В квантовой статистике , разделе физики , статистика Ферми – Дирака описывает распределение частиц по энергетическим состояниям в системах, состоящих из многих идентичных частиц, которые подчиняются принципу исключения Паули . Он назван в честь Энрико Ферми и Поля Дирака , каждый из которых независимо открыл метод (хотя Ферми определил статистику раньше, чем Дирак). [1] [2]
Статистика Ферми – Дирака (F – D) применима к идентичным частицам с полуцелым спином в системе с термодинамическим равновесием . Кроме того, предполагается, что частицы в этой системе имеют незначительное взаимное взаимодействие. Это позволяет описывать многочастичную систему в терминах одночастичных энергетических состояний . Результатом является F – D-распределение частиц по этим состояниям, которое включает условие, что никакие две частицы не могут находиться в одном и том же состоянии; это существенно влияет на свойства системы. Поскольку статистика F – D применима к частицам с полуцелым спином, эти частицы стали называть фермионами . Чаще всего он применяется к электронам , типу фермионов сотжим 1/2 . Статистика Ферми – Дирака является частью более общей области статистической механики и использует принципы квантовой механики .
Аналогом статистики F – D является статистика Бозе – Эйнштейна , которая применяется к бозонам (полный целочисленный спин, такой как фотоны, или без спина, как бозон Хиггса ), частицам, которые не следуют принципу исключения Паули, что означает, чем один бозон может одновременно принимать одну и ту же квантовую конфигурацию.
История
До введения статистики Ферми – Дирака в 1926 году понимание некоторых аспектов поведения электронов было затруднено из-за, казалось бы, противоречивых явлений. Например, электронная теплоемкость металла при комнатной температуре, по- видимому, обусловлена в 100 раз меньшим количеством электронов, чем в электрическом токе . [3] Также было трудно понять, почему токи эмиссии, возникающие при приложении сильных электрических полей к металлам при комнатной температуре, почти не зависят от температуры.
Трудность, с которой столкнулась модель Друде , электронная теория металлов того времени, заключалась в том, что считалось, что электроны (согласно классической статистической теории) все эквивалентны. Другими словами, считалось , что каждый электрон вклад в теплоемкость на величину порядка постоянная Больцмана K B . Эта статистическая проблема оставалась нерешенной до открытия статистики F – D.
Статистика F – D была впервые опубликована в 1926 году Энрико Ферми [1] и Полем Дираком . [2] Согласно Максу Борну , Паскуаль Джордан разработал в 1925 году ту же статистику, которую он назвал статистикой Паули , но она не была своевременно опубликована. [4] [5] [6] Согласно Дираку, он был впервые изучен Ферми, и Дирак назвал его «статистикой Ферми», а соответствующие частицы - «фермионами». [7]
Статистика F – D была применена в 1926 году Ральфом Фаулером для описания коллапса звезды в белый карлик . [8] В 1927 году Арнольд Зоммерфельд применил его к электронам в металлах и разработал модель свободных электронов , [9] и в 1928 году Фаулер и Лотар Нордгейм применил его к полевой эмиссии электронов из металлов. [10] Статистика Ферми – Дирака продолжает оставаться важной частью физики.
Распределение Ферми – Дирака
Для системы одинаковых фермионов в термодинамическом равновесии, среднее число фермионов в состоянии одночастичном я задается логистической функции или сигмовидной функции : в распределении Ферми-Дирака (Ф-Д) , [11] , которая является частный случай полного интеграла Ферми – Дирака ,
где k B - постоянная Больцмана , T - абсолютная температура , ε i - энергия одночастичного состояния i , а μ - полный химический потенциал .
Дисперсия этого распределения вычисляется непосредственно из приведенного выше выражения для среднего числа. [12]
При нулевой абсолютной температуре μ равна энергии Ферми плюс потенциальная энергия на фермион, при условии, что она находится в окрестности положительной спектральной плотности. В случае спектрального зазора, например для электронов в полупроводнике , точка симметрии μ обычно называется уровнем Ферми или - для электронов - электрохимическим потенциалом , и будет расположена в середине зазора. [13] [14]
Распределение F – D справедливо только в том случае, если количество фермионов в системе достаточно велико, так что добавление еще одного фермиона в систему не оказывает незначительного влияния на μ . [15] Поскольку распределение F – D было получено с использованием принципа исключения Паули , который позволяет максимум одному фермиону занимать каждое возможное состояние, результат таков, что. [nb 1]
Энергетическая зависимость. Более постепенный при более высоком Т . когда . Не показано, чтоуменьшается для более высокого Т . [16]
Температурная зависимость для.
Распределение частиц по энергии
Приведенное выше распределение Ферми – Дирака дает распределение идентичных фермионов по одночастичным энергетическим состояниям, в которых не более одного фермиона может занимать состояние. Используя распределение F – D, можно найти распределение одинаковых фермионов по энергиям, при котором более одного фермиона могут иметь одинаковую энергию. [nb 2]
Среднее количество фермионов с энергией можно найти, умножив F – D распределение по вырождению (т.е. количество состояний с энергией ), [17] [nb 3]
Когда , Возможно, что , поскольку существует более одного состояния, в котором могут находиться фермионы с одинаковой энергией .
Когда квазиконтинуум энергий имеет связанную плотность состояний (т.е. число состояний на единицу диапазона энергий на единицу объема [18] ), среднее количество фермионов на единицу диапазона энергий на единицу объема равно
где называется функцией Ферми и является той же функцией, которая используется для распределения F – D, [19]
чтобы
Квантовые и классические режимы
Распределение Ферми – Дирака приближается к распределению Максвелла – Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц без необходимости каких-либо специальных предположений:
- В пределе низкой плотности частиц , следовательно или эквивалентно . В этом случае,, который является результатом статистики Максвелла-Больцмана.
- В пределе высокой температуры частицы распределены в большом диапазоне значений энергии, поэтому заселенность каждого состояния (особенно высокоэнергетического с ) снова очень мало, . Это снова сводится к статистике Максвелла-Больцмана.
Классический режим, в котором статистику Максвелла – Больцмана можно использовать в качестве приближения к статистике Ферми – Дирака, находится при рассмотрении ситуации, которая далека от предела, налагаемого принципом неопределенности Гейзенберга для положения и импульса частицы . Например, в физике полупроводников, когда плотность состояний зоны проводимости намного выше, чем концентрация легирования, энергетическая щель между зоной проводимости и уровнем Ферми может быть рассчитана с использованием статистики Максвелла-Больцмана. В противном случае, если концентрацией легирования нельзя пренебречь по сравнению с плотностью состояний зоны проводимости, вместо этого для точного расчета следует использовать распределение FD. Тогда можно показать, что преобладает классическая ситуация, когда концентрация частиц соответствует среднему межчастичному расстоянию что намного больше средней длины волны де Бройля частиц: [20]
где h - постоянная Планка , а m - масса частицы .
Для случая электронов проводимости в типичном металле при Т = 300 К (т.е. примерно комнатной температуре) система далека от классического режима, потому что. Это связано с небольшой массой электрона и высокой концентрацией (т.е. малой массой).) электронов проводимости в металле. Таким образом, статистика Ферми – Дирака необходима для электронов проводимости в типичном металле. [20]
Другой пример системы, не относящейся к классическому режиму, - это система, состоящая из электронов звезды, которая коллапсировала в белый карлик. Хотя температура белого карлика высока (обычно T =10 000 K на его поверхности [21] ), его высокая концентрация электронов и малая масса каждого электрона не позволяют использовать классическое приближение, и снова требуется статистика Ферми – Дирака. [8]
Производные
Большой канонический ансамбль
Распределение Ферми – Дирака, применимое только к квантовой системе невзаимодействующих фермионов, легко выводится из большого канонического ансамбля . [22] В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура T и химический потенциал μ, фиксируемые резервуаром).
Из-за качества невзаимодействия каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ ) образует отдельную термодинамическую систему, контактирующую с резервуаром. Другими словами, каждый одночастичный уровень представляет собой отдельный крошечный большой канонический ансамбль. Согласно принципу исключения Паули, существует только два возможных микросостояния для одночастичного уровня: отсутствие частицы (энергия E = 0) или одна частица (энергия E = ε ). Таким образом, результирующая статистическая сумма для этого одночастичного уровня состоит всего из двух членов:
и среднее число частиц для этого подсостояния одночастичного уровня дается выражением
Этот результат применим для каждого одночастичного уровня и, таким образом, дает распределение Ферми – Дирака для всего состояния системы. [22]
Также можно вычислить дисперсию числа частиц (из-за тепловых флуктуаций ) (число частиц имеет простое распределение Бернулли ):
Эта величина важна в явлениях переноса, таких как соотношения Мотта для электропроводности и термоэлектрического коэффициента для электронного газа [23], где способность уровня энергии вносить вклад в явления переноса пропорциональна.
Канонический ансамбль
Также возможно получить статистику Ферми – Дирака в каноническом ансамбле . Рассмотрим систему многих частиц, состоящую из N идентичных фермионов, которые имеют незначительное взаимное взаимодействие и находятся в тепловом равновесии. [15] Поскольку взаимодействие между фермионами незначительно, энергия государства системы многих частиц можно выразить как сумму одночастичных энергий,
где называется числом заселенности и является числом частиц в одночастичном состоянии с энергией . Суммирование ведется по всем возможным одночастичным состояниям..
Вероятность того, что система многих частиц находится в состоянии , задается нормированным каноническим распределением , [24]
где , еназывается фактором Больцмана , и суммирование ведется по всем возможным состояниямсистемы многих частиц. Среднее значение числа заполняемостиэто [24]
Обратите внимание, что состояние многочастичной системы может быть задан заселенностью частицами одночастичных состояний, т. е. заданием чтобы
и уравнение для становится
где суммирование ведется по всем комбинациям значений которые подчиняются принципу исключения Паули, и = 0 или 1 для каждого. Кроме того, каждая комбинация значений удовлетворяет ограничению, что общее количество частиц равно ,
Переставляя суммирования,
где на знаке суммы указывает, что сумма не закончилась и подчиняется ограничению, согласно которому общее количество частиц, связанных с суммированием, равно . Обратите внимание, что все еще зависит от сквозь ограничение, так как в одном случае а также оценивается с в то время как в другом случае а также оценивается с Чтобы упростить обозначения и ясно указать, что все еще зависит от через , определять
так что предыдущее выражение для можно переписать и оценить с точки зрения ,
Следующее приближение [25] будет использовано, чтобы найти выражение для замены .
где
Если количество частиц достаточно велико, чтобы изменение химического потенциала очень мала, когда в систему добавляется частица, то [26] Взявантилогарифмпо основанию e [27] с обеих сторон, подставив вместо, и перестановка,
Подставляя указанное выше в уравнение для , и используя предыдущее определение заменить для , приводит к распределению Ферми – Дирака.
Подобно распределению Максвелла-Больцмана и распределение Бозе-Эйнштейна распределение Ферми-Дирака также может быть получена с помощью метода Дарвина-Фаулера средних значений (см Мюллер-Кирстен [28] ).
Микроканонический ансамбль
Результат может быть достигнут путем прямого анализа кратностей системы и использования множителей Лагранжа . [29]
Предположим, у нас есть несколько уровней энергии, обозначенных индексом i , каждый из которых имеет энергию ε i и содержит в общей сложности n i частиц. Предположим, что каждый уровень содержит g i различных подуровней, все из которых имеют одинаковую энергию и различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы (т.е. их импульсы могут быть в разных направлениях), и в этом случае они отличаются друг от друга, но при этом могут иметь одинаковую энергию. Значение g i, связанное с уровнем i , называется «вырождением» этого уровня энергии. Принцип исключения Паули гласит, что на любом таком подуровне может занимать только один фермион.
Количество способов распределения n i неотличимых частиц по подуровням g i уровня энергии, с максимумом одной частицы на подуровень, задается биномиальным коэффициентом с использованием его комбинаторной интерпретации
Например, распределение двух частиц по трем подуровням даст численность населения 110, 101 или 011, что в сумме составит три способа, что равно 3! / (2! 1!).
Количество способов, которыми может быть реализован набор чисел занятости n i , является продуктом способов, которыми может быть заполнен каждый индивидуальный энергетический уровень:
Следуя той же процедуре, которая использовалась при выводе статистики Максвелла – Больцмана , мы хотим найти набор n i, для которого W является максимальным, при условии, что существует фиксированное количество частиц и фиксированная энергия. Мы ограничиваем наше решение с помощью множителей Лагранжа, образующих функцию:
Используя приближение Стирлинга для факториалов, взяв производную по n i , установив результат равным нулю и решив для n i, получаем числа Ферми-Дирака:
Посредством процесса, аналогичного описанному в статистической статье Максвелла – Больцмана , можно термодинамически показать, что а также , так что, наконец, вероятность того, что государство будет занято, равна:
Смотрите также
- Большой канонический ансамбль
- Принцип исключения Паули
- Полный интеграл Ферми-Дирака
- Уровень Ферми
- Ферми газ
- Статистика Максвелла – Больцмана
- Статистика Бозе – Эйнштейна
- Парастатистика
- Логистическая функция
Заметки
- ^ Обратите внимание, что также вероятность того, что состояние занят, так как не более одного фермиона могут занимать одно и то же состояние одновременно и .
- ^ Эти распределения по энергиям, а не по состояниям, иногда также называют распределением Ферми – Дирака, но эта терминология не будет использоваться в этой статье.
- ^ Обратите внимание, что в формуле. (1), а также соответствуют соответственно а также в этой статье. См. Также уравнение. (32) на стр. 339.
Рекомендации
- ^ а б Ферми, Энрико (1926). "Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico". Rendiconti Lincei (на итальянском языке). 3 : 145–9., переводится как Заннони, Альберто (1999-12-14). «О квантовании одноатомного идеального газа». arXiv : cond-mat / 9912229 .
- ^ а б Дирак, Поль AM (1926). «К теории квантовой механики» . Труды Королевского общества А . 112 (762): 661–77. Bibcode : 1926RSPSA.112..661D . DOI : 10.1098 / rspa.1926.0133 . JSTOR 94692 .
- ^ ( Киттель 1971 , стр. 249–50)
- ^ "История науки: загадка Копенгагенской встречи Бора и Гейзенберга" . Неделя науки . 4 (20). 2000-05-19. OCLC 43626035 . Архивировано из оригинала на 2009-04-11 . Проверено 20 января 2009 .
- ^ Шюкинг: Джордан, Паули, Политика, Брехт и переменная гравитационная постоянная. В кн . : Физика сегодня. Группа 52, 1999, Heft 10
- ^ Элерса, Schuecking: Aber Джордан войны дер Erste. В кн . : Physik Journal. Группа 1, 2002, Heft 11
- ^ Дирак, Поль AM (1967). Принципы квантовой механики (переработанное 4-е изд.). Лондон: Издательство Оксфордского университета. С. 210–1. ISBN 978-0-19-852011-5.
- ^ а б Фаулер, Ральф Х. (декабрь 1926 г.). «По плотной материи» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 87 (2): 114–22. Bibcode : 1926MNRAS..87..114F . DOI : 10.1093 / MNRAS / 87.2.114 .
- ^ Зоммерфельд, Арнольд (1927-10-14). "Zur Elektronentheorie der Metalle" [Об электронной теории металлов]. Naturwissenschaften (на немецком языке). 15 (41): 824–32. Bibcode : 1927NW ..... 15..825S . DOI : 10.1007 / BF01505083 . S2CID 39403393 .
- ^ Фаулер, Ральф Х .; Нордхейм, Лотар В. (1928-05-01). «Электронная эмиссия в интенсивных электрических полях» . Труды Королевского общества А . 119 (781): 173–81. Bibcode : 1928RSPSA.119..173F . DOI : 10.1098 / RSPA.1928.0091 . JSTOR 95023 .
- ↑ ( Рейф, 1965 , с. 341)
- ^ Пирсолл, Томас (2020). Квантовая фотоника, 2-е издание . Тексты для выпускников по физике. Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-030-47325-9 . ISBN 978-3-030-47324-2.
- ^ ( Блейкмор 2002 , стр.11 )
- ^ Киттель, Чарльз ; Кремер, Герберт (1980). Теплофизика (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman. п. 357. ISBN. 978-0-7167-1088-2.
- ^ a b ( Рейф 1965 , стр. 340–342)
- ^ ( Киттель, 1971 , с. 245, рис. 4 и 5)
- ^ Лейтон, Роберт Б. (1959). Принципы современной физики . Макгроу-Хилл. п. 340 . ISBN 978-0-07-037130-9.
- ^ ( Блейкмор 2002 , стр.8 )
- ^ ( Рейф 1965 , стр. 389)
- ^ a b ( Рейф 1965 , стр. 246–248)
- ^ Мукаи, Кодзи; Джим Лохнер (1997). «Спросите астрофизика» . Представьте себе Вселенную НАСА . Центр космических полетов имени Годдарда НАСА. Архивировано из оригинала на 2009-01-18.
- ^ а б Шривастава, РК; Ашок, Дж. (2005). "Глава 6". Статистическая механика . Нью-Дели : PHI Learning Pvt. ООО ISBN 9788120327825.
- ^ Катлер, М .; Мотт, Н. (1969). «Наблюдение локализации Андерсона в электронном газе». Физический обзор . 181 (3): 1336. Полномочный код : 1969PhRv..181.1336C . DOI : 10.1103 / PhysRev.181.1336 .
- ^ a b ( Рейф, 1965 , стр. 203–6)
- ^ См., Например, Производная - Определение через разностные коэффициенты , которая дает приближение f (a + h) ≈ f (a) + f '(a) h .
- ^ ( Reif 1965 , стр. 341–2) См. Уравнение. 9.3.17 и замечание относительно достоверности приближения .
- ^ По определению, база е антилогарифма А является е .
- ^ HJW Мюллер-Кирстен, Основы статистической физики, 2-е. изд., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 .
- ^ ( Блейкмор 2002 , стр. 343–5)
дальнейшее чтение
- Рейф, Ф. (1965). Основы статистической и теплофизики . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-051800-1.
- Блейкмор, Дж.С. (2002). Полупроводниковая статистика . Дувр. ISBN 978-0-486-49502-6.
- Киттель, Чарльз (1971). Введение в физику твердого тела (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-14286-7. OCLC 300039591 .