Группа Вейля

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике , в частности , теории алгебр Ли , то группа Вейля из корневой системы Ф является подгруппой в изометрии группы из корневой системы . В частности, это подгруппа, которая порождается отражениями через гиперплоскости, ортогональные корням, и как таковая является конечной группой отражений . Абстрактно группы Вейля являются конечными группами Кокстера и являются их важными примерами.

Группа Вейля полупростой группы Ли , полупростой алгебры Ли , полупростой линейной алгебраической группы и т. Д. Является группой Вейля корневой системы этой группы или алгебры .

Он назван в честь Германа Вейля .

Определение и примеры [ править ]

Группа Вейля корневой системы - это группа симметрии равностороннего треугольника${\ displaystyle A_ {2}}$

Позвольте быть корневой системой в евклидовом пространстве . Для каждого корня позвольте обозначить отражение относительно гиперплоскости, перпендикулярной к , которое явно задается как${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle s _ {\ alpha} (v) = v-2 {\ frac {(\ alpha, v)} {(\ alpha, \ alpha)}} \ alpha}$,

где находится внутренний продукт . Группа Вейля из является подгруппой ортогональной группы , порожденной всеми «с. По определению корневой системы каждая сохраняет , откуда следует, что это конечная группа.${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle O (V)}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle W}$

В случае корневой системы, например, гиперплоскости, перпендикулярные корням, представляют собой просто прямые, а группа Вейля - это группа симметрии равностороннего треугольника, как показано на рисунке. Как группа, она изоморфна группе перестановок трех элементов, которые мы можем рассматривать как вершины треугольника. Обратите внимание, что в этом случае это не полная группа симметрии корневой системы; поворот на 60 градусов сохраняет, но не является элементом .${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle W}$

Мы можем рассмотреть также корневую систему. В данном случае - это пространство всех векторов , сумма элементов которых равна нулю. Корни состоят из векторов вида , где - стандартный базисный элемент для . Отражение, связанное с таким корнем, является преобразованием, полученным перестановкой th и th элементов каждого вектора. Группа Вейля для тогда является группой перестановок на элементах.${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п + 1}}$${\ displaystyle e_ {i} -e_ {j}, \, i \ neq j}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n+1}$

Камеры Вейля [ править ]

Заштрихованная область - основная камера Вейля для основания. ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$

Если это корневая система, мы можем рассматривать гиперплоскость, перпендикулярную каждому корню . Напомним, что это означает отражение относительно гиперплоскости и что группа Вейля - это группа преобразований, порожденная всеми 's. Дополнение множества гиперплоскостей разъединено, и каждый компонент связности называется камерой Вейля . Если мы зафиксировали конкретный набор простых корней Δ, мы можем определить фундаментальную камеру Вейля, связанную с Δ, как набор таких точек , что для всех . ${\displaystyle \Phi \subset V}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

Поскольку отражения сохраняются , они также сохраняют набор гиперплоскостей, перпендикулярных корням. Таким образом, каждый элемент группы Вейля переставляет камеры Вейля.${\displaystyle \sigma _{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

На рисунке показан случай корневой системы A2. «Гиперплоскости» (в данном случае одномерные), ортогональные корням, обозначены пунктирными линиями. Шесть секторов под углом 60 градусов - это камеры Вейля, а заштрихованная область - основная камера Вейля, связанная с указанной базой.

Основная общая теорема о камерах Вейля такова: ^[1]

Теорема : группа Вейля действует свободно и транзитивно на камерах Вейля. Таким образом, порядок группы Вейля равен количеству камер Вейля.

Связанный результат следующий: ^[2]

Теорема : зафиксируйте камеру Вейля . Тогда для всех , вейлевский-орбита содержит ровно одну точку в замыкании в .${\displaystyle C}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\bar {C}}}$${\displaystyle C}$

Структура группы Кокстера [ править ]

Генераторная установка [ править ]

Ключевой результат о группе Вейля таков: ^[3]

Теорема : если является базой для , то группа Вейля порождается отражениями с in .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Delta }$

То есть группа, порожденная отражениями, такая же, как группа, порожденная отражениями .${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Delta ,}$${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$

Отношения [ править ]

В то же время, если и в , то диаграмма Дынкина для относительно основания говорит нам о том , как пара ведет себя. В частности, предположим, что и - соответствующие вершины диаграммы Дынкина. Тогда мы получаем следующие результаты:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \{s_{\alpha },s_{\beta }\}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$

• Если между и нет связи , то и поеду. Поскольку и каждый имеет порядок два, это эквивалентно тому, что сказано .${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\beta }}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\beta }}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{2}=1}$
• Если между и есть одна связь , то .${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{3}=1}$
• Если между и есть две связи , то .${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{4}=1}$
• Если между и есть три связи , то .${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{6}=1}$

Предыдущее утверждение нетрудно проверить, если мы просто вспомним, что диаграмма Дынкина говорит нам об угле между каждой парой корней. Если, например, между двумя вершинами нет связи, то и ортогональны, из чего легко следует, что соответствующие отражения коммутируют. В более общем плане количество связей определяет угол между корнями. Произведение двух отражений представляет собой поворот на угол в плоскости, охватываемой и , как читатель может убедиться, из чего легко следует приведенное выше утверждение.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

Как группа Кокстера [ править ]

Группы Вейля являются примерами конечных групп отражений, поскольку они порождаются отражениями; абстрактные группы (не рассматриваемые как подгруппы линейной группы) являются соответственно конечными группами Кокстера , что позволяет их классифицировать по диаграмме Кокстера – Дынкина . Быть группой Кокстера означает, что группа Вейля имеет особый вид представления, в котором каждый образующий x _i имеет второй порядок, а отношения, отличные от x _i ² = 1, имеют вид ( x _i x _j ) ^{m _ij} = 1 . Генераторы - это отражения, заданные простыми корнями, и m _ijравно 2, 3, 4 или 6 в зависимости от того, составляют ли корни i и j угол 90, 120, 135 или 150 градусов, то есть не связаны ли они на диаграмме Дынкина , соединены ли они простым ребром, соединены линией двойное ребро, либо соединенное тройным ребром. Мы уже отмечали эти отношения в пунктах выше, но, говоря, что это группа Кокстера, мы говорим, что это единственные отношения в .${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

Группы Вейля имеют функцию порядка и длины Брюа в терминах этого представления: длина элемента группы Вейля - это длина кратчайшего слова, представляющего этот элемент в терминах этих стандартных генераторов. Существует уникальный самый длинный элемент группы Кокстера , который противоположен идентичности в порядке Брюа.

Группы Вейля в алгебраической, теоретико-групповой и геометрической постановках [ править ]

Выше группа Вейля была определена как подгруппа группы изометрий корневой системы. Существуют также различные определения групп Вейля , специфичные для различных теоретико-групповых и геометрических контекстах ( алгебры Ли , группы Ли , симметричное пространство и т.д.). Для каждого из этих способов определения групп Вейля (обычно нетривиальной) теоремой является то, что это группа Вейля в смысле определения в начале этой статьи, а именно группа Вейля некоторой корневой системы, связанной с объектом. Конкретная реализация такой группы Вейля обычно зависит от выбора - например, подалгебры Картана для алгебры Ли или максимального тора для группы Ли. ^[4]

Группа Вейля связной компактной группы Ли [ править ]

Пусть - связная компактная группа Ли и пусть - максимальный тор в . Затем мы вводим нормализатор о в , обозначаемый и определяется как${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle N(T)}$

${\displaystyle N(T)=\{x\in K|xtx^{-1}\in T,\,{\text{for all }}t\in T\}}$.

Мы также определим центратор из в , обозначаемый и определяется как${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Z(T)}$

${\displaystyle Z(T)=\{x\in K|xtx^{-1}=t\,{\text{for all }}t\in T\}}$.

Группа Вейля из (относительно заданного максимального тора ) затем определяется первоначально как${\displaystyle W}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle W=N(T)/T}$.

В конце концов, можно доказать, что , ^[5] в этом месте есть альтернативное описание группы Вейля как${\displaystyle Z(T)=T}$

${\displaystyle W=N(T)/Z(T)}$.

Теперь можно определить корневую систему, связанную с парой ; корни суть ненулевые веса присоединенного действия на алгебре Ли . Для каждого , можно построить элемент из действия которого на имеет форму отражения. ^[6] Приложив немного больше усилий, можно показать, что эти отражения генерируют все . ^[7] Таким образом, в конце концов, группа Вейля, определяемая как или изоморфна группе Вейля корневой системы .${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (K,T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle x_{\alpha }}$${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle N(T)/Z(T)}$${\displaystyle N(T)/T}$${\displaystyle N(T)/Z(T)}$${\displaystyle \Phi }$

В других настройках [ править ]

Для комплексной полупростой алгебры Ли группа Вейля просто определяется как группа отражений, порожденная отражениями в корнях - конкретная реализация корневой системы, зависящая от выбора подалгебры Картана .

Для группы Ли G, удовлетворяющей определенным условиям ^{[примечание 1], для} данного тора T < G (который не обязательно должен быть максимальным), группа Вейля по отношению к этому тору определяется как фактор нормализатора тора N = N ( T ) = N _G ( T ) централизатором тора Z = Z ( T ) = Z _G ( T ),

${\displaystyle W(T,G):=N(T)/Z(T).\ }$

Группа W конечна - Z имеет конечный индекс в N . Если Т = Т ₀ является максимальным тором (так он равен своим собственного центратор: ) затем полученный фактор Н / Z = Н / Т называется группой Вейля из G , и обозначается W ( G ). Обратите внимание, что конкретное фактормножество зависит от выбора максимального тора , но все полученные группы изоморфны (внутренним автоморфизмом группы G${\displaystyle Z(T_{0})=T_{0}}$ ), поскольку максимальные торы сопряжены.

Если G компактна и связна, а T - максимальный тор, то группа Вейля группы G изоморфна группе Вейля своей алгебры Ли, как обсуждалось выше.

Например, для общей линейной группы GL максимальный тор - это подгруппа D обратимых диагональных матриц, нормализатором которой являются матрицы обобщенных перестановок (матрицы в форме матриц перестановок , но с любыми ненулевыми числами вместо ' 1's), и чья группа Вейля является симметрической группой . В этом случае фактор-отображение N → N / T расщепляется (через матрицы перестановок), поэтому нормализатор N является полупрямым произведением тора и группы Вейля, а группа Вейля может быть выражена как подгруппа группы G. В общем случае это не всегда так - фактор , не всегда расщепляется, нормализатор Н не всегда является полупрямым произведением из W и Z, и группы Вейля не всегда может быть реализован в качестве подгруппы G. ^[4]

Разложение Брюа [ править ]

Если B - борелевская подгруппа группы G , т. Е. Максимальная связная разрешимая подгруппа и максимальный тор T = T ₀ выбран лежащим в B , то мы получаем разложение Брюа

${\displaystyle G=\bigcup _{w\in W}BwB}$

что приводит к разложению многообразия флагов G / B на клетки Шуберта (см. грассманиан ).

Структура диаграммы Хассе группы геометрически связана с когомологиями многообразия (скорее, вещественной и комплексной форм группы), на которое накладывается двойственность Пуанкаре . Таким образом, алгебраические свойства группы Вейля соответствуют общим топологическим свойствам многообразий. Например, двойственность Пуанкаре дает соединение между ячейками в размерности k и в размерности n - k (где n - размерность многообразия): нижняя (0) размерная ячейка соответствует единичному элементу группы Вейля, а двойственная клетка верхнего измерения соответствует самому длинному элементу группы Кокстера .

Аналогия с алгебраическими группами [ править ]

Существует ряд аналогий между алгебраическими группами и группами Вейля - например, количество элементов симметрической группы равно n !, А количество элементов общей линейной группы над конечным полем связано с q -факториалом ; таким образом, симметричная группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализуется полем с одним элементом , которое рассматривает группы Вейля как простые алгебраические группы над полем с одним элементом.${\displaystyle [n]_{q}!}$

Когомология [ править ]

Для неабелевой связной компактной группы Ли G первые групповые когомологии группы Вейля W с коэффициентами в максимальном торе T, использованные для ее определения, ^{[примечание 2]} связаны с группой внешних автоморфизмов нормализатора следующим образом: ^{[8 ]}${\displaystyle N=N_{G}(T),}$

${\displaystyle \operatorname {Out} (N)\cong H^{1}(W;T)\rtimes \operatorname {Out} (G).}$

Внешние автоморфизмы группы Out ( G ) по существу являются диаграммными автоморфизмами диаграммы Дынкина , в то время как групповые когомологии вычисляются в Hämmerli, Matthey & Suter 2004 и являются конечной элементарной абелевой 2-группой ( ); для простых групп Ли он имеет порядок 1, 2 или 4. Когомологии 0-й и 2-й групп также тесно связаны с нормализатором. ^[8]${\displaystyle (\mathbf {Z} /2)^{k}}$

См. Также [ править ]

• Аффинная группа Вейля
• Полупростая алгебра Ли # подалгебры Картана и системы корней
• Максимальный тор
• Система корней полупростой алгебры Ли
• Диаграмма Хассе

Сноски [ править ]

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бурбаки, Николас (2002), Группы Ли и алгебры Ли: главы 4-6 , Элементы математики, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl  0983,17001
• Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера , Тексты для выпускников по математике , 231 , Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl  1110,05001
• Coxeter, HSM (1934), "Дискретные группы, порожденные отражениями", Ann. математики. , 35 (3): 588-621, CiteSeerX  10.1.1.128.471 , DOI : 10,2307 / 1968753 , JSTOR  1968753
• Coxeter, HSM (1935), "Полное перечисление конечных групп вида ", J. London Math. Soc. , 1, 10 (1): 21-25, DOI : 10.1112 / jlms / s1-10.37.21${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$
• Дэвис, Майкл В. (2007), Геометрия и топология групп Кокстера (PDF) , ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl  1142,20020
• Grove, Ларри К.; Бенсон, Кларк Т. (1985), Конечные группы отражений , выпускные тексты по математике, 99 , Springer, ISBN 978-0-387-96082-1
• Хиллер, Ховард (1982), Геометрия групп Кокстера , Research Notes in Mathematics, 54 , Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl  0483,57002
• Хоулетт, Роберт Б. (1988), "О множителях Шура групп Кокстера", J. London Math. Soc. , 2, 38 (2): 263-276, DOI : 10,1112 / jlms / s2-38.2.263 , Zbl  +0627,20019
• Хамфрис, Джеймс Э. (1992) [1990], Группы отражения и группы Кокстера , Кембриджские исследования в области высшей математики, 29 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl  0725,20028
• Ихара, S .; Йоконума, Такео (1965), "О вторых группах когомологий (множителях Шура) конечных групп отражений" (PDF) , Jour. Фак. Sci. Univ. Токио, секция. 1 , 11 : 155–171, Zbl  0136.28802
• Кейн, Ричард (2001), Группы отражений и теория инвариантов , Книги CMS по математике, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl  0986,20038
• Винберг Е.Б. (1984), "Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности", Тр. Моск. Мат. Общ. , 47
• Йоконума, Такео (1965), "О вторых группах когомологий (множителях Шура) бесконечных дискретных групп отражений", Jour. Фак. Sci. Univ. Токио, секция. 1 , 11 : 173-186, ЛВП : 2261/6049 , Zbl  +0136,28803

Внешние ссылки [ править ]

• "Группа Кокстера" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Группа Кокстера» . MathWorld .
• Программное обеспечение Jenn для визуализации графов Кэли конечных групп Кокстера с использованием до четырех генераторов