для пространства Фока [ править ]

Состояние произведения пространства Фока - это состояние вида

${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }=|\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle \cdots |\phi _{n}\rangle }$

который описывает набор частиц, одна из которых имеет квантовое состояние , другая и т. д. вплоть до ^th частицы, где каждое - любое состояние из одночастичного гильбертова пространства . Здесь сопоставление (запись одночастичных кетов рядом, без символа ) - это симметричное (соответственно антисимметричное) умножение в симметричной (антисимметричной) тензорной алгебре . Общее состояние в пространстве Фока - это линейная комбинация состояний продукта. Состояние, которое не может быть записано как выпуклая сумма состояний продукта, называется запутанным состоянием .${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi _{1}\,}$${\displaystyle \phi _{2}\,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi _{i}\,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \otimes }$

Когда мы говорим об одной частице в состоянии${\displaystyle \phi _{i}\,}$ , необходимо иметь в виду, что в квантовой механике идентичные частицы неразличимы . В одном и том же пространстве Фока все частицы идентичны. (Для описания многих разновидностей частиц мы берем тензорное произведение стольких различных пространств Фока, сколько разновидностей рассматриваемых частиц). Одна из самых мощных черт этого формализма заключается в том, что состояния неявно правильно симметризованы. Например, если указанное выше состояние является фермионным, оно будет равно 0, если два (или более) из них равны из-за антисимметричного (внешнего) произведения . Это математическая формулировка принципа исключения Паули.${\displaystyle |\Psi \rangle _{-}}$${\displaystyle \phi _{i}\,}$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle |\phi _{i}\rangle =0}$что никакие два (или более) фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии. Фактически, всякий раз, когда термины в формальном продукте линейно зависимы; для антисимметричных тензоров произведение будет равно нулю. Кроме того, произведение ортонормированных состояний правильно ортонормировано по построению (хотя, возможно, 0 в случае Ферми, когда два состояния равны).

Полезная и удобная основа для пространства Фока - это основа заполняемости . Учитывая базис из , мы можем обозначить состояние с частицами в состоянии , частицы в состоянии , ..., частицы в состоянии , и без каких - либо частиц в остальных штатах, определяя${\displaystyle \{|\psi _{i}\rangle \}_{i=0,1,2,\dots }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$

${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}},}$

где каждый принимает значение 0 или 1 для фермионных частиц и 0, 1, 2, ... для бозонных частиц. Обратите внимание, что конечные нули могут быть отброшены без изменения состояния. Такое состояние называется состоянием Фока . Когда понимаются как стационарные состояния свободного поля, состояния Фока описывают совокупность невзаимодействующих частиц в определенных числах. Наиболее общее состояние Фока - это линейная суперпозиция чистых состояний.${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Два очень важных оператора - это операторы рождения и уничтожения , которые при воздействии на состояние Фока добавляют или соответственно удаляют частицу в приписанном квантовом состоянии. Они предназначены для созидания и для уничтожения соответственно. Чтобы создать («добавить») частицу, квантовое состояние является симметричным или внешним - умноженным на ; и, соответственно, чтобы уничтожить («удалить») частицу, берется (четный или нечетный) внутренний продукт , который является сопряженным с . Часто бывает удобно работать с состояниями основы${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )\,}$${\displaystyle a(\phi )\,}$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )\,}$${\displaystyle H}$так что эти операторы удаляют и добавляют ровно одну частицу в данном базисном состоянии. Эти операторы также служат в качестве генераторов для более общих операторов , действующих на пространстве Фока, например , на номер оператора дает число частиц в определенном состоянии находится .${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})\,}$

Интерпретация волновой функции [ править ]

Часто одночастичное пространство задается как пространство квадратично интегрируемых функций на пространстве с мерой (строго говоря, классы эквивалентности квадратично интегрируемых функций, где функции эквивалентны, если они различаются на множестве с нулевой мерой ). Типичный пример - свободная частица с пространством квадратично интегрируемых функций в трехмерном пространстве. Тогда пространства Фока имеют естественную интерпретацию как симметричные или антисимметричные квадратично интегрируемые функции следующим образом. ${\displaystyle H}$${\displaystyle L_{2}(X,\mu )}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H=L_{2}(\mathbb {R} ^{3},d^{3}x)}$

Пусть и , и т. Д. Рассмотрим пространство наборов точек, которое является несвязным объединением${\displaystyle X^{0}=\{*\}}$${\displaystyle X^{1}=X}$${\displaystyle X^{2}=X\times X}$${\displaystyle X^{3}=X\times X\times X}$

${\displaystyle X^{*}=X^{0}\bigsqcup X^{1}\bigsqcup X^{2}\bigsqcup X^{3}\bigsqcup \ldots }$.

У него есть такая естественная мера , что и ограничение на есть . Тогда четное пространство Фока можно отождествить с пространством симметрических функций в, тогда как нечетное пространство Фока можно отождествить с пространством антисимметричных функций. Отождествление следует непосредственно из изометрического отображения${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle \mu ^{*}(X^{0})=1}$${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle \mu ^{n}}$${\displaystyle F_{+}(L_{2}(X,\mu ))\,}$${\displaystyle L_{2}(X^{*},\mu ^{*})}$${\displaystyle F_{-}(L_{2}(X,\mu ))\,}$

${\displaystyle L_{2}(X,\mu )^{\otimes n}\to L_{2}(X^{n},\mu ^{n})}$

${\displaystyle \psi _{1}(x)\otimes \cdots \otimes \psi _{n}(x)\mapsto \psi _{1}(x_{1})\cdots \psi _{n}(x_{n})}$.

Учитывая волновые функции , определитель Слейтера${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}(x),\ldots ,\psi _{n}=\psi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Psi (x_{1},\ldots x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{1}(x_{1})&\ldots &\psi _{n}(x_{1})\\\vdots &&\vdots \\\psi _{1}(x_{n})&\dots &\psi _{n}(x_{n})\\\end{matrix}}\right|}$

является антисимметричной функцией на . Таким образом, его можно естественным образом интерпретировать как элемент -частичного сектора нечетного фоковского пространства. Нормализация выбирается такой, что если функции ортонормированы. Существует аналогичный «слейтерский перманент» с заменой определителя на перманент, который дает элементы -сектора четного фоковского пространства.${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \|\Psi \|=1}$${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}$${\displaystyle n}$

Связь с пространством Сигала – Баргмана [ править ]

Определим пространство пространства Сигала – Баргмана ^[3] комплексных голоморфных функций, интегрируемых с квадратом относительно гауссовской меры :${\displaystyle B_{N}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})=\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \}}$,

куда

${\displaystyle \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}:=\int _{\mathbb {C} ^{n}}\vert f(\mathbf {z} )\vert ^{2}e^{-\pi \vert \mathbf {z} \vert ^{2}}\,d\mathbf {z} }$.

Затем, определяя пространство как вложенное объединение пространств над целыми числами , Сегал ^[4] и Баргманн показали ^{[5] [6],} что оно изоморфно бозонному пространству Фока. Моном ${\displaystyle B_{\infty }}$${\displaystyle B_{N}}$${\displaystyle N\geq 0}$${\displaystyle B_{\infty }}$

${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}...x_{k}^{n_{k}}}$

соответствует фоковскому состоянию

${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}}.}$

См. Также [ править ]

• Состояние Фока
• Тензорная алгебра
• Голоморфное пространство Фока
• Операторы создания и уничтожения
• Определитель Слейтера
• Теорема Вика
• Некоммутативная геометрия
• Большой канонический ансамбль , тепловое распределение в пространстве Фока

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Диаграммы Фейнмана и произведения Вика, связанные с пространством q-Фока - некоммутативный анализ , Эдвард Г. Эффрос и Михай Попа, Департамент математики, Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе
• Р. Героч, Математическая физика, Издательство Чикагского университета, глава 21.