Полуцелое число

В математике , A полуцелый является число вида

${\ displaystyle n + {\ tfrac {1} {2}}}$,

где - целое число . Например, ${\ displaystyle n}$

4+1/2, ⁷ / ₂ , -+ 13 /2, 8,5

все полуцелые числа . Название «полуцелое число», возможно, вводит в заблуждение, так как набор может быть неправильно истолкован как содержащий числа, такие как 1 (т.е. половина целого числа 2). Такое имя, как «целое число плюс половина», может быть более точным, но даже если оно не совсем верно, «полуцелое число» является общепринятым термином. ^{[ необходимая цитата ]} Полуцелые числа встречаются в математике и квантовой механике достаточно часто, поэтому удобно использовать отдельный термин.

Обратите внимание, что уменьшение целого числа вдвое не всегда дает полуцелое число; это верно только для нечетных целых чисел . По этой причине полуцелые числа также иногда называют полунечетными целыми числами . Полуцелые числа - это подмножество диадических рациональных чисел (чисел, полученных делением целого числа на степень двойки ). ^[1]

Обозначения и алгебраическая структура [ править ]

Множество всех полуцелых часто обозначается

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} + {\ tfrac {1} {2}} \ quad = \ quad \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} \ right) \ smallsetminus \ mathbb { Z} ~.}$

Целые и полуцелые числа вместе образуют группу при операции сложения, которую можно обозначить ^[2]

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Однако эти числа не образуют кольцо, потому что произведение двух полуцелых чисел часто не является полуцелым числом; например ^[3]${\displaystyle ~{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}~=~{\tfrac {1}{4}}~\notin ~{\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}$

Использует [ редактировать ]

Упаковка сфер [ править ]

Плотнейшая решетчатая упаковка из единичных сфер в четырех измерений ( так называемая D ₄ решеткой ) помещает шар в каждой точке, координаты которой либо все целые числа или все полуцелые. Эта упаковка тесно связана с целыми числами Гурвица : кватернионами , действительные коэффициенты которых являются целыми или полуцелыми числами. ^[4]

Физика [ править ]

В физике принцип исключения Паули вытекает из определения фермионов как частиц со спинами, которые являются полуцелыми числами. ^[5]

Эти энергетические уровни этого квантового гармонического осциллятора происходить при полуцелых и , следовательно , его низкая энергия не равна нулю. ^[6]

Объем сферы [ править ]

Хотя факториальная функция определена только для целочисленных аргументов, ее можно расширить до дробных аргументов с помощью гамма-функции . Гамма - функция для полуцелых является важной частью формулы для объема с п - мерного шара радиуса R , ^[7]

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.}$

Значения гамма-функции для полуцелых чисел являются целыми числами, кратными квадратному корню из числа пи :

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~{\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}}~}$

где н !! обозначает двойной факториал .

Ссылки [ править ]