В математике , F 4 является имя группы Ли , а также ее алгебра Ли е 4 . Это одна из пяти исключительных простых групп Ли . F 4 имеет ранг 4 и размерность 52. Компактная форма односвязна, и ее группа внешних автоморфизмов является тривиальной группой . Его фундаментальное представление - 26-мерное.
Компактная вещественная форма F 4 - это группа изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как октонионная проективная плоскость OP 2 . Систематически это можно увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат , созданную Гансом Фройденталем и Жаком Титсом .
Существуют 3 настоящие формы : компактная, раздельная и третья. Это группы изометрий трех вещественных алгебр Альберта .
Алгебра Ли F 4 может быть построена путем добавления 16 генераторов, преобразующих как спинор в 36-мерную алгебру Ли so (9), по аналогии с построением E 8 .
В старых книгах и статьях F 4 иногда обозначается как E 4 .
Алгебра
Диаграмма Дынкина
Диаграмма Дынкина для F 4 является:.
Группа Вейля / Кокстера
Его Вейль / Косетер группаявляется группой симметрии из 24-клетки : это разрешимая группа порядка 1152. Она имеет минимальную степень добросовестную[1], который реализуется действием на 24-элементную ячейку .
Матрица Картана
Решетка F 4
Решетка F 4 представляет собой четырехмерную объемно -центрированную кубическую решетку (т. Е. Объединение двух гиперкубических решеток , каждая из которых лежит в центре другой). Они образуют кольцо, называемое кватернионным кольцом Гурвица . 24 кватерниона Гурвица нормы 1 образуют вершины 24-ячейки с центром в начале координат.
Корни F 4
48 корневых векторов F 4 могут быть найдены как вершины 24-ячеек в двух двойных конфигурациях, представляющих вершины дисфеноидальных 288-ячеек, если длины ребер 24-ячеек равны:
24-х клеточные вершины:
- 24 корня по (± 1, ± 1,0,0), меняя положения координат
Двойные 24-ячеечные вершины:
- 8 корней по (± 1, 0, 0, 0), перестановка координатных позиций
- 16 корней по (± ½, ± ½, ± ½, ± ½).
Простые корни
Один выбор простых корней для F 4 ,, задается строками следующей матрицы:
F 4 полиномиальный инвариант
Подобно тому, как O ( n ) - это группа автоморфизмов, которые сохраняют квадратичные многочлены x 2 + y 2 + ... инвариантными, F 4 - это группа автоморфизмов следующего набора из трех многочленов от 27 переменных. (Первую можно легко заменить на две другие, составляя 26 переменных).
Где x , y , z - действительные значения, а X , Y , Z - октонионные значения. Другой способ записать эти инварианты - это как (комбинации) Tr ( M ), Tr ( M 2 ) и Tr ( M 3 ) эрмитовой матрицы октониона :
Набор многочленов определяет 24-мерную компактную поверхность.
Представления
Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой характера Вейля . Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A121738 в OEIS ):
- 1, 26, 52, 273, 324, 1053 (дважды), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119 , 160056 (дважды), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912…
52-мерное представление является присоединенным представлением , а 26-мерное - бесследной частью действия F 4 на исключительной алгебре Альберта размерности 27.
Есть два неизоморфных неприводимых представления размерностей 1053, 160056, 4313088 и т. Д. Фундаментальные представления - это те, которые имеют размерности 52, 1274, 273, 26 (соответствующие четырем узлам на диаграмме Дынкина в таком порядке, что двойная стрелка баллы со второго по третий).
Смотрите также
- Алгебра Альберта
- Самолет Кэли
- Диаграмма Дынкина
- Фундаментальное представление
- Простая группа Ли
Рекомендации
- ^ Сондерс, Нил (2014). «Минимальные точные степени перестановки для неприводимых групп Кокстера и бинарных полиэдральных групп». arXiv : 0812.0182 .
- Адамс, Дж. Франк (1996). Лекции об исключительных группах Ли . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 978-0-226-00526-3. Руководство по ремонту 1428422 .
- Джон Баэз , Octonions , Раздел 4.2: F 4 , Bull. Амер. Математика. Soc. 39 (2002), 145-205 . Онлайн-версия HTML по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html .
- Chevalley C, Schafer RD (февраль 1950 г.). «Исключительные простые алгебры Ли F (4) и E (6)» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 36 (2): 137–41. Bibcode : 1950PNAS ... 36..137C . DOI : 10.1073 / pnas.36.2.137 . PMC 1063148 . PMID 16588959 .
- Джейкобсон, Натан (1971-06-01). Исключительные алгебры Ли (1-е изд.). CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.