В алгебре , области математики , область представляет собой ненулевое кольцо, в котором ab = 0 влечет a = 0 или b = 0 . [1] (Иногда говорят, что такое кольцо «обладает свойством нулевого произведения ».) Эквивалентно, область - это кольцо, в котором 0 является единственным левым делителем нуля (или, что эквивалентно, единственным правым делителем нуля). Коммутативной домен называется областью целостности . [1] [2] Математическая литература содержит множество вариантов определения «предметной области».[3]
| Алгебраические структуры |
|---|
Примеры и не примеры [ править ]
- Кольцо Z / 6 Z не является областью, потому что образы 2 и 3 в этом кольце являются ненулевыми элементами с произведением 0. В более общем смысле, для положительного целого числа n кольцо Z / n Z является областью тогда и только тогда, когда n простое.
- Конечный домен автоматически является конечным поле , по малой теореме Веддербарны .
- В кватернионах образуют некоммутативный домен. В более общем смысле, любая алгебра с делением является областью, поскольку все ее ненулевые элементы обратимы .
- Набор всех целочисленных кватернионов представляет собой некоммутативное кольцо, которое является подкольцом кватернионов, следовательно, некоммутативной областью.
- Кольцо матриц М п ( Р ) при п ≥ 2 никогда не является областью: если R не равен нулю, такая матрица кольцо имеет ненулевое делителей нуля и даже нильпотентных элементов , отличных от 0. Например, квадрат матричного блока Е 12 является 0.
- Тензор алгебра из векторного пространства , или , что эквивалентно, алгебра многочленов некоммутирующими переменных над полем, является областью. Это можно доказать, используя порядок на некоммутативных мономах.
- Если R является областью , и S представляет собой расширение руды из R , то S является областью.
- Алгебра Вейля является некоммутативна областью.
- Универсальная обертывающая любой алгебры Ли над полем является областью. Доказательство использует стандартную фильтрацию на универсальной обертывающей алгебре и теорему Пуанкаре – Биркгофа – Витта .
Групповые кольца и проблема делителя нуля [ править ]
Предположим, что G - группа, а K - поле . Является ли групповое кольцо R = K [ G ] областью? Личность
показывает , что элемент г конечного порядка п > 1 индуцирует нулевой делитель 1 - г в R . Проблема делителя нуля спрашивает, является ли это единственным препятствием; другими словами,
- Для поля K и группы без кручения G верно ли, что K [ G ] не содержит делителей нуля?
Контрпримеров не известно, но в целом проблема остается открытой (по состоянию на 2017 год).
Для многих особых классов групп ответ утвердительный. В 1976 г. Фаркаш и Снайдер доказали, что если G - почти конечная полициклическая группа без кручения и char K = 0, то групповое кольцо K [ G ] является областью. Позже (1980 г.) Клифф снял ограничение на характеристику поля. В 1988 г. Крофоллер, Линнелл и Муди обобщили эти результаты на случай разрешимых и почти разрешимых групп без кручения . Ранее (1965 г.) работа Мишеля Лазара , важность которой не оценивалась специалистами в этой области около 20 лет, касалась случая, когда K - кольцоцелые p-адические числа, а G - p- я конгруэнтная подгруппа группы GL ( n , Z ) .
Спектр целостной области [ править ]
Делители нуля имеют топологическую интерпретацию, по крайней мере, в случае коммутативных колец: кольцо R является областью целостности тогда и только тогда, когда оно редуцировано и его спектр Spec R является неприводимым топологическим пространством . Первое свойство часто считается кодирующим некоторую бесконечно малую информацию, тогда как второе свойство более геометрическое.
Пример: кольцо k [ x , y ] / ( xy ) , где k - поле, не является областью, поскольку изображения x и y в этом кольце являются делителями нуля. Геометрически это соответствует тому факту, что спектр этого кольца, представляющий собой объединение прямых x = 0 и y = 0 , не является неприводимым. Действительно, эти две линии являются его неприводимыми компонентами.
См. Также [ править ]
- Делитель нуля
- Собственность нулевого продукта
- Дивизор (теория колец)
- Интегральный домен
Заметки [ править ]
- ^ а б Лам (2001), стр. 3
- ^ Роуэн (1994), стр. 99.
- ^ Некоторые авторы также считают нулевое кольцо областью: см. Polcino M. & Sehgal (2002), стр. 65. Некоторые авторы применяют термин «домен» также к организациям со свойством нулевого продукта; такие авторы рассматривают n Z как область для каждого положительного целого числа n : см. Lanski (2005), p. 343. Но области целостности всегда должны быть ненулевыми и иметь единицу.
Ссылки [ править ]
- Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс в некоммутативных кольцах (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95325-0. Руководство по ремонту 1838439 .
- Чарльз Лански (2005). Понятия в абстрактной алгебре . Книжный магазин AMS. ISBN 0-534-42323-X.
- Сезар Польчино Милиес; Сударшан К. Сегал (2002). Введение в групповые кольца . Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
- Натан Джейкобсон (2009). Базовая алгебра I . Дувр. ISBN 978-0-486-47189-1.
- Луи Халле Роуэн (1994). Алгебра: группы, кольца и поля . А.К. Петерс . ISBN 1-56881-028-8.
