Кватернион Гурвица

В математике , А гурвицева кватернионы (или гурвицев целое число ) являются кватернионами , компоненты которого являются либо всеми целыми числами или все полуцелые (половинками нечетного целого числа, смесь целых и полуцелым исключаются). Множество всех кватернионов Гурвица равно

${\ Displaystyle H = \ left \ {a + bi + cj + dk \ in \ mathbb {H} \ mid a, b, c, d \ in \ mathbb {Z} \; {\ mbox {или}} \, a, b, c, d \ in \ mathbb {Z} + {\ tfrac {1} {2}} \ right \}.}$

То есть либо a , b , c , d - целые числа, либо все полуцелые числа.Н замкнуто относительно кватернионов умножения и сложения, что делает его Подкольцо из кольца всех кватернионов H . Кватернионы Гурвица были введены Адольфом Гурвицем  ( 1919 ).

Липшицевые кватернионы (или липшицевое целое число ) кватернионы, компоненты которого являются всеми целыми числами . Множество всех кватернионов Липшица

${\ Displaystyle L = \ left \ {a + bi + cj + dk \ in \ mathbb {H} \ mid a, b, c, d \ in \ mathbb {Z} \ right \}}$

образует подкольцу Гурвица кватернионов H . Целые числа Гурвица имеют преимущество перед целыми числами Липшица в том, что на них можно выполнить евклидово деление с получением небольшого остатка.

И кватернионы Гурвица и Липшица являются примерами некоммутативных областей, которые не являются телами .

Строение кольца кватернионов Гурвица.

24 кватернионных элемента бинарной тетраэдрической группы в проекции:
* 1 порядок-1: 1 * 1 порядок-2: -1 * 6 порядок-4: ± i, ± j, ± k * 8 порядок-6: (+ 1 ± i ± j ± k) / 2 * 8 порядок-3: (-1 ± i ± j ± k) / 2.

Как аддитивная группа , H является свободной абелевой с образующими {(1 + i + j + k ) / 2, i , j , k }. Таким образом, он образует решетку в R ⁴ . Эта решетка известна как F ₄ решетки , так как это решетка корней из полупростых Ли алгебр F ₄ . Липшицевость кватернионов L образуют индекс 2 подструктуры H .

Группа единиц в L является порядок 8 группа кватернионов Q = {± 1, ± я , ± J , ± K }. Группа единиц в Н неабелева группа порядка 24 , известного как двоичный тетраэдрической группы . Элементы этой группы включают 8 элементов Q вместе с 16 кватернионами {(± 1 ± i ± j ± k ) / 2}, где знаки могут быть взяты в любой комбинации. Группа кватернионов является нормальной подгруппой бинарной тетраэдрической группы U ( H). Элементы U ( H ), которые все имеют норму 1, образуют вершины 24-клетки, вписанной в 3-сферу .

Кватернионы Гурвица образуют порядок (в смысле теории колец ) в теле кватернионов с рациональными компонентами. Фактически это максимальный порядок ; это объясняет его важность. Кватернионы Липшица, которые являются наиболее очевидным кандидатом на идею интегрального кватерниона , также образуют порядок. Однако этот последний порядок не является максимальным и поэтому (как выясняется) менее подходит для развития теории левых идеалов, сравнимой с теорией алгебраических чисел . Что Адольф ГурвицТаким образом, мы поняли, что это определение интегрального кватерниона Гурвица лучше всего для работы. Для некоммутативного кольца, такого как H , максимальные порядки не обязательно должны быть уникальными, поэтому необходимо зафиксировать максимальный порядок, перенеся понятие алгебраического целого числа .

Решетка кватернионов Гурвица

(Арифметика, или поле) норма о Гурвица кватернионов а + би + сг + йк , дается в ² + Ь ² + C ² + D ² , всегда является целым числом. По теореме Лагранжа любое целое неотрицательное число можно записать как сумму не более четырех квадратов . Таким образом, каждое неотрицательное целое число является нормой некоторого липшицевого (или гурвицевского) кватерниона. Точнее, число c ( n ) кватернионов Гурвица данной положительной нормы nв 24 раза больше суммы нечетных делителей числа n . Производящая функция чисел c ( n ) задается модульной формой веса 2 уровня 2

${\displaystyle 2E_{2}(2\tau )-E_{2}(\tau )=\sum _{n}c(n)q^{n}=1+24q+24q^{2}+96q^{3}+24q^{4}+144q^{5}+\cdots }$ OEIS :  A004011

куда

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

а также

${\displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n}\sigma _{1}(n)q^{n}}$

ряд Эйзенштейна уровня 1 с весом 2 (который является квазимодулярной формой ), а σ ₁ ( n ) - сумма делителей числа n .

Факторизация на неприводимые элементы

Целое число Гурвица называется неприводимым, если оно не равно 0 или единице и не является произведением неединиц. Целое число Гурвица неприводимо тогда и только тогда, когда его норма - простое число . Неприводимые кватернионы иногда называют простыми кватернионами, но это может ввести в заблуждение, поскольку они не являются простыми числами в обычном смысле коммутативной алгебры: неприводимый кватернион может делить произведение ab, не разделяя ни a, ни b . Каждый кватернион Гурвица может быть факторизован как продукт неприводимых кватернионов. Эта факторизация в общем случае не является уникальной, даже с точностью до единиц и порядка, потому что положительное нечетное простое число p может быть записано в 24 ( p+1) как произведение двух неприводимых кватернионов Гурвица нормы p , и для больших p все они не могут быть эквивалентны при левом и правом умножении на единицы, так как их всего 24 единицы. Однако если исключить этот случай, то существует вариант однозначной факторизации. Точнее, каждый кватернион Гурвица может быть записан однозначно как произведение положительного целого числа и примитивного кватерниона (кватерниона Гурвица, не делимого на любое целое число больше 1). Факторизация примитивного кватерниона на неприводимые элементы уникальна до порядка и единиц в следующем смысле: если

п ₀ п ₁ ... п _п

а также

q ₀ q ₁ ... q _n

представляют собой две факторизации некоторого примитивного кватерниона Гурвица в неприводимые кватернионы, где p _k имеет ту же норму, что и q _k для всех k , то

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}&=p_{0}u_{1}\\q_{1}&=u_{1}^{-1}p_{1}u_{2}\\&\,\,\,\vdots \\q_{n}&=u_{n}^{-1}p_{n}\end{aligned}}}$

для некоторых агрегатов u _k .

Деление с остатком

Обычные действительные целые числа и гауссовские целые числа допускают деление с остатком или евклидово деление . Для натуральных чисел N и D всегда существует фактор Q и неотрицательный остаток R такие, что

• N = QD + R, где R < D .

Для комплексных или гауссовских целых чисел N = a + i b и D = c + i d с нормой N ( D )> 0 всегда существуют Q = p + i q и R = r + i s такие, что

• N = QD + R , где N ( R ) <N ( D ).

Однако для целых липшицевых чисел N = ( a , b , c , d ) и D = ( e , f , g , h ) может случиться, что N ( R ) = N ( D ). Это мотивировало переход на целые числа Гурвица, для которых условие N ( R ) <N ( D ) гарантировано. ^[1]

Многие алгоритмы зависят от деления с остатком, например, алгоритм Евклида для наибольшего общего делителя.

Смотрите также

• Гауссовское целое число
• Целое число Эйзенштейна
• В icosians
• Группа Ли F 4
• Е 8 решетки

использованная литература

• Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия . А.К. Петерс. ISBN 1-56881-134-9.
• Гурвиц, Адольф (2013) [1919]. Vorlesungen Über die Zahlentheorie der Quaternionen . Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-47536-8. JFM  47.0106.01 .